2023届九师联盟高三上学期开学考试数学（文）试题（解析版）

这是一份2023届九师联盟高三上学期开学考试数学（文）试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届九师联盟高三上学期开学考试数学（文）试题 一、单选题1．若集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先解出集合，再通过交集运算算出，即可得到答案【详解】解：由题意知，所以，故选：B.2．若复数z满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由复数的除法法则求解．【详解】由，得.故选：C.3．在区间上随机取一个数，则事件“”的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据余弦函数的性质解不等式，再结合几何概型求解即可.【详解】解：因为，所以，故所求概率.故选：A.4．“”成立的一个必要不充分条件为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题可得，然后利用充分条件，必要条件的定义分析即得.【详解】由，得，所以选项A是充要条件，选项B是既不充分又不必要条件，选项D是充分不必要条件，选项C是必要不充分条件.故选：C.5．从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学，测量他们的身高（单位：cm），所得数据用茎叶图表示如下，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是（    ）A．甲乙两班同学身高的极差不相等 B．甲班同学身高的平均值较大C．甲班同学身高的中位数较大 D．甲班同学身高在175cm以上的人数较多【答案】A【分析】根据极差、平均值、中位数的定义分析ABC，根据数据特征判断D.【详解】甲班同学身高极差为：182-157=25，乙班同学身高极差为：182-159=23，即甲乙两班同学身高的极差不相等，故A正确；甲班身高平均值为：，，故乙班同学身高平均值较大，即B错误；甲班同学身高从低到高排列为：，则中位数为：，甲班同学身高从低到高排列为：，则中位数为：，故乙班同学身高的中位数较大，即C错误；甲乙两班同学身高在175cm以上的人数的数量分别为3和4，故D错误.故选：A.6．如图，在四边形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据图形，利用向量的加，减，数乘运算，即可判断选项.【详解】由题意知，，，因为E，F分别为AB，CD的中点，所以，，所以，所以，即.故选：A.7．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（    ）A．3 B．0 C． D．【答案】D【分析】利用函数的周期性、奇偶性、对称性以及函数的解析式进行求解处理.【详解】因为，所以，所以的周期为4，所以，又是定义在上的奇函数，所以，所以，又因为在中，令，得，所以，又当时，，所以令，，所以.故A，B，C错误.故选：D.8．如图，在正方体中，点E为棱的中点，则异面直线AC与DE所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】取的中点F，连接，，，可得到，则或其补角为AC与DE所成的角，再通过余弦定理求出其余弦值，即可得到答案【详解】解：取的中点F，连接，，，则因为点E，F分别为，的中点，所以，所以，所以或其补角为AC与DE所成的角，设正方体的棱长为2，则，所以，故选：C9．如图，函数的图像过两点，为得到函数的图像，应将的图像（    ）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度【答案】D【分析】先根据周期求，再代入，解得，最后根据平移变换即可判断【详解】 代入得 即 即 对于A选项，,故A错误对于B选项，故B错误对于C选项，故C错误对于D选项，，故D正确故选：D10．已知双曲线与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则C的离心率（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】中点弦问题利用点差法处理.【详解】法一：设，则，所以，又AB的中点为，所以，所以，由题意知，所以，即，则C的离心率.故A，B，D错误.故选：C.法二：直线AB过点，斜率为1，所以其方程为，即，代入并整理得，因为为线段AB的中点，所以，整理得，所以C的离心率.故A，B，D错误.故选：C.11．下列函数中，最小值不为2的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用均值不等式、导数、切线、一元二次函数并结合图形以及平方的处理方法进行求解.【详解】对于A，，当且仅当，即时等号成立，故最小值为2，故A错误；对于B，因为，所以，所以在上单调递增，在上单调递减，从而为极小值点，又当时，，当时，，所以函数的最小值为2，故B错误；对于C，，因为可以看作点与点连线的斜率，又点在圆上，易求得PA斜率的最小值为，所以，故C错误；对于D，因为，所以，显然，所以y的最小值为3，不是2.故D正确.故选：D.12．如图，在三棱锥中，平面平面CBD，，点M在AC上，，过点M作三棱锥外接球的截面，则截面圆面积的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等边三角形的性质以及外接球的性质，作出外接球的球心，再根据线段的数量关系求出线段，最后即可得到截面圆的最小半径.【详解】由题意知，和为等边三角形，如图所示：取BD中点为E，连接AE，CE，则，由平面平面CBD，平面平面，故平面CBD，，易知球心O在平面BCD的投影为的外心，过作于H，易得，，则在中，，所以外接球半径，连接OM，因为，所以H，O，M三点共线，所以，，当M为截面圆圆心时截面面积最小，此时截面圆半径，面积为.故选：A. 二、填空题13．已知x，y满足约束条件，则的最大值为__________.【答案】5【分析】首先画出可行域，根据的几何意义求其最小值.【详解】画出可行域（如图阴影部分），可化为，表示该直线在轴上的截距的3倍的相反数，过区域内的点作斜率为的直线，观察图象可得当直线经过点A时，直线在轴上的截距最小，此时z的取值最大，联立可得所以当时，z取最大值，最大值为，故答案为：5.14．已知，则曲线在点处的切线方程为__________.【答案】【分析】利用导函数求得即为切线斜率，由原函数求得，由直线点斜式方程整理得到结果.【详解】因为，所以，又，故所求切线方程为，即.故答案为：.15．已知抛物线，过的焦点且斜率为的直线交于两点，若，则__________.【答案】4【分析】根据题意，得到直线的方程为，联立方程组，得到，结合抛物线的定义和，得出关于的方程，即可求解.【详解】由题意，抛物线，可得，则直线的方程为，联立方程组，整理得，设，则，因为且，所以，即，所以，可得，因为，所以.故答案为：.16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D在边BC上，且AD平分，，，，则的面积为__________.【答案】【分析】利用正弦定理把式子中的角转化成边，化简后可得值，又由及可求出的值，从而得到的值.【详解】由及正弦定理，得，即，由余弦定理得，又，所以，因为AD平分，所以，又因为，即，化简得；由及正弦定理，得.与联立，解得.所以.故答案为： 三、解答题17．2022年7月6日~14日，素有“数学界奥运会”之称的第29届国际数学家大会，受疫情影响，在线上进行，世界各地的数学家们相聚云端、共襄盛举.某学校数学爱好者协会随机调查了学校100名学生，得到如下调查结果：男生占调查人数的，喜欢数学的有40人，其他的不喜欢数学；在调查的女生中，喜欢数学的有20人，其他的不喜欢数学.(1)请完成下面列联表； 喜欢数学不喜欢数学合计男生   女生   合计    (2)根据列联表，判断是否有的把握认为该校学生喜欢数学与学生的性别有关？参考公式：，其中.临界值表：0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828  【答案】(1)列联表见解析(2)有 【分析】（1）结合已知条件完成表格；（2）结合列联表和计算公式，进行独立性检验求解即可.【详解】(1)调查的男生人数为（人），调查的女生人数为（人），补全列联表如下： 喜欢数学不喜欢数学合计男生401555女生202545合计6040100 (2)，所以有的把握认为该校学生喜欢数学与学生的性别有关.18．如图，在直三棱柱中，D为棱的中点.(1)证明：平面；(2)设P为与的交点，若是边长为2的等边三角形，，求点P到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）连接交于点E，连接DE，可得，从而可证平面.（2）利用等积法可求点P到平面的距离.【详解】(1)证明：连接交于点E，连接DE，则E为的中点，又D为的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.(2)由（1）知平面，且，故点P到平面的距离等于点到平面的距离，设为d.因为，所以，所以，所以，所以的面积为.连接，则三棱锥的体积，又三棱锥的体积等于三棱锥的体积，所以，所以，所以点P到平面的距离为.19．在数列中，，且，.(1)求的通项公式；(2)若，且数列的前项n和为，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）由已知得当，再和已知的式子相减化简后利用累乘法可求出通项公式，（2）由（1）得当时，，利用裂项相消法可求得，从而可证得结论.【详解】(1)解：因为，所以当，两式相减，得，即，当时，，所以当时，，所以当时，，当时，上式成立；当时，上式不成立，所以(2)证明：由（1）知当时，，所以当，；当时，.综上，.20．已知函数.(1)若是的极值点，求a的值，并判断是的极大值点还是极小值点？(2)若在内有零点，求实数a的取值范围.【答案】(1)，极小值点(2) 【分析】（1）是的极值点，利用求出参数a，进而利用导数研究函数的极值点（2）方法一直接求导，对a的范围进行讨论，研究导函数的正负进而研究的单调性，利用单调性列不等式求出a的取值范围；方法二利用原函数等于0分离参数，构造新函数，研究的单调性找到它的值域，进而求出a的取值范围．【详解】(1)，由题意得，解得.当时，，当时，；当时，；当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以是的极小值点.(2)法一：.①当时，，所以，从而在上为减函数，由解得，所以当时，在内有一个零点.②当时，，所以，从而在上为增函数，所以，此时，在内没有零点.③当时，，当时，；当时，，所以在上为增函数，在上为减函数，又，所以，此时在内没有零点，综上，实数a的取值范围为法二：考虑到在内有零点，令，整理，得.由，得，所以.设，则.设，则，所以在上为减函数，从而，所以，从而在上为增函数，又，所以的值域为，于是，即，故实数a的取值范围为.【点睛】本题主要考查导数的极值点、零点等综合问题，考查学生分类讨论思想、数形结合思想，属于中档题．21．已知椭圆的左，右焦点分别为，，且，与短轴的两个端点恰好为正方形的四个顶点，点在E上.(1)求E的方程；(2)过点作互相垂直且与x轴均不重合的两条直线分别交E于点A，B和C，D，若M，N分别是弦AB，CD的中点，证明：直线MN过定点.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）由条件列出关于的方程，解方程求得a和b的值，即可求得椭圆的标准方程；（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得M和N点坐标，求分情况求MN方程，由此证明直线MN过定点.；【详解】(1)设，因为两个焦点和短轴的两个端点为正方形的四个顶点，所以，因为点在E上，所以，又，解得，所以E的方程为.(2)由（1）知，由题意知直线AB和直线CD的斜率都存在且不为0，设直线AB方程为：，与E的方程联立，消去x并整理，得，且，设，则，所以，所以点M的坐标为，因为，则直线CD的方程为，同理得，当，即时，直线MN的斜率，所以直线MN的方程为，所以，因为，所以直线MN的方程即为，显然直线MN过定点；当，即时，则或，此时直线MN的方程为，也过点.综上所述，直线MN过定点.【点睛】本题第二小问解决的关键在于联立方程组求出的坐标，由此确定直线方程，并判断直线过定点.22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)求的普通方程和的直角坐标方程；(2)若与交于相异两点A，B，且，求m的值.【答案】(1)，(2)或 【分析】（1）平方消参得到的普通方程，利用直角坐标和极坐标互化公式求出的直角坐标方程；（2）由（1）中求出的直角坐标方程，结合垂径定理求解【详解】(1)在的参数方程中消去参数，得的普通方程为；由得，又，所以的直角坐标方程为.(2)由（1）知曲线是以为圆心，2为半径的圆，曲线为直线，则圆心到曲线的距离，因为，所以，解得：，或.23．已知，证明：(1)；(2).【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）利用均值不等式可证该不等式.（2）利用均值不等式可证，从而可证题设中的不等式.【详解】(1)法一：因为，所以.当且仅当，即时等号成立.法二：因为，所以，当且仅当，即时等号成立.所以，当且仅当，即时，等号成立.综上，，当且仅当时，等号成立.(2)因为，当且仅当时等号成立；，当且仅当时等号成立；，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时等号成立.因为，所以，所以.