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2023高考数学二轮专题复习 思想01 运用分类讨论的思想方法解题(精讲精练)(解析版)
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思想01 运用分类讨论的思想方法解题【命题规律】高考命题中,以知识为载体,以能力立意、思想方法为灵魂,以核心素养为统领,兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性,展现数学的科学价值和人文价值.高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合,二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查.如果说数学知识是数学的内容,可用文字和符号来记录和描述,那么数学思想方法则是数学的意识,重在领会、运用,属于思维的范畴,用于对数学问题的认识、处理和解决.高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想等.【核心考点目录】核心考点一:由情境的规则引起的分类讨论核心考点二:由定义引起的分类讨论核心考点三:由平面图形的可变性引起的分类讨论核心考点四:由变量的范围引起的分类讨论核心考点五:由空间图形的可变性引起的分类讨论【真题回归】1.(2022·浙江·统考高考真题)设函数.(1)求的单调区间;(2)已知,曲线上不同的三点处的切线都经过点.证明:(ⅰ)若,则;(ⅱ)若,则.(注:是自然对数的底数) 2.(2022·全国·统考高考真题)已知函数.(1)当时,讨论的单调性;(2)当时,,求a的取值范围;(3)设,证明:. 3.(2022·全国·统考高考真题)已知函数.(1)当时,求的最大值;(2)若恰有一个零点,求a的取值范围. 【方法技巧与总结】当被研究的问题出现多种情况且综合考虑无法深入时,我们通常将可能出现的所有情况分别进行讨论,得出每种情况下相应的结论,这就是分类讨论的思想,包含分类与整合两部分,既化整为零,各个击破,又集零为整.基本步骤是:(1)研究讨论的必要性,确定讨论对象;(2)确定分类依据,并按标准分类;(3)逐类解决,获得各类的结果;(4)归纳整合,得到结果.分类的基本原则是:(1)标准统一,不重不漏;(2)层次明晰,不混不乱.分类讨论应用的热点:(1)由概念、定义、公式、定理、性质等引起的分类讨论,如直线的斜率是否存在,幂、指数、对数函数的单调性,等比数列的公比是否为等.(2)由数学运算规则引起的分类讨论,如除法运算中分母不为零,偶次方根为非负数,不等式两边同乘(除)以一个数(式)的符号等.(3)由变量的范围引起的分类讨论,如对数的真数与底数的范围,指数运算中底数的范围,函数在不同区间上单调性受参变量的影响等.(4)由图形的可变性引起的分类讨论,如图形类型、位置,点所在的象限,角大小的可能性等.(5)由情境的规则引起的分类讨论,情境问题的规则在解决数学问题时常需要分类讨论思想,如体育比赛的规则等.【核心考点】核心考点一:由情境的规则引起的分类讨论【典型例题】例1.多项选择题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.若选项中有其中个选项符合题目要求,随机作答该题时至少选择一个选项所得的分数为随机变量其中,则有( )A. B.C. D.例2.甲、乙、丙、丁进行乒乓球比赛,比赛规则如下:第一轮:甲和乙进行比赛,同时丙和丁进行比赛,两个获胜者进入胜者组,两个败者进入败者组;第二轮:胜者组进行比赛,同时败者组进行比赛,败者组中失败的选手淘汰;第三轮:败者组的胜者与胜者组的败者进行比赛,失败的选手淘汰;第四轮:第三轮中的胜者与第二轮中胜者组的胜者进行决赛,胜者为冠军.已知甲与乙、丙、丁比赛,甲的胜率分别为;乙与丙、丁比赛,乙的胜率分别为;丙与丁比赛,丙的胜率为任意两场比赛之间均相互独立.求丙在第二轮被淘汰的概率;在丙在第二轮被淘汰的条件下,求甲所有比赛全胜并获得冠军的概率. 例3.一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来,设一个这种微生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁殖后为第2代……,该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数,已知,求;设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,p是关于x的方程:的一个最小正实根,求证:当时,,当时,;根据你的理解说明问结论的实际含义. 核心考点二:由定义引起的分类讨论【典型例题】例4.已知数列满足求数列的通项公式;求数列的前n项和 例5.设数列的前n项和为,且满足求数列的通项公式;若求数列的前15项的和. 例6.已知正项数列的前n项和为,如果都有,数列满足,数列满足,设为的前n项和,则当取得最大值时,n的值等于( )A.17 B.18 C.19 D.20核心考点三:由平面图形的可变性引起的分类讨论【典型例题】例7.中,内角A,B,C的对边分别为a,b,已知,求角若AC边上的点D满足,,求的面积. 例8.若恰有三组不全为0的实数对、满足关系式,则实数t的所有可能的值为__________.例9.过双曲线C:的右焦点F作直线l,且直线l与双曲线C的一条渐近线垂直,垂足为A,直线l与另一条渐近线交于点已知O为坐标原点,若的内切圆的半径为,则双曲线C的离心率为__________.核心考点四:由变量的范围引起的分类讨论【典型例题】例10.已知函数为的导函数.求证:在上存在唯一零点;求证:有且仅有两个不同的零点. 例11.已知函数的图像经过点.确定a的值,并讨论函数的极值点:设,若当时,,求实数m的取值范围. 例12.已知函数是自然对数的底数若,求的单调区间;若,试讨论在上的零点个数.参考数据: 核心考点五:由空间图形的可变性引起的分类讨论【典型例题】例13.正方体棱长为2,动点P在线段上含端点,以下结论不正确的为( )A.三棱锥的体积为定值B.过P,B,三点若可作正方体的截面,则截面图形为三角形或平面四边形C.当点P和重合时,三棱锥的外接球体积为D.直线PD与面所成角的正弦值的范围为例14.两条异面直线a,b所成的角为,在直线a,b上分别取点A,E和点B,F,使,且已知,,,则线段AB的长为( )A.8 B. C. D.例15.(多选题)如图,在三棱锥中,平面为垂足点,F为BD中点,则下列结论正确的是( )A.若AD的长为定值,则该三棱锥外接球的半径也为定值B.若AC的长为定值,则该三棱锥内切球的半径也为定值C.若BD的长为定值,则EF的长也为定值D.若CD的长为定值,则的值也为定值 【新题速递】一、单选题1.已知为奇函数,且在上是递增的,若,则的解集是( )A.或 B.或C.或 D.或2.已知函数若存在,,且,使得,则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.3.已知角的终边上一点,则( )A. B. C. D.以上答案都不对4.已知函数是R上的单调函数,则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.5.若关于x的不等式恒成立,则实数a的取值范围为( )A. B.C. D. 或二、多选题6.对于给定实数a,关于x的一元二次不等式的解集可能是( )A. B.C. D.R7.,则的值可能为( )A. B. C. D.8.已知函数,则方程的根的个数可能为( )A.2 B.6 C.5 D.49.设数列的前n项和为,且,若,则下列结论正确的有A. B.当时,取得最小值C.当时,n的最小值为7 D.当时,取得最小值10.在棱长为1的正方体中,M是线段上的一个动点,则下列结论正确的是( )A.四面体的体积恒为定值B.直线与平面所成角正弦值可以为C.异面直线BM与AC所成角的范围是D.当时,平面BDM截该正方体所得的截面图形为等腰梯形11.已知函数若,则实数a的值可能为( )A. B. C. D.三、填空题12.定义新运算“”,满足对任意的,有若对,恒成立,则实数m的取值范围是__________.13.已知定义域为R的函数,满足,则实数a的取值范围是__________.14.在等比数列中,,,则公比__________.15.若是定义在R上的奇函数,当时,为常数,则当时__________.16.设抛物线的焦点为F,过点F作直线l与抛物线交于A,B两点,点M满足为坐标原点,过M作y轴的垂线与抛物线交于点P,若,则点P的横坐标为__________,__________.17.已知关于x的不等式,若,则该不等式的解集是__________,若该不等式对任意的均成立,则实数a的取值范围是__________.