2023届江西省景德镇市高三上学期第二次质检数学（文）试题（word版）

景德镇市2023届高三第二次质检试题

数学（文科）

满分150分，考试时间120分钟

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合的所有非空子集的元素之和等于12，则等于（）

A. 1 B. 3 C. 4 D. 6

2. 已知为虚数单位，若复数为纯虚数，则复数在复平面上对应的点所在的象限为（）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 已知向量，，，若，则的值为（）

A. 2 B. -2 C.  D.

4. 已知一个实心铜质圆锥形材料的底面半径为4，圆锥母线长，现将它熔化后铸成一个实心铜球，不计损耗，则铜球的表面积为（）

A.  B.  C.  D.

5. 斐波那契数列满足，，设，则（）

A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025

6. 如图，已知正方体棱长为2，，分别为，的中点.则下列选项中错误的是（）

A. 直线平面

B. 三棱锥在平面上的正投影图的面积为4

C. 棱上存在一点，使得平面平面

D. 若为棱的中点，三棱锥的外接球表面积为

7. 已知抛物线：的焦点为，，是上两点，若，则（）

A.  B.  C.  D. 2

8. 德国数学家莱布尼兹于1674年得到了第一个关于的级数展开式，该公式于明朝初年传入我国.我国数学家、天文学家明安图为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年（1736年）开始，历时近30年，证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式，著有《割圆密率捷法》一书，为我国用级数计算开创先河，如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于的级数展开式计算的近似值（其中表示的近似值）”.若输入，输出的结果可以表示为（）

A.  B.

C.  D.

9. 杨辉是南宋杰出的数学家,他曾担任过南宋地方行政官员,为政清廉,足迹遍及苏杭一带.杨辉一生留下了大量的著述,他给出了著名的三角垛公式:.若正项数列的前项和为,且满足,数列的通项公式为,则根据三角垛公式,可得数列的前10项和（）

A. 440 B. 480 C. 540 D. 580

10. 已知双曲线的左，右焦点分别为，直线l过且与双曲线交于A，B两点，若直线l不与x轴垂直，且，则直线l的斜率为（）

A.  B.  C.  D.

11. 若抛掷两枚骰子出现的点数分别为，，则“在函数的图象与轴有交点的条件下，满足函数为偶函数”的概率为（）

A.  B.  C.  D.

12. 若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（）

A.  B.

C.  D.

第Ⅱ卷（非选择题）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生必须做答，第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 由于夏季炎热某小区用电量过大，据统计一般一天停电的概率为0.3，现在用数据0、1、2表示停电；用3、4、5、6、7、8、9表示当天不停电，现以两个随机数为一组，表示连续两天停电情况，经随机模拟得到以下30组数据，

28  21  79  14  56    74  06  89  53  90    14  57  62  30  93

78  63  44  71  28    67  03  53  82  47    23  10  94  02  43

根据以上模拟数据估计连续两天中恰好有一天停电的概率为________.

14. 已知圆：，直线：，若当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为________.

15. 已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的的取值范围是_________.

16. 若函数，在上恰有一个最大值点和两个零点，则实数的取值范围是________.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且角A为锐角.

（1）求角B；

（2）若的面积为，求b的最小值.

18. 如图，在四棱锥中，底面平行四边形，，，，，，点在棱上，平面平面.

（1）证明：；

（2）若平面，求三棱锥的体积.

19. 目前直播带货已经席卷全国了，不论老人小孩、男生女生，大家都听说或是尝试过直播购物，它所具有的能突破时间、空间限制的特点已经吸引了越多越多的人.由此可见，它的受众非常广泛，是大势所趋.不管是什么行业领域，都可以去从事直播带货.直播带货的兴起为人们提供了更多就业岗位.小明是一名刚毕业的大学生，通过直播带货的方式售卖自己家乡的特产，下面是他近4个月的家乡特产收入（单位：万元）情况，如表所示.

（1）根据5月至8月的数据，求y与t之间的线性相关系数（精确到0.01），并判断相关性；

（2）求出y关于t的回归直线方程，并预测9月收入能否突破1万元，请说明理由.

附：①相关系数公式：；（若，则线性相关程度非常强，可用线性回归模型拟合）

②一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，；

③参考数据：，，.

20. 已知椭圆：左右焦点分别为，，，分别为左右顶点，直线：与椭圆交于，两点，当倾斜角为时，是椭圆的上顶点，且的周长为6.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作轴的垂线，为上异于点的一点，以为直径作圆.若过点的直线（异于轴）与圆相切于点，且与直线相交于点，试判断是否为定值，并说明理由.

21. 已知函数.

（1）若函数在定义域上单调递增,求的最大值;

（2）若函数在定义域上有两个极值点和,若,求的最大值.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.

[选修44：坐标系与参数方程]

22. 在平面直角坐标系中，曲线：（为参数）经过伸缩变换得到曲线，在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程；

（2）设点是曲线上的动点，求点到直线距离的最小值.

[选修45：不等式选讲]

23. 已知函数，.

（1）若，求不等式的解集；

（2）已知，若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围.

景德镇市2023届高三第二次质检试题

数学（文科）

1. 【答案】D

2. 【答案】D

3. 【答案】A

4. 【答案】B

5. 【答案】C

6. 【答案】B

7. 【答案】D

8. 【答案】C

9. 【答案】A

10. 【答案】B

11. 【答案】D

12. 【答案】A

第Ⅱ卷（非选择题）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生必须做答，第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 【答案】##

14. 【答案】

15. 【答案】

16. 【答案】

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且角A为锐角.

（1）求角B；

（2）若的面积为，求b的最小值.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）首先化简可得：，由角A为锐角，所以，即可的得解；

（2）由，可得，由，代入即可得解.

【小问1详解】

由可得：

，

由角A为锐角，所以，

所以，又，所以；

【小问2详解】

，

所以，

由余弦定可得，

当且仅当时取等，满足角A为锐角，

所以由，可得b的最小值为.

18. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，，，点在棱上，平面平面.

（1）证明：；

（2）若平面，求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析

（2）

【解析】

【分析】（1）根据面面垂直的性质得到平面，即可得证；

（2）连接交于点，连接，根据线面平行的性质得到，则为的中点，再证平面，从而得到，最后根据计算可得.

【小问1详解】

证明：因为平面平面，平面平面，，平面．

平面，平面，

；

【小问2详解】

解：

连接交于点，连接，

因为平面，平面平面，平面，

所以，因为为的中点，则为的中点，

因为，底面为平行四边形，所以，

又，，平面，所以平面，

又平面，所以，

因为，，所以，

又，所以，则，所以，

所以，

所以.

19. 目前直播带货已经席卷全国了，不论老人小孩、男生女生，大家都听说或是尝试过直播购物，它所具有的能突破时间、空间限制的特点已经吸引了越多越多的人.由此可见，它的受众非常广泛，是大势所趋.不管是什么行业领域，都可以去从事直播带货.直播带货的兴起为人们提供了更多就业岗位.小明是一名刚毕业的大学生，通过直播带货的方式售卖自己家乡的特产，下面是他近4个月的家乡特产收入（单位：万元）情况，如表所示.

（1）根据5月至8月的数据，求y与t之间的线性相关系数（精确到0.01），并判断相关性；

（2）求出y关于t的回归直线方程，并预测9月收入能否突破1万元，请说明理由.

附：①相关系数公式：；（若，则线性相关程度非常强，可用线性回归模型拟合）

②一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，；

③参考数据：，，.

【答案】（1）；认为y与t之间有很强的相关性.

（2）y关于t的回归直线方程为：，不能.

【解析】

【分析】(1)直接代入公式求出认为y与t之间的线性相关系数，即可判断；

(2)代入公式求出系数，即可得到回归方程，并求出9月收入即可判断

小问1详解】

由表格数据可知：，，则，

由题意知：，

，

代入相关系数公式可得：，

因为，所以认为y与t之间有很强的相关性.

【小问2详解】

由题意可得：，

，，，

所以，则，

所以y关于t的回归直线方程为：，

把代入可得：，

所以预测9月收入不能突破1万元.

20. 已知椭圆：的左右焦点分别为，，，分别为左右顶点，直线：与椭圆交于，两点，当倾斜角为时，是椭圆的上顶点，且的周长为6.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作轴的垂线，为上异于点的一点，以为直径作圆.若过点的直线（异于轴）与圆相切于点，且与直线相交于点，试判断是否为定值，并说明理由.

【答案】（1）

（2）为定值

【解析】

【分析】（1）当倾斜角为时，求出直线的方程，令，求出，即可求出，再根据的周长及求出、，即可得解；

（2）由题设可得，设点，的方程设为，利用相切条件可得，联立直线方程可求的坐标，从而可判断在椭圆上，从而可证为定值.

【小问1详解】

解：当倾斜角为时，直线为，

令，得，即椭圆的上顶点为，所以，

又的周长为，即，又，解得，，

所以椭圆的方程为 .

【小问2详解】

解：由（1）可知，，，

因为过与圆相切的直线分别切于、两点，所以，

所以，

设点，则，圆的半径为，

则直线的方程为，

的方程设为，则，化简得，

由，解得，所以点

，所以点在椭圆上，

∴，即．

21. 已知函数.

（1）若函数在定义域上单调递增,求的最大值;

（2）若函数在定义域上有两个极值点和,若,求的最大值.

【答案】（1）2（2）

【解析】

【分析】(1)由在定义域上单调递增,即在定义域上恒成立,求导之后全分离,设新函数,求导求单调性求最值即可;

(2)对求导,使其导函数等于零有两根和,全分离后找到和之间关系,将等式化简,令等式为,用代换和,根据找到的范围,将用表示,设出新函数,求导求单调性,求最值即可.

【小问1详解】

解:由题知

,,

因为在定义域上单调递增,

所以在上恒成立,

即在上恒成立,

记,

即,

因为,

所以当时,,单调递减,

当时,单调递增,

故,

故,

即的最大值为2;

【小问2详解】

因为在定义域上有两个极值点和,

即在定义域上有两个不相等的实根和,

故有,

即有两个不相等的实根和,

即,

移项可得:,

因为,所以,

令,

联立,

解得,

所以,

解得,

所以,

令,,

所以

,

令,,所以,

,

所以在上单调递减,所以,

因为,

即,在上单调递减,

所以,即在恒成立,

当时,,即,即在上单调递减,

所以,

即,故,

所以的最大值为.

【点睛】思路点睛:本题考查函数与导数的综合总用,属于难题,关于极值点,零点的双变量问题的思路有:

(1)根据题意进行分析,得到关于双变量的等式或不等式;

(2)将等式或不等式转化为一元变量问题;

(3)构造一元函数,求导,求单调性,求最值即可.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.

[选修44：坐标系与参数方程]

22. 在平面直角坐标系中，曲线：（为参数）经过伸缩变换得到曲线，在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程；

（2）设点是曲线上的动点，求点到直线距离的最小值.

【答案】（1）；

（2）.

【解析】

【分析】（1）先根据参数方程和普通方程的互化公式求解的普通方程，再根据伸缩变化的性质求解的普通方程；

（2）先根据极坐标方程和普通方程的互化公式求解的普通方程，再设出点的坐标，利用点到直线的距离公式和正弦函数的性质可求得结果.

【小问1详解】

由题意得曲线：（为参数）的普通方程为，

由伸缩变换，得，

代入，得，

所以曲线的普通方程为；

【小问2详解】

因为直线的极坐标方程为，

所以直线的直角坐标方程为，

设点，则点到直线的距离为

，

所以当时，取得最小值，

即点到直线距离的最小值.

[选修45：不等式选讲]

23. 已知函数，.

（1）若，求不等式的解集；

（2）已知，若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）当时将写出分段函数，再分类讨论求出不等式的解集；

（2）利用绝对值三角不等式求出，再利用基本不等式求出的最小值，即可得到，解得即可.

【小问1详解】

解：当时，，

，

当时，即，；
当时，即，；
当时，即，，
综上可得不等式的解集为；

【小问2详解】

解：，当且仅当时取等号，
，
又，且，，
则，
当且仅当，即，时等号成立，
所以
根据题意可得，解得或，
的取值范围是.