哈尔滨市一六二中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试卷（含部分解析）

哈162中学2022-2023学年度第一学期月考试卷（高二数学）

一、选择题（每题6分）

1、已知向量，且，则x的值为(     )

A. 4 B. 2 C. 3 D. 1

2、若直线的方向向量为,平面的法向量为,则(   )

A.  B.  C.  D. 与斜交

3、点到直线的距离为(   )

A.2 B. C.4 D.

4、已知一个圆的标准方程为，则此圆的圆心与半径分别为(   )

A.，4 B.， C.，4 D.,

5、不论为何值，直线恒过定点（   ）

A． B． C． D．

6、已知直线与直线平行，则的值为(   )

A.     B.6     C.      D.

7、经过点，且方向向量为的直线方程是（    ）

  A.  B.

  C.  D.

8、若方程表示圆，则的取值范围为( )

A.  B.

C.  D.

9、已知,点在直线上,且,设.若,则的值为(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题（每题6分，少选3分，多选或者错选不得分）

10、下列说法正确的是（    ）

A．任何三个不共面的向量可构成空间的一个基底

B．空间的基底有且仅有一个

C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底

D．直线的方向向量有且仅有一个

11、下列说法中，正确的是(   )

A.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8

B.过，两点的直线方程为

C.过点且与直线相互平行的直线方程是

D.经过点且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为

12、如果，，那么直线经过(   )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

13、已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果，，，则下列结论正确的有(   )

A.  B.

C.是平面ABCD的一个法向量 D.

三、填空题（每题6分）

14、若直线与两坐标轴交点为A，B，则以线段AB为直径的圆的方程是________.

15、已知点，点B是直线上的动点，则的最小值是__________.

16、直线和直线垂直，则实数m的值为_______.

17、如图，在长方体中，，点为的中点，则点到平面的距离为___________．

四、解答题（每题12分）

18、在长方体中,已知,连接,如图,建立空间直角坐标系.

(1)在图中标出点E（2,2,）的位置；

(2)求与的坐标；

(3)求向量在平面上的投影向量的坐标.

19、根据下列条件分别求出直线方程：

（1）已知直线l过点 倾斜角为120°；

（2）已知直线l过点 并在x轴、y轴上的截距之和等于0.

（3）已知点，.求过点且与直线AB平行的直线m的方程；

（4）一束光线从点射向（3）中的直线m，若反射光线过点，求反射光线所在的直线的方程.

20、已知的三边BC，CA，AB的中点分别是，，.

（1）求的边AB所在直线的方程及点A的坐标；

（2）求的外接圆的方程.

21、如图所示, 矩形 所在平面与直角梯形 所在平面 垂直, 点 是边 上一点, .

(1)求证: 平面 平面;

(2)求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.

参考答案

1、答案：A

解析：由题可得，

，解得，故选A.

2、答案：B

解析：∵,即,故,∴.

3、答案：D

解析：点到直线的距离.

4、答案：D

解析：由圆的标准方程可得圆心坐标为,半径为.故选D.

5、答案：B

解析：恒过定点，恒过定点，由解得即直线恒过定点.

9、答案：B

解析：直线与直线平行,

解得
所以B选项是正确的

7、答案：A

解析：直线的方向向量为，直线的斜率，

直线的方程为，即.故选：A.

8、答案：C

解析：方程表示圆，
则须满足，
即，
解得或，
故选：C.
 

6、答案：B

解析：设,则.,即..

13、答案：AC

解析：

10、答案：AC

解析：直线与两坐标轴围成的三角形的面积是，故A正确；当或时，式子无意义，故B不正确；设与直线相互平行的直线方程是，将点代入，得，则直线的方程是，故C正确；经过点且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为或，故D错误.故选AC.

11、答案：ACD

解析：

12、答案：ABC

解析：，，，A对；

，，，B对；

，，，平面ABCD，

是平面ABCD的一个法向量，C对；

，设，即方程组无解，D错.

故选ABC.

14、答案：

解析：由题意得，，AB的中点为圆的圆心，直径，以线段AB为直径的圆的标准方程为

15、答案：

解析：线段AB最短时，AB与直线垂直，则.

16、答案：-2或0

解析：因为直线和直线垂直，

所以，即，解得或-2.

17、答案：

解析：∵在长方体中，，

点为的中点，

以为原点，建立空间直角坐标系，如图

∴，

，

，

，

设平面的法向量，

则，

取，得，

∴点到平面的距离：

．

故答案为：．

18、答案：(1)点的位置如图中所示：

(2)设分别为方向上的单位向量,

则,

,

所以.

(3)连接,则向量在平面上的投影向量为.

又,

所以.

解析：

19、答案：（1）由直线l的倾斜角为120°，可得斜率，由直线的点斜式方程可得，，化简得直线l的方程为.

（2）当直线l经过原点时，在x轴、y轴上的截距之和等于0，符合题意，此时直线l的方程为，即；

当直线l不过原点时，设直线l的方程为.

因为在直线l上，所以，

解得，则直线l的方程为.

综上所述，直线l的方程为或.

解析：

20、答案：（1），，
的中点坐标为，
，

线段AB的中垂线的斜率为，

设线段AB的中垂线方程为.

，AB的中点坐标为，

，解得.
线段AB的中垂线方程为.
（2）设直线l的方程为.

由题意知，且直线l过点，

，解得，

直线l的方程为.

（3）设关于直线l的对称点为，

则

解得

，.

反射光线所在的直线方程为，即.

解析：

22、答案：(1).

(2)直线的方程为 或 .

解析：(1)由题意，可知 ，所以，

则.所以，

所以所求直线的方程为：.

(2)当直线过原点时方程为：，当直线不过原点时方程为：.

故所求直线的方程为 或 .1、答案：（1）由题意可知，

又为AB的中点，

所在直线的方程为，

即.①

同理CA所在直线的方程为，②

联立①②，得.

同理可得，.

（2）由（1）可得，，

设的外接圆的方程为，将A，B，C的坐标代入圆的方程可得

解方程组可得

圆的方程为.

解析：

2、答案：(1)见解析(2)

解析：(1)证明: 由题意得, 所以,
所以,
所以.
因为平面 平面, 且平面 平面,
所以 平面.
因为 平面, 所以.
因为, 所以 平面.
因为 平面, 所以平面 平面.

(2) 解: 以 为原点, 直线 分别为 轴, 轴, 轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则, ,.
设平面 的一个法向量为,
则有 得
取, 得, 所以.
设平面 的一个法向量为,
则有 得

取, 得, 所以.
设平面 与平面 所成锐二面角为,
则,
平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为.