2023年中考数学一轮复习--专题17 等腰三角形与直角三角形（考点精讲）（全国通用）

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专题17  等腰三角形与直角三角形    考点1：等腰三角形的性质与判定性质等腰三角形的两个底角度数相等等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”）等腰三角形是轴对称图形，有2条对称轴判定有两条边相等的三角形的等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形面积公式，其中a是底边常，hs是底边上的高        考点2：等边三角形的性质与判定性质三条边相等三个内角相等，且每个内角都等于60°      等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴判定 三条边都相等的三角形是等边三角形 三个角相等的三角形是等边三角形 有一个角的是60°的等腰三角形是等边三角形 面积公式是等边三角形的边长，h是任意边上的高         考点3：直角三角形的性质与判定性质两锐角之和等于90°斜边上的中线等于斜边的一半30°角所对的直角边等于斜边的一半若有一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于30°（应用时需先证明）勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a，b,斜边为c,则 判定有一个角为90°的三角形时直角三角形有两个角的和时90°的三角形是直角三角形一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a,b,c若满足，那么这个三角形为直角三角形。 面积公式，其中a是底边常，hs是底边上的高                            【典例1】（2022•桂林）如图，在△ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，则△ABC的面积是（　　）A． B．1+ C．2 D．2+【典例2】（2021•长沙）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至E，使得CE＝CA，连接AE．（1）求证：∠B＝∠ACB；（2）若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积．          【典例3】（2022春•丹江口市期末）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门的意思）一尺，不合二，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），求门槛AB的长．     1．（2022•梧州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（　　）A．∠ADC＝90° B．DE＝DF C．AD＝BC D．BD＝CD 2．（2022•淮安）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AC的中点，若AB＝10，则DE的长是（　　）A．8 B．6 C．5 D．43．（2022•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝24°，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD，则∠D的度数为（　　）A．39° B．40° C．49° D．51° 4．（2022•贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝56°，则∠A的度数为（　　）A．34° B．44° C．124° D．134°5．（2022•遵义）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝30°，则点B到OC的距离为（　　）A． B． C．1 D．26．（2022•荆门）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为（　　）A．120m B．60m C．60m D．120m7．（2022•资阳）如图，在△ABC中（AB＜BC），过点C作CD∥AB，在CD上截取CD＝CB，CB上截取CE＝AB，连接DE、DB．（1）求证：△ABC≌△ECD；（2）若∠A＝90°，AB＝3，BD＝2，求△BCD的面积．           专题17  等腰三角形与直角三角形    考点1：等腰三角形的性质与判定性质等腰三角形的两个底角度数相等          等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”）          等腰三角形是轴对称图形，有2条对称轴判定有两条边相等的三角形的等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形面积公式，其中a是底边常，hs是底边上的高        考点2：等边三角形的性质与判定性质三条边相等三个内角相等，且每个内角都等于60°      等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴判定 三条边都相等的三角形是等边三角形 三个角相等的三角形是等边三角形 有一个角的是60°的等腰三角形是等边三角形 面积公式是等边三角形的边长，h是任意边上的高         考点3：直角三角形的性质与判定性质          两锐角之和等于90°          斜边上的中线等于斜边的一半          30°角所对的直角边等于斜边的一半          若有一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于30°（应用时需先证明）          勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a，b,斜边为c,则 判定有一个角为90°的三角形时直角三角形          有两个角的和时90°的三角形是直角三角形          一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形          勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a,b,c若满足，那么这个三角形为直角三角形。 面积公式，其中a是底边常，hs是底边上的高                            【典例1】（2022•桂林）如图，在△ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，则△ABC的面积是（　　）A． B．1+ C．2 D．2+【答案】D【解答】解：如图，过点A作AD⊥AC于A，交BC于D，过点A作AE⊥BC于E，∵∠C＝45°，∴△ADC是等腰直角三角形，∴AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝AC＝2，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝22.5°，∴∠DAB＝22.5°，∴∠B＝∠DAB，∴AD＝BD＝2，∵AD＝AC，AE⊥CD，∴DE＝CE，∴AE＝CD＝，∴△ABC的面积＝•BC•AE＝××（2+2）＝2+．故选：D． 【典例2】（2021•长沙）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至E，使得CE＝CA，连接AE．（1）求证：∠B＝∠ACB；（2）若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积．【解答】解：（1）证明：∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AD是BC的中垂线，∴AB＝AC，∴∠B＝∠ACB；（2）在Rt△ADB中，BD＝＝＝3，∴BD＝CD＝3，AC＝AB＝CE＝5，∴BE＝2BD+CE＝2×3+5＝11，在Rt△ADE中，AE＝＝＝4，∴C△ABE＝AB+BE+AE＝5+11+4＝16+4，S△ABE＝＝＝22．【典例3】（2022春•丹江口市期末）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门的意思）一尺，不合二，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），求门槛AB的长．【解答】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，∴AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，即门槛AB的长为101寸．   1．（2022•梧州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（　　）A．∠ADC＝90° B．DE＝DF C．AD＝BC D．BD＝CD【答案】C【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，BD＝CD，∠B＝∠C，∴∠ADC＝90°，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（AAS），∴DE＝DF，故选：C．2．（2022•淮安）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AC的中点，若AB＝10，则DE的长是（　　）A．8 B．6 C．5 D．4【答案】C【解答】解：∵AB＝AC＝10，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵E为AC的中点，∴DE＝AC＝5，故选：C．3．（2022•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝24°，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD，则∠D的度数为（　　）A．39° B．40° C．49° D．51°【答案】A【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝24°，∴∠B＝∠ACB＝78°．∵CD＝AC，∠ACB＝78°，∠ACB＝∠D+∠CAD，∴∠D＝∠CAD＝∠ACB＝39°．故选：A． 4．（2022•贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝56°，则∠A的度数为（　　）A．34° B．44° C．124° D．134°【答案】A【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠B+∠A＝90°，∵∠B＝56°，∴∠A＝90°﹣56°＝34°，故选：A．5．（2022•遵义）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝30°，则点B到OC的距离为（　　）A． B． C．1 D．2【答案】B【解答】解：作BH⊥OC于H，∵∠AOB＝30°，∠A＝90°，∴OB＝2AB＝2，在Rt△OBC中，由勾股定理得，OC＝＝，∵∠CBO＝∠BHC＝90°，∴∠CBH＝∠BOC，∴cos∠BOC＝cos∠CBH，∴，∴，∴BH＝，故选：B．6．（2022•荆门）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为（　　）A．120m B．60m C．60m D．120m【答案】B【解答】解：如图，∵底部是边长为120m的正方形，∴BC＝×120＝60m，∵AC⊥BC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝120m，∴AC＝＝m．故选：B7．（2022•资阳）如图，在△ABC中（AB＜BC），过点C作CD∥AB，在CD上截取CD＝CB，CB上截取CE＝AB，连接DE、DB．（1）求证：△ABC≌△ECD；（2）若∠A＝90°，AB＝3，BD＝2，求△BCD的面积．【解答】（1）证明：∵CD∥AB，CD＝CB，CE＝AB，∴∠ABC＝∠ECD，在△ABC和△ECD中，，∴△ABC≌△ECD（SAS）．（2）解：∵∠A＝90°，∴∠CED＝∠A＝90°，∴∠BED＝180°﹣∠CED＝90°，设BE＝x，∵EC＝AB＝3，BD＝2，∴CD＝BC＝3+x，∵BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，∴（2）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，整理得x2+3x﹣10＝0，解得x1＝2，x2＝﹣5（不符合题意，舍去），∴BE＝2，BC＝3+2＝5，∴DE＝＝＝4，∴S△BCD＝BC•DE＝×5×4＝10，∴△BCD的面积为10．