2021-2022学年青海省玉树州三校（二高、三高、五高）高二下学期期末联考数学（理）试题（解析版）

这是一份2021-2022学年青海省玉树州三校（二高、三高、五高）高二下学期期末联考数学（理）试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则
A．B．或
C．D．或
【答案】D
【解析】先化简集合，即可求出其补集.
【详解】因为，所以或.
故选D
【点睛】本题主要考查集合补集运算，考查运算求解能力，熟记概念即可，属于基础题型.
2．若，其中，则（ ）
A．3B．2C．-2D．-3
【答案】D
【分析】等式左侧展开，应用两个复数相等（实部等于实部且虚部等于虚部）列方程组求解即可.
【详解】∵
∴ 解得
故选：D.
3．已知向量，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据垂直关系可得，求得的值，再进行向量的坐标运算即可得解.
【详解】因为，所以，解得，则.
故选：A
4．的展开式中常数项为（ ）
A．B．5C．10D．
【答案】C
【解析】先写出二项式展开式的通项,再化简令x的指数为零即得r的值，再求出展开式的常数项.
【详解】由题得二项式展开式的通项为，
令.
所以所求常数项为.
故选：C.
【点睛】易错点点睛：(1)本题主要考查二项式展开式的通项和指定项的求法，考查指数幂的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 二项式通项公式： （）①它表示的是二项式的展开式的第项，而不是第项；②其中叫二项式展开式第项的二项式系数，而二项式展开式第项的系数是字母幂前的常数；③注意.
5．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】渐近线与直线垂直，得、关系，再由双曲线基本量的平方关系，得出、的关系式，结合离心率的定义，可得该双曲线的离心率．
【详解】∵双曲线的一条渐近线与直线垂直．
∴双曲线的渐近线方程为，
∴，得，，
此时，离心率．
故选C．
【点睛】本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．
6．已知等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．8B．7C．6D．4
【答案】A
【解析】利用已知条件化简，转化求解即可．
【详解】已知为等比数列，，且，
满足，则S3＝8．
故选：A．
【点睛】思路点睛：
（1）先利用等比数列的性质，得，
（2）通分化简.
7．榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先由三视图还原几何体，再根据相关面积公式运算求解.
【详解】由三视图可知该几何体由底边长为、高为正四棱柱和底面半径为、高为的圆柱体组合而成
侧面积为，上下底面积的和为，则其表面积，
故选：B.
8．函数在上的图象大致为
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用奇偶性可以排除B，D，结合特殊点，即可得出选项．
【详解】∵，∴为偶函数，排除B，D．
∵，∴排除C，
故选A．
【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.
9．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的结果为
A．80B．84C．88D．92
【答案】A
【详解】由题设可知当时，，程序运算继续执行，程序运算继续执行，程序运算继续执行，故此时运算程序结束，输出，应选答案A．
10．若抛物线C：y2＝4x上一点M（a，b）到焦点F的距离为5，以M为圆心且过点F的圆与y轴交于A，B两点，则|AB|＝（ ）
A．4B．6C．D．8
【答案】B
【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义可得a＝1＝5，求得a，b，以及圆的半径，运用弦长公式计算可得所求值．
【详解】抛物线C：y2＝4x的焦点为（1，0），准线方程为x＝﹣1，
由抛物线的定义可得a+1＝5，解得a＝4，b＝±4，
以M（4，±4）为圆心且过点F的圆的半径为5，
由圆心到y轴的距离为4，可得|AB|＝26，
故选B．
【点睛】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及圆的定义和弦长求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
11．如图为函数的部分图像，将的图像上各点的横坐标变为原来的两倍，再向左平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由周期求出，由五点法作图求出的值，可得f(x)的解析式，再利用函数的图像变换规律，得出结论.
【详解】根据函数的部分图像，
可得∴
再根据五点法作图，可得，
∴，∴.
将函数的图像上各点的横坐标变为原来的两倍，
可得得图像；
在向左平移个单位长度，
得到函数的图像，
故选：D.
12．设，，，则
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意构造函数，利用导数研究单调性，可得最大，再利用对数的运算性质比较a与b的大小，则答案可求．
【详解】，，，
令，得，
当时，为增函数，当时，为减函数，
则最大，而，，
，
．
故选C．
【点睛】本题考查对数值的大小比较，考查了利用导数研究函数的单调性，是中档题．
二、填空题
13．已知之间具有线性相关关系，若通过10组数据得到的回归方程为，且，则__________.
【答案】8
【分析】依据回归方程过点，即可求得的值.
【详解】依题意知，，因为回归方程为，
所以可以计算出，所以
故答案为：8
14．函数的图象在点处的切线方程为______．
【答案】
【分析】先求导函数，再求得导函数及原函数在1处的函数值，得到切线的斜率及切点坐标，利用点斜式写出切线方程.
【详解】因为，
所以，又，所以切线斜率为，切点坐标为
故切线方程为，即．
故答案为：
15．已知f(x)是R上以3为周期的奇函数，则有以下结论：
①；
②；
③的图像关于点对称；
④
其中所有正确结论的序号是___________.
【答案】①③④
【分析】由奇函数可得，结合f(x)是以3为周期的函数，对给定4个命题逐一计算判断作答.
【详解】由是上的奇函数得：，
又f(x)是以3为周期的周期函数，则，①正确；
，②错误；
由得：，即，即的图像关于点对称，③正确；
由可得，于是得，④正确，
所以给出的4个命题正确的是①③④.
故答案为：①③④
16．在四面体中，底面，，，为棱的中点，点在上且满足，若四面体的外接球的表面积为，则____.
【答案】2
【分析】根据G为△ABC的重心, 可得AG, 根据外心的性质, 可得其半径, 然后利用勾股定理求解可得AD的值，可得答案.
【详解】解：
由题意可得,点G是△ABC的重心,
AG=AE==2,
设△ABC的外心为O,由题意可得点O在AE上,
令OA=r,则+=,即+=,解得，
AD⊥平面ABC,
四面体ABCD的外接球的半径,
解得AD=4,
tan∠AGD==2
故答案：2.
【点睛】本题主要考查四面体的外接球的相关计算及三角形重心、外心等相关计算，考查同学的空间想象能力.
三、解答题
17．在中，角，，所对的边分别为，，，.
（1）求的大小；
（2）若，，求的面积.
【答案】(1) .(2)
【分析】（1）先由正弦定理，将化为，结合余弦定理，即可求出角；
（2）先求出，再由正弦定理求出，根据三角形面积公式，即可得出结果.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得：，
即，
再由余弦定理可得，即,
所以；
（2）因为，所以，
由正弦定理，可得.
.
【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理、余弦定理即可，属于常考题型.
18．市教育局举办了全市高中生关于创建文明城市的知识竞赛（满分分），规定竞赛成绩不低于分的为优秀，低于分的为非优秀.为了解竞赛成绩与学生课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了参加竞赛的名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：
（1）能否有的把握认为课外阅读量与本次竞赛的成绩优秀有关？
（2）若参加这次竞赛的高中生共有名，参赛学生的竞赛成绩，试估计竞赛成绩大于分的学生大约有多少人？
参考公式及数据：，其中.
时，，.
【答案】（1）有的把握认为课外阅读量与本次竞赛的成绩优秀有关；（2）人.
【分析】（1）根据卡方公式求卡方值，比照参照值，判断课外阅读量与本次竞赛的成绩优秀有关的把握程度.
（2）利用正态分布三段区间的概率值求，进而估计名学生中竞赛成绩大于分的学生人数.
【详解】（1）∵，
∴有的把握认为课外阅读量与本次竞赛的成绩优秀有关.
（2）由，知：，.
∴，故竞赛成绩大于分的学生约有，
∴估计竞赛成绩大于分的学生大约有人.
19．如图,在四棱锥中,平面,,正方形的对角线交于点O．
(1)求证:平面PAC;
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析;
(2)
【分析】(1)由于平面,则,由正方形,则,根据线面平行判定定理即可证明线面垂直;
(2)根据题意建立合适的空间直角坐标系,设,找到点的坐标,求出,再求出平面的法向量,根据题中条件,找到平面法向量,求出法向量夹角的余弦值的绝对值,根据图像判断二面角大小的范围,即可求出其余弦值.
【详解】（1）解:由题知平面,
,
正方形,
,
平面,平面,
平面.
（2）由题知平面,为正方形,
以为坐标原点,方向为轴,方向为轴, 方向为轴建立空间直角坐标系如图所示:
不妨设,,
,
,
记平面法向量为,
,
即,
不妨取,则,
平面,
平面法向量为,
,
由图可知二面角的大小为钝角,
故二面角的余弦值为.
20．已知点为椭圆（）上任一点，椭圆的一个焦点坐标为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点是抛物线的准线上的任意一点，以为直径的圆过原点，试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）；（2）为定值，且定值为1．
【分析】（1）将椭圆方程化为标准方程，然后利用椭圆的焦点坐标求出的值，代入即可求出椭圆的标准方程；
（2）设，，因为以为直径的圆过原点，所以，得到，再利用两点间的距离公式代入化简计算即可.
【详解】解：（1）因为椭圆的一个焦点坐标为，
所以，
所以，所以，
因为，所以．
所以椭圆的标准方程为；
（2）由（1）知抛物线的标准方程为，其准线方程为：，
设，，
因为以为直径的圆过原点，所以，所以，
所以，即，
所以，
又因为，，
所以，
所以为定值，且定值为1．
【点睛】本题考查的是抛物线的标准方程和抛物线与椭圆的综合题，同时考查了学生的计算能力，属于难题.
21．已知．
(1)若，求的单调区间与极值；
(2)若关于的方程在上有两个不同的实数根，求实数的取值范围．
参考数据：
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）当时，利用导数分析函数的单调性，可得出函数的单调区间与极值；
（2）分析可知的方程在上有两个不同的实数根，利用导数分析函数在上的单调性，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：当时，，该函数的定义域为，
，列表如下：
所以，函数的增区间为、，减区间为，
极大值为，即小值为.
（2）解：由题意可知，关于的方程在上有两个不同的实数根，
即关于的方程在上有两个不同的实数根，
令，其中，则，
由可得；由可得.
所以，函数在上单调递增，在上单调递减.
所以，，
又因为，，
因为，则，
作出函数与函数在上的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点.
因此，实数的取值范围是.
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点.轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求和的直角坐标方程；
（2）若与恰有4个公共点，求的取值范围.
【答案】（1），；（2）
【分析】(1)直接利用转化公式转化即可;
(2)和相切时,可得,与恰有3个公共点时,可得,故当与恰有4个公共点时,的取值范围为.
【详解】(1)曲线的参数方程为(为参数),
则,得,
故的直角坐标方程为;
由,得,
故的直角坐标方程为.
(2)因为与恰有4个公共点,则,
当和相切时,此时与恰有2个公共点,
圆的圆心到直线的距离,解得;
当与恰有3个公共点时,此时圆过点,解得;
故当与恰有4个公共点时,的取值范围为.
【点睛】本题考查将参数方程化为普通方程,极坐标方程化为直角坐标方程,考查直线与圆的位置关系,属于中档题.
23．设函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】(1)去绝对值,将化为分段函数,解不等式即可;
(2)根据绝对值三角不等式可知,则有,解不等式即可.
【详解】(1)当时,,
故不等式的解集为;
(2),
,
则或,
解得或,
故的取值范围为.
【点睛】本题考查解绝对值不等式,考查绝对值三角不等式的应用,属于中档题.
竞赛成绩优秀
竞赛成绩非优秀
总计
课外阅读量较大
课外阅读量一般
总计
增
极大值
减
极小值
增