2023届安徽省马鞍山市高三第一次教学质量监测数学试题（word版）

2023届马鞍山市高三第一次教学质量检测

数  学

本试卷4页，满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合，，则

A．   B．    C．   D．

2．若复数满足，则的虚部为

A．    B．2    C．1或2   D．或2

3．现有一组数据：，则这组数据的第85百分位数是

A．652    B．668    C．671    D．674

4．5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1 000提升至12 000，则大约增加了（参考数据：）

A．    B．    C．    D．

5．已知平面向量，，则在上的投影向量为

A．   B．   C．    D．

6．已知抛物线的焦点为，过且斜率大于零的直线与相交于两点，若直线与抛物线相切，则

A．4    B．6    C．8    D．10

7．已知函数的图象经过点，若函数在区间内恰有两个零点，则实数的取值范围是

A．   B．   C．   D．

8．已知六棱锥的所有顶点都在半径为2的球的球面上，当六棱锥的体积最大时，其侧棱长为

A．   B．    C．    D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为，，母线长为2，点为的中点，则

A．圆台的体积为

B．圆台的侧面积为

C．圆台母线与底面所成角为

D．在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长为4

10．已知是的边上的一点（不包含顶点），且，则

A．   B．   C． D．

11．已知直线与圆，则

A．直线必过定点      B．当时，被圆截得的弦长为

C．直线与圆可能相切     D．直线与圆不可能相离

12．已知函数，若恒成立，则实数的可能的值为

A．    B．    C．    D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知随机变量服从正态分布，若，则        ．

14．若数列是公差为2的等差数列，，写出满足题意的一个通项公式         ．

15．已知函数与的定义域均为，为偶函数，的图象关于点中心对称，若，则的值为        ．

16．已知椭圆的焦距为2，过椭圆的右焦点且不与两坐标轴平行的直线交椭圆于两点，若轴上的点满足且恒成立，则椭圆离心率的取值范围为       ．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）

已知数列，，，数列为等比数列，满足，且，，成等差数列．

（1）求数列和的通项公式；

（2）记数列满足：，求数列的前项和．

18．（12分）

已知条件：① ；② ；③ ．在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．

问题：在中，角所对的边分别是，满足：         ．

（1）求角的大小；

（2）若为锐角三角形，，求的取值范围．

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．

19．（12分）

如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，在线段上，且．

（1）求证：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

20．（12分）

为了了解养殖场的甲、乙两个品种成年水牛的养殖情况，现分别随机调查5头水牛的体高（单位：cm）如下表，请进行数据分析．

（1）已知甲品种中体高大于等于130cm的成年水牛以及乙品种中体高大于110cm的成年水牛视为“培育优良”，现从甲品种的5头水牛与乙品种的5头水牛中各随机抽取2头．设随机变量为抽得水牛中“培育优良”的总数，求随机变量的分布列与期望．

（2）当需要比较两组数据离散程度大小的时候，如果两组数据的测量尺度相差大，或者数据的量纲不同，直接使用标准差来进行比较是不合适的，此时就应当消除测量尺度和量纲的影响．而变异系数（C．V）可以做到这一点，它是原始数据标准差与原始数据平均数的比，即变异系数的计算公式为：．变异系数没有量纲，这样就可以进行客观比较了．从表格中的数据明显可以看出甲品种的体高水平高于乙品种，试比较甲、乙两个品种的成年水牛的变异系数的大小．（参考数据：，）

21．（12分）

平面直角坐标系中，是双曲线上一点，分别是双曲线的左,右顶点，直线的斜率之积为．

（1）求双曲线的渐近线方程；

（2）设点关于轴的对称点为，直线与直线交于点，过点作轴的垂线，垂足为，求证：直线与双曲线只有一个公共点．

22．（12分）

设函数．

（1）若对恒成立，求实数的取值范围；

（2）已知方程有两个不同的根，求证：，其中为自然对数的底数．

2023届马鞍山市高三第一次教学质量检测

数  学

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．【答案】3．

14．【答案】，其中（只要符合题意即可）．

15．【答案】．

16．【答案】．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）

【解析】（1）由题意，，，，令得，又数列为等比数列，所以，即数列为公比为等比数列．

所以，，数列是首项为，公差为的等差数列，

数列的通项公式：．          （3分）

由，，成等差数列，得：，，，有． （5分）

（2）由（1）知：，数列的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列，偶数项是以首项为4，公比为4的等比数列．

．               （10分）

18．（12分）

【解析】（1）选择条件①：

，

所以，于是，又，所以．

选择条件②：

因为，

解得，又，所以．

选择条件③：

则，由正弦定理得：，

即，整理得：，

由得：，又，所以．       （6分）

（2）由（1）知，，为锐角三角形，所以，

由正弦定理，得，

于是，．

化简得，，

因为，所以，，

故的取值范围为．             （12分）

19．（12分）

【解析】（1）证法1：因为底面，所以，

又为正方形，所以，

且，所以平面，

又平面，所以，

因为，为线段的中点，所以，

且，所以平面，

而平面，所以平面平面．        （6分）

证法2：以点为坐标原点，以分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图，由已知可得，，，，，，则

，，，．

设平面的法向量为，

由,得,，所以，

令，得，，所以．

设平面的法向量为，

由,得,，所以，

令，得，，所以，

因为，所以，所以平面平面．      （6分）

（2）方法1：因为底面为正方形，所以，

所以直线与平面所成角等于直线与平面所成角，设所求角为，

由已知可求得，，，所以，

所以，又，点到平面的距离为2，

设点到平面的距离为，由，得，得，

又，所以．           （12分）

方法2：因为，平面的法向量为，

设直线与平面所成的角为，则．  （12分）

20．（12分）

【解析】（1）随机变量的可能取值为，        （1分）

，，

，，

．              （4分）

随机变量的分布列为：

随机变量的期望．   （6分）

（2），，．

，，． （8分）

根据公式，甲品种的变异系数为，乙的变异系数为，

所以甲品种的成年水牛的变异系数大．           （12分）

21．（12分）

【解析】（1）由题意，，满足，即．

于是，，       （4分）

所以双曲线的渐近线方程为．          （5分）

（2）由题，，直线，直线．

联立直线与直线方程，解得，故．       （7分）

由（1）知双曲线，故，

于是直线，即，即，与双曲线联立得：，即，    （10分）

即，因为，所以直线与双曲线只有一个公共点．                                                                                              （12分）

22．（12分）

【解析】（1）由，得．

令，则，

．

于是在上单增，故．

① 当时，则，所以在上单增，，

此时对恒成立，符合题意；         （4分）

② 当时，，，故存在使得，

当时，，则单减，此时，不符合题意．

综上，实数的取值范围．            （6分）

（2）由（1）中结论，取，有，即．

不妨设，，则，整理得．  （9分）

于是，

即．               （12分）