2023届上海市高考数学一轮复习模拟收官卷（一）（解析版）

2023届高考数学一轮复习收官卷（一）（上海市）

 一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1．（2022·上海市光明中学模拟预测）已知集合，，则_____________．

2．（2022·上海·模拟预测）若是二项式展开式的系数，则______

3．（2022·上海徐汇·二模）圆的圆心到直线：的距离   

4．（2022·上海虹口·二模）函数的最小正周期为___________．

5．（2022·上海交大附中模拟预测）函数（）为奇函数，则___________.

6．（2022·上海徐汇·三模）设圆锥底面圆周上两点、间的距离为，圆锥顶点到直线的距离为，和圆锥的轴的距离为，则该圆锥的侧面积为___________.

7．（2022·上海·模拟预测）若函数的值域是，则函数的值域是________.

8．（2022·上海静安·模拟预测）已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前9项和为___________________．

9．（2022·上海市七宝中学模拟预测）给定曲线族，为参数，则这些曲线在直线上所截得的弦长的最大值是________

10．（2022·上海·高三专题练习）已知椭圆()的焦点、，抛物线的焦点为，若，若恒成立，则的取值范围为__________；

11．（2022·上海·高三专题练习）已知数列、的通项公式分别是，，把数列、的公共项从小到大排列成新数列，那么数列的第项是中的第________项

12．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知非零平面向量，，满足，且，若与的夹角为，且，则的模取值范围是___________.

二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13．（2022·上海松江·二模）下列函数中，与函数的奇偶性和单调性都一致的函数是（    ）

A． B．

C． D．

14．（2022·上海·高三专题练习）的展开式中，项的系数为，则实数的值为（    ）

A．2 B．3 C． D．2或3

15．（2022·上海市光明中学模拟预测）已知不等式有实数解．结论（1）：设是的两个解，则对于任意的，不等式和恒成立；结论（2）：设是的一个解，若总存在，使得，则，下列说法正确的是（    ）

A．结论①、②都成立 B．结论①、②都不成立

C．结论①成立，结论②不成立 D．结论①不成立，结论②成立

16．（2022·上海·高三专题练习）关于x的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）

17．（2022·上海长宁·二模）在中，角的对边分别为．

(1)若，求

(2)若， 的面积，求外接圆半径的最小值．

18．（2022·上海·高三专题练习）已知点为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴的上方交双曲线C于点M，且

(1)求双曲线C的方程；

(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为求的值.

19．（2022·上海交大附中高三期中）“跳台滑雪”是冬奥会中的一个比赛项目，俗称“勇敢者的游戏”，观赏性和挑战性极强．如图：一个运动员从起滑门点出发，沿着助滑道曲线滑到台端点起跳，然后在空中沿抛物线飞行一段时间后在点着陆，线段的长度称作运动员的飞行距离，计入最终成绩．已知在区间上的最大值为，最小值为．

(1)求实数，的值及助滑道曲线的长度．

(2)若运动员某次比赛中着陆点与起滑门点的高度差为120米，求他的飞行距离（精确到米，）．

20．（2022·上海·二模）如图，在四棱锥P – ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD ⊥ CD，AD // BC，PA = AD = CD = 2，BC = 3．E为PD的中点，点F在PC上，且．

(1)求证：CD⊥平面PAD；

(2)求二面角F – AE – P的余弦值；

(3)设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．

21．（2022·上海市进才中学高三期中）已知数列的前项和为，满足：.

(1)求证：数列为等差数列；

(2)若，数列满足，记为的前项和，求证：；

(3)在（2）的前提下，记，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.

2023届高考数学一轮复习收官卷（一）（上海市）

 一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1．（2022·上海市光明中学模拟预测）已知集合，，则_____________．

【答案】

【详解】，.

故答案为：.

2．（2022·上海·模拟预测）若是二项式展开式的系数，则______

【答案】

【详解】，

故

故答案为：2

3．（2022·上海徐汇·二模）圆的圆心到直线：的距离   

【答案】3

【详解】试题分析：因为圆心坐标为(1,2)，所以圆心到直线的距离为．

4．（2022·上海虹口·二模）函数的最小正周期为___________．

【答案】.

【详解】试题分析：因为函数，，所以其最小正周期为.

故答案为.

5．（2022·上海交大附中模拟预测）函数（）为奇函数，则___________.

【答案】

【详解】若函数为奇函数，则，

即，

即对任意的恒成立，则，

得.

故答案为：.

6．（2022·上海徐汇·三模）设圆锥底面圆周上两点、间的距离为，圆锥顶点到直线的距离为，和圆锥的轴的距离为，则该圆锥的侧面积为___________.

【答案】

【详解】设圆锥的顶点为，底面圆圆心为点，取线段的中点，连接、、、，

因为，，则，，故，

因为平面，平面，，

所以，为直线、的公垂线，故，

因为，，，

所以，圆锥的底面圆半径为，母线长为，

因此，该圆锥的侧面积为.

故答案为：.

7．（2022·上海·模拟预测）若函数的值域是，则函数的值域是________.

【答案】

【详解】因函数的值域是，从而得函数值域为，

函数变为，，由对勾函数的性质知在上递减，在上递增，

时，，而时，，时，，即，

所以原函数值域是.

故答案为：

8．（2022·上海静安·模拟预测）已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前9项和为___________________．

【答案】18

【详解】

，

由，可得，当时，，

故函数的图象关于点对称，

由等差中项的性质可得，

故，

所以，数列的前项和为.

故答案为：18

9．（2022·上海市七宝中学模拟预测）给定曲线族，为参数，则这些曲线在直线上所截得的弦长的最大值是________

【答案】

【详解】将y＝2x代入曲线方程得x1＝0，．

令，

则3t﹣1＝（8﹣2t）sinθ+（t+1）cosθ，

∴，

∴弦长．

故弦长的最大值是8，

故答案为8．

10．（2022·上海·高三专题练习）已知椭圆()的焦点、，抛物线的焦点为，若，若恒成立，则的取值范围为__________；

【答案】

【详解】由题意，故、、三点共线，即椭圆焦点在轴上，

故椭圆的焦点为，抛物线的焦点

用坐标表示，有

可得，即

故

即的取值范围为

故答案为：

11．（2022·上海·高三专题练习）已知数列、的通项公式分别是，，把数列、的公共项从小到大排列成新数列，那么数列的第项是中的第________项

【答案】

【详解】设即

当为奇数时，满足 即

故答案为：

12．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知非零平面向量，，满足，且，若与的夹角为，且，则的模取值范围是___________.

【答案】

【详解】如图1，令，，，则，取AB中点M .

由，可得，

，

所以，即C在以M为圆心、为半径的圆上.

由，当O、M、C三点共线时（M在线段OC上），.

由于O在以AB为弦的圆弧上，设圆心为G，

由正弦定理可知，即，

当时，圆G半径取得最大值.

当O、M、G三点共线（G在线段OM上），且时，

取得最大值，此时，

所以.

如图2，显然当O、M、C三点共线（点C在线段OM上），

当时，圆G半径取得最小值.

，即M、G两点重合.取得最小值为2.

则时，.

故向量的模取值范围是

故答案为：

二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13．（2022·上海松江·二模）下列函数中，与函数的奇偶性和单调性都一致的函数是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】容易判断是奇函数，且在R上是增函数，而是偶函数，在R上不是增函数，所以排除A,C,D.

对B，函数是奇函数，且，则函数在R上是增函数.

故选：B.

14．（2022·上海·高三专题练习）的展开式中，项的系数为，则实数的值为（    ）

A．2 B．3 C． D．2或3

【答案】D

【详解】，

展开式的通项为

令得展开式含项的系数为

令得展开式含项的系数为

令得展开式含项的系数为

所以的展开式中项的系数为，

解得或

故选D

15．（2022·上海市光明中学模拟预测）已知不等式有实数解．结论（1）：设是的两个解，则对于任意的，不等式和恒成立；结论（2）：设是的一个解，若总存在，使得，则，下列说法正确的是（    ）

A．结论①、②都成立 B．结论①、②都不成立

C．结论①成立，结论②不成立 D．结论①不成立，结论②成立

【答案】B

【详解】当且 时，

的解为全体实数，故对任意的，与 的关系不确定，例如：取而，所以 ，故结论①不成立.

当且 时，的解为 ，其中 是的两个根.当 此时 ，但 值不确定，比如：，取 ，则，但 ，故结论②不成立.

故选：B

16．（2022·上海·高三专题练习）关于x的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】解：由已知x2﹣4x+5＝0的解为，设对应的两点分别为A，B，

得A（2，1），B（2，﹣1），

设x2+2mx+m＝0的解所对应的两点分别为C，D，记为C（x1，y1），D（x2，y2），

（1）当△＜0，即0＜m＜1时，的根为共轭复数，必有C、D关于x轴对称，又因为A、B关于x轴对称，且显然四点共圆；

（2）当△＞0，即m＞1或m＜0时，此时C（x1，0），D（x2，0），且＝﹣m，

故此圆的圆心为（﹣m，0），

半径，

又圆心O1到A的距离O1A＝，

解得m＝﹣1，

综上：m∈（0，1）∪{﹣1}.

故选：D.

三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）

17．（2022·上海长宁·二模）在中，角的对边分别为．

(1)若，求

(2)若， 的面积，求外接圆半径的最小值．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）因为，由正弦定理，，所以，因为，所以

（2）由已知，，所以，                                

所以    

因为

所以（当时取等号）         

所以

所以的最小值为（当时取得）

18．（2022·上海·高三专题练习）已知点为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴的上方交双曲线C于点M，且

(1)求双曲线C的方程；

(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为求的值.

【答案】(1) ;(2)

【详解】(1) 在直角三角形中,因为所以有

,由双曲线的定义可知：,,所以双曲线C的方程是.

(2)设是双曲线C上任意一点,故有

两条渐近线方程为：,设的倾斜角为，故,设两条渐近线在第一、四象限夹角为,所以

,于是有.

因为P到双曲线两条渐近线的距离为：

19．（2022·上海交大附中高三期中）“跳台滑雪”是冬奥会中的一个比赛项目，俗称“勇敢者的游戏”，观赏性和挑战性极强．如图：一个运动员从起滑门点出发，沿着助滑道曲线滑到台端点起跳，然后在空中沿抛物线飞行一段时间后在点着陆，线段的长度称作运动员的飞行距离，计入最终成绩．已知在区间上的最大值为，最小值为．

(1)求实数，的值及助滑道曲线的长度．

(2)若运动员某次比赛中着陆点与起滑门点的高度差为120米，求他的飞行距离（精确到米，）．

【答案】(1)，，助滑道曲线的长度为米

(2)米

【详解】（1）解：因为，令，则，，

所以表示以为圆心，半径的圆弧，

因为由图象可知函数开口向下，

所以，又对称轴为，又，

所以当时，，

解得，所以，

即，，助滑道曲线的长度为米

（2）解：依题意可得，，，

由（1）可得，

令，即，解得，（舍去）；

所以，所以，

即该运动员飞行距离约为米；

20．（2022·上海·二模）如图，在四棱锥P – ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD ⊥ CD，AD // BC，PA = AD = CD = 2，BC = 3．E为PD的中点，点F在PC上，且．

(1)求证：CD⊥平面PAD；

(2)求二面角F – AE – P的余弦值；

(3)设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)直线AG不在平面AEF内，详见解析．

【详解】（1）因为平面，平面，所以PA⊥CD，

又因为AD⊥CD，，

所以CD⊥平面PAD.

（2）过A作AD的垂线交BC于点M.

因为PA⊥平面ABCD，平面，

所以PA⊥AM，PA⊥AD，

以A为坐标原点如图建立空间直角坐标系A-xyz.

则A(0，0，0)，B(2，－1，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，

因为E为PD的中点，所以E(0，1，1)，

所以，，，，

所以，.

设平面AEF的法向量为，

则即，

令，则，，故，

又平面PAD的法向量为，

所以，

∴二面角平面角余弦值为.

（3）直线AG不在平面AEF内，理由如下：

因为点G在PB上，且，故，

所以，.

由（2）知，平面AEF的法向量，

所以，所以直线AG不在平面AEF内.

21．（2022·上海市进才中学高三期中）已知数列的前项和为，满足：.

(1)求证：数列为等差数列；

(2)若，数列满足，记为的前项和，求证：；

(3)在（2）的前提下，记，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)

【详解】（1）因为，所以，，

两式相减可得，即

由可得，

两式相减可得

化简可得，所以，

所以数列为等差数列；

（2）由可得，可得，

因为，所以，

因为数列满足，

所以，所以，

所以数列为等比数列，

因为，所以，，

所以，

所以，即，

（3）由（2）可得；

由已知

可得

设的前项和中，奇数项的和为，偶数项的和为，

所以，

当为奇数时，，

所以

当为偶数时，，

所以

由，

得，

即，

当为偶数时，对一切偶数成立，所以，

当为奇数时，对一切奇数成立，所以此时，

故对一切恒成立，则.