2022-2023学年上海市复兴高级中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年上海市复兴高级中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．如果实数a，b同号，那么下列命题中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】当时可判断A选项；当，可判断BC选项；由基本不等式可判断判断D.

【详解】A选项；当a，b同号，且时，，故A错误；

B选项；当，时，则，，则，故B错误；

C选项；当，时，则，，所以，故C错误；

D选项：因为实数a，b同号，则，，由基本不等式，当且仅当 时取等号，故D正确.

故选：D.

2．已知、，且，则下列不等式：①；②；③；④；其中正确个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】对以上四个式子均进行平方处理，消去平方项，剩余乘积项，容易判断.

【详解】①两边平方，可得：，化简得：，与矛盾，故①错误；

②两边平方，化简得：，符合题意，故②正确；

③两边平方，化简得：，因为故上式不成立，③错误；

④两边平方，化简得：，因为，所以，故④错误.正确个数为1个

故选：B

3．某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数，、为常数），若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（       ）小时

A．22 B．23 C．24 D．33

【答案】C

【详解】由题意可得：，解得：

∴

∴该食品在33℃的保鲜时间是24小时

故选C

4．定义，设、、是某集合的三个子集，且满足，则是的（    ）

A．充要条件 B．充分非必要条件

C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件

【答案】A

【分析】作出示意图，由可知两个阴影部分均为，根据新定义结合集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义判断即可.

【详解】如图，由于，

故两个阴影部分均为，

于是，

（1）若，则，，

而，

成立；

（2）反之，若，

则由于，，

，

，

，

故选：A

【点睛】本题主要考查集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义，考查了分类讨论、数形结合思想的应用，属于较难题.

二、填空题

5．若全集，，则用列举法表示集合______．

【答案】

【分析】根据给定条件，求出并用列举法写出作答.

【详解】全集，，所以.

故答案为：

6．不等式的解集为__________．

【答案】

【分析】根据分式不等式转化为一元二次不等式求解即可.

【详解】因为,

所以，即，

解得，

所以不等式的解集为.

故答案为：

7．使得表达式有意义的x范围是__________．

【答案】

【分析】根据对数的真数大于0求解即可.

【详解】式子要有意义，则，

解得，

所以x范围是.

故答案为：.

8．已知集合，，则__________．

【答案】

【分析】检验A中元素是否为方程的根，确定集合的交集结果即可.

【详解】，，

把代入方程，方程不成立，故，

再把代入方程，方程不成立，故，

,

故答案为：

9．已知，则的值为___________．

【答案】

【分析】由题得，再化简代入即得解.

【详解】因为，所以，

所以.

故答案为：

10．设是实数，若是的一个充分条件，则的取值范围是__________.

【答案】

【分析】利用充分条件的定义，将问题转化为，由子集的定义求解即可.

【详解】解：因为是的一个充分条件，

则，

所以，

则的取值范围是.

故答案为：.

11．若，且函数与的图象恰有两个交点，则满足条件的不同集合有________个

【答案】4

【分析】列举出所有两个不同函数的交点个数，筛选出符合题意的函数即可得结果.

【详解】图象与、、、的图象有1个、1个，2个、2个交点；

图象与、、的图象有1个、1个，1个交点；

图象与、的图象有2个、2个交点；

图象与的图象有3个交点，

综上可得，满足函数与的图象恰有两个交点的集合有4个：

，

故答案为：4

【点睛】本题主要考查幂函数的图象与性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.

12．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【分析】根据绝对值的意义表示数轴上的对应点到2和对应点的距离之和，它的最小值等于，可得答案.

【详解】表示数轴上的对应点到2和对应点的距离之和，它的最小值等于，由不等式恒成立知，，

解得：

故答案为：.

13．已知关于的不等式组有唯一实数解，则实数的取值集合是________.

【答案】

【分析】根据不等式有唯一实数解最大值；不等式有唯一实数解最小值可以判断实数的取值，故本题关键是要对参数进行分类讨论，以确定不等式的类型，在各种情况中分别解答后，综合结论即得最终结果．

【详解】解：若，不等式组可化为：，不满足条件

若，则若不等式组，时，满足条件

解得：

若，则若不等式组，时，满足条件

解得：

故答案为：

【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论思想，属于基础题.

14．若函数单调递增，则实数a的取值范围是_____

【答案】

【解析】分段函数的两段都递增且端点处函数值左边不比右边大，可得范围．

【详解】函数单调递增，

解得

所以实数的取值范围是.

故答案为：．

【点睛】本题考查分段函数的单调性，考查对数函数与指数函数的单调性，分段函数在定义域内单调，则它的每段函数同单调，端点处的函数值还必须满足对应的不等关系．

15．设，且，则的最小值为_______________．

【答案】

【分析】根据式子结构，对等价变换转化为，利用基本不等式求最值.

【详解】因为，且

所以

，

当且仅当时，等号成立，

故答案为：．

16．已知，若存在定义域为R的函数同时满足下列两个条件：①对任意，的值为或；②关于x的方程无实数解，则a的取值范围为__________．

【答案】

【分析】根据条件①可知或，进而结合条件②分析函数的构成，即可确定的范围.

【详解】根据条件①，令，可得

即或或，

根据条件②关于的方程无实数解，所以且；

由条件①可知函数的图象是由函数和函数的图象分段拼接而成的，

若，只需取，则无解；

若，只需取，则无解；

若，只需取，则无解；

若，只需取，则无解；

故的取值范围是.

故答案为：．

三、解答题

17．解关于x的不等式

【答案】见解析

【分析】将不等式变形为，然后分，，，，分别求解，即可得到答案．

【详解】不等式，变形为，

①当时，不等式的解集为；

②当时，不等式的解集为或；

③当时，

若时，，不等式的解集为；

若时，，不等式的解集为；

若时，，不等式的解集为．

综上所述，当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为或；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为．

18．（1）不用计算器求值：；

（2）运用幂的性质证明：若，，则．

【答案】（1）；（2）证明见解析

【分析】（1）根据对数的运算法则及性质化简求值；

（2）根据指数式与对数式的转化，利用指数幂的性质证明即可.

【详解】（1）原式

.

（2）证明：令，则，

，，

又，，

即.

19．某企业参加项目生产的工人为人，平均每人每年创造利润万元.根据现实的需要，从项目中调出人参与项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润万元（），项目余下的工人每人每年创造利图需要提高

（1）若要保证项目余下的工人创造的年总利润不低于原来名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加项目从事售后服务工作？

（2）在（1）的条件下，当从项目调出的人数不能超过总人数的时，才能使得项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据题意，列出不等式，求解即可；

（2）求出的范围，得出不等式，整理可得恒成立，根据的范围，可知函数在定义域内为减函数，当时，函数取得最小值．

【详解】设调出人参加项目从事售后服务工作

（1）由题意得：，

即，又，所以．即最多调整500名员工从事第三产业．

（2）由题知，，

从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，

从事原来产业的员工的年总利润为万元，

则，

所以，

所以，

即恒成立，

因为，

所以，

所以，

又，所以，

即的取值范围为．

【点睛】考查了利用不等式解决实际问题，难点是建立不等式关系，利用函数单调性求出最值．

20．（1）当时，解关于x的方程；

（2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围；

（3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围

【答案】（1）；（2）或；（3）

【分析】（1）解对数方程，其中；（2）有意义，要求真数大于0；（3）通过化简变为有且仅有一个解，对进行分类讨论，注意变形中的真数要始终成立，所以要检验.

【详解】（1）∵

∴

∴

（2）对数有意义，则，解得：或，

所以实数x的取值范围为或；

（3）

即

=①

方程两边同乘x得：

即②

当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求

当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求

当且时方程②的解为或，

若是方程①的解，则，即

若是方程①的解，则，即

则要使方程①有且仅有一个解，则

综上：方程有且仅有一个解，实数a的取值范围是

21．已知集合中的元素都是正整数，且．若对任意，且，都有成立，则称集合A具有性质M．

(1)判断集合是否具有性质M；

(2)已知集合A具有性质M，求证：；

(3)已知集合A具有性质M，求A中元素个数的最大值，并说明理由．

【答案】(1)具有

(2)证明见解析

(3)9，理由见解析

【分析】（1）根据所给性质及集合，全部元素验证所给即可得解；

（2）由所给性质变形可得，利用累加相消法即可得解；

（3）利用所给性质先放缩法确定确定，再同理可得，假设 可推出矛盾，当时，利用基本不等式证明成立，即可得出的最大值.

【详解】（1）

集合具有性质.

（2）由题意，，

又，

所以，

可得：，

所以.

即.

（3）由（2）知，，可得，

因此，同理，可得，.

又，可得，所以也均成立.

当时，取，则，可知.

又当时，，所以.

因此集合中元素个数的最大值为9.

【点睛】关键点点睛：根据，利用放缩法变为，先取，判断出，再分，时，与25 的大小即可，属于难题.