2022-2023学年湖北省武汉市第二十中学高二上学期10月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年湖北省武汉市第二十中学高二上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．甲、乙两个气象站同时作气象预报，如果甲站、乙站预报的准确率分别为和，那么在一次预报中两站恰有一次准确预报的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式运算即可得解.

【详解】因为甲、乙两个气象站同时作气象预报，甲站、乙站预报的准确率分别为和，

所以在一次预报中两站恰有一次准确预报的概率为：

.

故选：D．

2．已知空间三点，，，若，且，则点的坐标为（    ）

A． B．

C．或 D． 或

【答案】C

【分析】设点坐标，由可解出坐标，再用空间向量模长公式即可.

【详解】设，则，，

因为，所以，，，

所以，又，

解得或，所以或，

故选:C

3．已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将，两边平方，利用空间向量的数量积即可得选项.

【详解】设与的夹角为．由，得，两边平方，得，

所以，解得，又，所以，

故选：C．

4．=（2，﹣1，3），=（﹣1，4，﹣2），=（3，2，λ），若三向量共面，则实数等于（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【分析】由三向量共面，则存在唯一的实数对，使得，即，从而可得答案.

【详解】解：因为三向量共面，

所以存在唯一的实数对，使得，

即，

，解得，

所以.

故选：C.

5．已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】本题首先可根据题意得出，然后求出与，最后根据空间点到直线的距离公式即可得出结果.

【详解】因为，，所以，

则，，

由点到直线的距离公式得，

故选：A.

6．一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率为，且是相互独立的，则灯亮的概率是(　　)

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】设与中至少有一个不闭合的事件为与至少有一个不闭合的事件为，则，所以灯亮的概率为 ， 故选B.

【方法点睛】本题主要考查独立事件、对立事件的概率公式，属于难题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性与对立性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.

7．把分别写有1，2，3，4的四张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么2，3连号的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据列举法，列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件个数之比即为所求概率.

【详解】分三类情况，第一类1，2连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为，，，，，，有6种分法；

第二类2，3连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为，，，，，，有6种分法；

第三类3，4连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为，，，，，，有6种分法；

共有18种分法，

则2，3连号的概率为.

故选：B.

【点睛】本题主要考查求古典概型的概率，属于基础题型.

8．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（    ）

A．

B．

C．向量与的夹角是

D．与所成角的余弦值为

【答案】B

【解析】选项，计算得，所以选项不正确；

选项，，所以，所以选项正确；

选项，向量与的夹角是，所以选项不正确；

选项，与所成角的余弦值为，所以选项不正确.

【详解】选项，由题意可知，

则

，

∴，所以选项不正确；

选项，，又，

∴，所以选项正确；

选项，，，

∴向量与的夹角是，所以选项不正确；

选项，，，

设与所成角的平面角为，

∴

，所以选项不正确.

故选：B

【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是把几何的问题和向量联系起来，转化为向量的问题，提高解题效率，优化解题.把线段长度的计算，转化为向量的模的计算；把垂直证明转化为向量数量积为零；把异面直线所成的角转化为向量的夹角计算.

二、多选题

9．袋子中共有大小和质地相同的4个球，其中2个白球和2个黑球，从袋中有放回地依次随机摸出2个球．甲表示事件“第一次摸到白球”，乙表示事件“第二次摸到黑球”，丙表示事件“两次都摸到白球”，则（    ）

A．甲与乙互斥 B．乙与丙互斥 C．甲与乙独立 D．甲与乙对立

【答案】BC

【分析】结合互斥事件、对立事件和相互独立事件的知识确定正确选项.

【详解】首先抽取方法是有放回，每次摸出个球，共抽取次.

基本事件为：白白，白黑，黑白，黑黑，共种情况.

事件甲和事件乙可能同时发生：白黑，所以甲与乙不是互斥事件，A错误.

事件乙和事件丙不可能同时发生，所以乙与丙互斥，B正确.

事件甲和事件乙是否发生没有关系，用表示事件甲，用表示事件乙，，则，所以甲与乙独立，C正确.

由于事件甲和事件乙是否发生没有关系，所以不是对立事件.

故选：BC

10．设，，是空间一个基底，下列选项中正确的是（    ）

A．若，，则

B．则，，两两共面，但，，不可能共面

C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使

D．则，，一定能构成空间的一个基底

【答案】BCD

【分析】根据给定条件，利用空间向量基底的意义逐项判断即可作答.

【详解】对于A，直三棱柱中，底面为锐角三角形，显然有不共面，

，而不垂直，A不正确；

对于B，因空间任意两个向量共面，则，，两两共面，而，，是空间一个基底，即，，不可能共面，B正确；

对于C，因，，是空间一个基底，对空间任一向量，由空间向量基本定理知，

总存在有序实数组，使，C正确；

对于D，假设，，共面，而不共面，有与不共线，

则存在实数使得，

即，，，是空间一个基底，则，矛盾，

因此，假设是错的，则，，不共面，，，一定能构成空间的一个基底，D正确.

故选：BCD

11．算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位､十位､百位､千位……，上面一粒珠子(简称上珠)代表5，下面一粒珠子(简称下珠)代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠､十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位､十位､百位､千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的四位数能被3整除”，“表示的四位数能被5整除”，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示1或5，由此可得四位数的个数，能被3整除，只能是2个1和2个5，求出四位数的个数后可得概率，而被5整除，只要个位数字是5即可．由此计数后可计算出概率，判断各选项．

【详解】只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示1或5，四位数的个数是，能被3整除的数字1和5各出现2个，因此满足条件的四位数和个数是，所以，

能被5带除的四位数个数为，，能被15带除的是能被3整除的四位数的个数是5，因此满足这个条件的四位数的个数是，概率为，

．

故选：ACD．

12．在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（    ）

A．当时，的周长为定值

B．当时，三棱锥的体积为定值

C．当时，有且仅有一个点，使得

D．当时，有且仅有一个点，使得平面

【答案】BD

【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；

对于B，将点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；

对于C，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数；

对于D，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数．

【详解】

易知，点在矩形内部（含边界）．

对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误；

对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．

对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误；

对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确．

故选：BD．

【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内．

三、填空题

13．在一次全运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛．羽毛球的比赛规则是3局2胜制，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率．为此，用计算机产生1～5之间的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6．由于要比赛三局，所以每3个随机数为一组．例如，产生了20组随机数：

423  231  423  344  114  453  525  323  152  342

345  443  512  541  125  342  334  252  324  254

相当于做了20次重复试验，用频率估计甲获得冠军的概率的近似值为_____．

【答案】

【分析】由20组随机数中先求出甲获胜的频数，从而可求出甲获胜的频率，进而可得答案

【详解】解：由题意可知，20组随机数中甲获胜的有：423  231  423  114  323  152  342  512  125  342  334  252  324有13组，

所以甲获胜的频率为，

所以甲获得冠军的概率的近似值约为，

故答案为：

【点睛】此题考查频率与概率的关系，属于基础题

14．已知向量，满足，，且.则在上的投影向量的坐标为_________.

【答案】

【分析】对两边平方后得到，代入投影向量的公式进行求解即可.

【详解】两边平方化简得：，①

因为，所以，

又，代入①得：，解得：，

所以在上的投影向量坐标为

.

故答案为：

15．如图，在正方体中，AB＝1，M，N分别是棱AB，的中点，E是BD的中点，则异面直线，EN间的距离为______.

【答案】

【分析】建立空间直角坐标系，表示出，求出同时垂直于的，再通过公式求距离即可.

【详解】

以为原点，的方向为轴建立空间直角坐标系，易知，

，设同时垂直于，由，令，得，

又，则异面直线，EN间的距离为.

故答案为：.

16．甲､乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲､乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为___________.

【答案】

【分析】两轮活动猜对3个成语,相当于事件“甲猜对1个,乙猜对2个”、事件“甲猜对2个,乙猜对1个”的和事件发生,根据独立事件概率求法,即可得解.

【详解】解：设分别表示甲两轮猜对1个,2个成语的事件,分别表示乙两轮猜对1个,2个成语的事件.根据独立事件的性质,可得

设A=“两轮活动‘星队’猜对3个成语”,则,且与互斥,与,与分别相互独立,

所以

因此,“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是.

故答案为：

四、解答题

17．如图，已知O､A､B､C､D､E､F､G､H为空间的9个点，且，，，，，.求证：

(1)A､B､C､D四点共面，E､F､G､H四点共面；

(2)；

(3).

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）利用空间向量基本定理证明即可，

（2）由，结合空间向量的减法和数乘运算可得，从而可证得结论，

（3）由，结合（2）中的结论与可得证

【详解】（1）因为，，

所以由共面向量定理可得是共面向量，是共面向量，

因为有公共点，有公共点，

所以A､B､C､D四点共面，E､F､G､H四点共面，

（2）因为

，

所以；

（3）

18．为了促进电影市场快速回暖，各地纷纷出台各种优惠措施．某影院为回馈顾客，拟通过抽球兑奖的方式对观影卡充值满200元的顾客进行减免，规定每人在装有4个白球、2个红球的抽奖箱中一次抽取两个球．已知抽出1个白球减20元，抽出1个红球减40元．

（1）求某顾客所获得的减免金额为40元的概率；

（2）若某顾客去影院充值并参与抽奖，求其减免金额低于80元的概率．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）求出抽取两个球的所有情况，再得出所获得的减免金额为40元的情况，即可得出概率；

（2）先求出顾客所获得的减免金额为80元的概率，即可求出低于80元的概率．

【详解】（1）设4个白球为a，b，c，d，2个红球为e，f，事件A为顾客所获得的减免金额为40元，

则一共可抽取共15种情况，

，共6种情况，

所以顾客所获得的减免金额为40元的概率为．

（2）设事件B为顾客所获得的减免金额为80元，则，共1种情况，

所以顾客所获得的减免金额为80元的概率为，

故减免金额低于80元的概率．

19．在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．

（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；

（2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．

【答案】（1）（2）

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；

（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.

【详解】

（1）连

以为轴建立空间直角坐标系，则

从而直线与所成角的余弦值为

（2）设平面一个法向量为

令

设平面一个法向量为

令

因此

【点睛】本题考查利用向量求线线角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题.

20．在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病：为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：

（1）求样本中患病者的人数和图中a，b的值；

（2）试估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数；

（3）某研究机构提出，可以选取常数，若一名从业者该项身体指标检测值大于，则判定其患有这种职业病；若检测值小于，则判定其未患有这种职业病.从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患病，求判断错误的概率.

【答案】（1）患病者的人数为40，，；（2）31450；（3）.

【分析】（1）根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为40人，由此能求出，．

（2）指标检测值不低于5的样本中，有患病者28人，未患病者9人，共37人，此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数．

（3）当时，在100个样本数据中，有12名患病者被误判为未患病，有9名未患病者被误判为患病者，由此能判断错误的概率．

【详解】（1）根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为.

，.

（2）由（1）可知，患病者的人数为，未患病的人数为，该项身体指标检测值不低于5的样本中，有患病者（人），未患病者（人），共37人.

故估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数为.

（3）当时，在100个样本数据中，有（名）患病者被误判为未患病，有（名）未患病者被误判为患病，

因此判断错误的概率为.

21．某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，分别是正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”(如图2)．

(1)若是四边形对角线的交点，求证：∥平面

(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）结合图形可证四边形是平行四边形，可得，可得∥平面；（2）根据题意结合二面角的定义可得，利用空间向量求线面夹角．

【详解】（1）取线段中点，连接，由图1可知，四边形是矩形，且

是线段与的中点，且

在图1中且，且．

所以在图2中，且且

四边形是平行四边形，则

由于平面平面平面

（2）由图1，折起后在图2中仍有

即为二面角的平面角．

以为坐标原点，分别为轴和轴正向建立空间直角坐标系如图，且设

则，

设平面的一个法向量

由，得，取则

于是平面的一个法向量

∴直线与平面所成角的正弦值为

22．甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为的方框表示第场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第场比赛的胜者称为“胜者”，负者称为“负者”，第6场为决赛，获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为 ，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同.

（Ⅰ）求甲获得冠军的概率；

（Ⅱ）求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【分析】（Ⅰ）甲获得冠军，有三种途径，第一种连胜三场，第二种先胜一场，然后输一场胜两场，第三种先输一场，再连赢三场，求三种情况的概率之和即可.

（Ⅱ）如果甲进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇，有三种可能，甲乙、乙丙、乙丁，求三种情况的概率之和即可.

【详解】（Ⅰ）甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：

1胜3胜6胜；1负4胜5胜6胜；1胜3负5胜6胜.

所以甲获得冠军的概率为.

（Ⅱ）若乙的决赛对手是甲，则两人参加的比赛结果有两种情况：

甲：1胜3胜，乙：1负4胜5胜；

甲：1负4胜5胜，乙：1胜3胜.

所以甲与乙在决赛相遇的概率为.

若乙的决赛对手是丙，则两人只可能在第3场和第6场相遇，两人参加的比赛的结果有两种情况：

乙：1胜3胜，丙：2胜3负5胜；

乙：1胜3负5胜，丙：2胜3胜.

同时考虑甲在第4场和第5场的结果，乙与丙在第3场和第6场相遇的概率为

.

丁与丙的情况相同，所以乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为

.

【点睛】本题考查概率的概念、事件的关系以及概率的运算性质，属于难题.