2023届北京市东城区高三上学期期末考试数学试题（解析版）

2023届北京市东城区高三上学期期末考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】直接利用并集的概念运算即可

【详解】因为集合，，

所以.

故选：A.

2．在下列函数中，为偶函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用函数的奇偶性定义判断各个选项即可.

【详解】对于A，函数的定义域为，且，所以，故函数不为偶函数；

对于B，函数的定义域为，且，所以，故函数不为偶函数；

对于C，函数的定义域为，且，所以，故函数为偶函数；

对于D，函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数不为偶函数.

故选：C.

3．在的展开式中，若第3项的系数为10，则（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】B

【分析】直接利用二项式定理计算得到答案.

【详解】展开式的通项为，故，.

故选：B

4．在等比数列中，，，则（    ）

A．8 B．16 C．32 D．64

【答案】D

【分析】根据及等比数列的通项公式求出公比，再利用等比数列的通项公式即可求解.

【详解】设等比数列的公比为,

因为，，所以，解得.

所以.

故选:D.

5．北京中轴线是世界城市建设历史上最杰出的城市设计范例之一.其中钟鼓楼、万宁桥、景山、故宫、端门、天安门、外金水桥、天安门广场及建筑群、正阳门、中轴线南段道路遗存、永定门，依次是自北向南位列轴线中央相邻的11个重要建筑及遗存.某同学欲从这11个重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个游览，则选取的3个中一定有故宫的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分别求出这11个重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个的种数和选取的3个中一定有故宫的种数，再由古典概率代入即可得出答案.

【详解】设11个重要建筑依次为，其中故宫为，

从这11个重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个有：，

，共9种情况，

其中选取的3个中一定有故宫的有：，共3种，

所以其概率为：.

故选：D.

6．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边位于第一象限，且与单位圆交于点，轴，垂足为.若的面积为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由三角函数的定义结合三角形面积列出方程，再由倍角公式求出答案.

【详解】由三角函数的定义可知：，

故，故，

解得：.

故选：D

7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，其渐近线方程为，是上一点，且.若的面积为4，则的焦距为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由双曲线的渐近线方程为，所以.再结合题意可得到，解出，即可求得的焦距.

【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为，所以，

因为，的面积为4，

所以，解得，，

所以，即的焦距为.

故选：C.

8．在中，“对于任意，”是“为直角三角形”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】设，根据平面向量的运算可得，从而可得；若为直角三角形，不一定有，根据充分条件与必要条件的定义判断即可.

【详解】设，则，

所以即为，

所以是边上的高，即,即,

故为直角三角形.

若为直角三角形，不一定有，故不一定有.

所以“对于任意，”是“为直角三角形”的充分而不必要条件.

故选:A.

9．在平面直角坐标系中，若点在直线上，则当，变化时，直线的斜率的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】将点代入直线方程中得出点为圆上的动点，

结合图像分析即可求出直线的斜率的取值范围.

【详解】因为点在直线上，

所以，

即，

则表示圆心为，半径为1的圆上的点，

如图：

由图可知当直线与圆相切时，直线的斜率得到最值，

设，

由圆与直线相切，故有圆心到直线的距离为半径1，

即，

解得：，

由图分析得：直线的斜率的取值范围是.

故选：B.

10．如图，在正方体中，点是棱上的动点，下列说法中正确的是（    ）

①存在点，使得；

②存在点，使得；

③对于任意点，到的距离为定值；

④对于任意点，都不是锐角三角形.

A．①③ B．②③ C．②④ D．③④

【答案】C

【分析】建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向得空间直角坐标系，设正方体边长为1，运用空间向量法逐个判断解决即可.

【详解】由题知，在正方体中，点是棱上的动点，

建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向得空间直角坐标系，设正方体边长为1，

所以，设，其中，

所以，

当时，无解，故①错误；

当时，解得，故②正确；

因为，其中，

所以到的距离为

，不是定值，故③错误；

因为，其中，

所以，

所以三角形为直角三角形或钝角三角形，不可能为锐角三角形，故④正确；

故选：C

二、填空题

11．若复数满足，则______.

【答案】2

【分析】根据复数运算解决即可.

【详解】由题知，，

所以，

所以.

故答案为：2

12．经过抛物线焦点的直线与抛物线交于不同的两点，，经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，则点的纵坐标与点的纵坐标的大小关系为______.（填“＞”“＜”或“＝”）

【答案】

【分析】设，求出直线的方程，与准线方程联立可得.设直线的方程为，与抛物线方程联立可得，从而可求与的关系，即与的关系.

【详解】设，

则直线的方程为，

令，可得.

设直线的方程为，

联立，可得，

所以，即.

所以，即.

故答案为:.

13．对于数列，令，给出下列四个结论：

①若，则；

②若，则；

③存在各项均为整数的数列，使得对任意的都成立；

④若对任意的，都有，则有.

其中所有正确结论的序号是______.

【答案】①②④

【分析】逐项代入分析求解即可.

【详解】对于①：

因为，

且因为，

所以，

所以，

故选项①正确；

对于②：若，则

所以，

所以两式相减得，

所以，

所以，

所以，

故选项②正确；

对于③：，

，

所以若对任意的都成立，

则有，

所以

，

因为各项为整数，则不等式串中绝对值只能从越来越小，之后甚至会出现大于某数绝对值的情况，例如：，后续还会有绝对值，但是会有矛盾，故选项③错误；

对于④：

若对任意的，都有，

则有.

.

故选项④正确；

故答案为：①②④.

三、双空题

14．已知函数，则______；若将的图象向左平行移动个单位长度得到的图象，则的一个对称中心为______.

【答案】          (答案不唯一)

【分析】化简，代入即可求出；由三角函数的平移变换求出，再由三角函数的性质求出的对称中心，即可得出答案.

【详解】，

所以，

将的图象向左平行移动个单位长度得到的图象，

则，

所以的对称中心为.

故的一个对称中心为.

故答案为：；(答案不唯一).

15．设函数，当时，的值域为______；若的最小值为1，则的取值范围是______.

【答案】     ;     .

【分析】当时，根据单调性分段求值域，再取并集即可求值域；讨论可得与不符合题意；当时，,画出图象，设与在上的交点横坐标为，讨论可得时，的最小值为1，求出，解不等式即可求的取值范围.

【详解】若，则，

当,单调递增，所以；

当,单调递减，所以.

故的值域为.

当时，的值域为，不符合题意；

当时，在上的最小值为，不符合题意；

当时，,

画出的图象，如图所示：

设与在上的交点横坐标为，

又，

当时，由图象可得无最小值；

当时，由图象可得有最小值，

由，可得，

故可得，

所以，即，

化简得,解得.

故答案为:;.

【点睛】方法点睛：(1)分段函数问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；

(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．

四、解答题

16．如图，在锐角中，，，，点在边的延长线上，且.

(1)求；

(2)求的周长.

【答案】(1)；

(2)30.

【分析】（1）在中，利用正弦定理即可求解；

（2）由（1）可求得，在中，利用余弦定理可求，从而可求的周长.

【详解】（1）在中，，，，

由正弦定理可得，故，

因为是锐角三角形，所以 .

（2）由（1）得，所以.

在中，，，，

所以.

所以的周长为.

17．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点，为上一点，平面.

(1)求证：为的中点；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值.

条件①：；

条件②：.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）取的中点，可证明平面平面，故平面，从而可证明，可得为的中点；

（2）选择条件①，可得两两垂直，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求直线与平面所成角的正弦值；

选择条件②，利用勾股定理的逆定理可得，可得两两垂直，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求直线与平面所成角的正弦值.

【详解】（1）取的中点，易知.

因为平面,平面,所以平面.

因为平面，平面，

所以平面平面.

因为平面，所以平面.

因为平面，且平面平面，所以.

因为为的中点，所以为的中点.

（2）选择条件①：，

因为底面是边长为2的正方形，所以.

因为平面，所以平面.

因为平面，所以.

因为，所以两两垂直，

以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，

则，

所以，

设平面的法向量为，

则，令，得，

设直线与平面所成角为，

则.

故直线与平面所成角的正弦值为.

选择条件②：，

因为，,所以.

因为，,所以,

所以，即.

因为底面是边长为2的正方形，所以.

因为平面，所以平面.

因为平面，所以.

因为，所以两两垂直，

以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，

则，

所以，

设平面的法向量为，

则，令，得，

设直线与平面所成角为，

则.

故直线与平面所成角的正弦值为.

18．“双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动.某校为了解学生课后活动的情况，从全校学生中随机选取100人，统计了他们一周参加课后活动的时间（单位：小时），分别位于区间，，，，，，用频率分布直方图表示如下，假设用频率估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立.

(1)估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间的概率；

(2)从全校学生中随机选取3人，记表示这3人一周参加课后活动的时间在区间的人数，求的分布列和数学期望；

(3)设全校学生一周参加课后活动的时间的众数、中位数、平均数的估计值分别为，，，请直接写出这三个数的大小关系.（样本中同组数据用区间的中点值替代）

【答案】(1)

(2)答案见解析

(3)

【分析】（1）直接计算得到答案.

（2）概率，的可能取值为，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.

（3）根据公式计算众数，平均数和中位数，再比较大小即可.

【详解】（1）参加课后活动的时间位于区间的概率.

（2）活动的时间在区间的概率，

的可能取值为，

，，

，.

故分布列为：

（3）众数为：；

，

，

则，；

，

故

19．已知椭圆：（）的离心率为，长轴长与短轴长的和为6，，分别为椭圆的左、右焦点.

(1)求椭圆的方程；

(2)设为椭圆上一点，.若，，成等差数列，求实数的范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由离心率，长轴长与短轴长的和列出方程组求解即可；

（2）由等差关系推导出，进而化简为结合椭圆有界性可求出范围.

【详解】（1）由题意∴

∴，

故椭圆的方程为.

（2）设

∵，，成等差数列

∴=

，

20．已知函数.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求的极值；

(3)证明：当时，曲线：与曲线：至多存在一个交点.

【答案】(1)

(2)极小值为，无极大值；

(3)证明过程见解析

【分析】（1）求导，得到，并得到，从而写出曲线的切线方程；

（2）求导后得到时，，当时，，从而得到函数单调性，求出的极小值为，无极大值；

（3）令，求出定义域和导数，对导函数变形得到，令，得到其单调性，结合零点存在性定理得到，即，此时取得极小值，从而得到当时，曲线：与曲线：至多存在一个交点.

【详解】（1），

，则，

故曲线在点处的切线方程为：，即；

（2），当时，，

当时，，

故在上单调递增，在上单调递减，

在处取得极小值，，

故的极小值为，无极大值；

（3）令，定义域为，

，其中，

令，则在上恒成立，

在上单调递增，

因为，，

由零点存在性定理可知：，

当时，，即，单调递减，

当时，，即，单调递增，

当时，，即，此时取得极小值，

，

因为，所以，

故，

当时，，此时在上，，

则曲线：与曲线：无交点，

当时，，此时，有且仅有一个，使得，

当且时，都有，即，

故当时，曲线：与曲线：存在一个交点，

故当时，曲线：与曲线：至多存在一个交点.

【点睛】隐零点的处理思路：

第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；

第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.

21．已知数列：，，…，满足：（，2，…，，），从中选取第项、第项、…、第项（，）称数列，，…，为的长度为的子列.记为所有子列的个数.例如：0，0，1，其.

(1)设数列：1，1，0，0，写出的长度为3的全部子列，并求；

(2)设数列：，，…，，：，，…，，：，，…，，判断，，的大小，并说明理由；

(3)对于给定的正整数，（），若数列：，，…，满足：，求的最小值.

【答案】(1)6

(2)

(3)

【分析】（1）由题得的长度为3的子列有2个，长度为2的子列有1个，长度为4的子列有1个；（2）若是的一个子列，则为的一个子列.若与是的两个不同子列，则与也是的两个不同子列，得，同理，得，同理；（3）令，得数列中不含有0的子列有个，含有1个0的子列有k个，含有2个0的子列有个，，含有个0的子列有个，即可解决.

【详解】（1）由的定义以及，

可得：的长度为3的子列为：，有2个，

的长度为的子列有个，的长度为的子列有个，

所以.

（2）

理由如下：

若是的一个子列，

则为的一个子列.

若与是的两个不同子列，

则与也是的两个不同子列.

所以.

同理，

所以.

同理

所以有

（3）由已知可得，数列中恰有个1，个0.

令，

下证：.

由于，

所以的子列中含有个0，个1 的子列有且仅有1 个，

设为：.

因为数列的含有个0，个1的子列至少有一个，

所以.

数列中，

不含有0的子列有个，

含有1个0的子列有k个，

含有2个0的子列有个，，

含有个0的子列有个，

所以.

所以的最小值为.