2022-2023学年陕西省咸阳市兴平市南郊高级中学高一上学期第一次质量检测数学试题（解析版）

2022-2023学年陕西省咸阳市兴平市南郊高级中学高一上学期第一次质量检测数学试题

一、单选题

1．集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据集合的交集运算即可解出．

【详解】因为，，所以．

故选：A.

2．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】解不等式得到或，根据范围的大小关系得到答案.

【详解】，即，故或，故“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

3．已知，，令，则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先求解和的取值范围，再结合不等式的性质求解的取值范围即可.

【详解】因为，故，又，故，

故，即，故的取值范围为.

故选：C

4．设命题p：，(x－1)(x+2)>0，则为（    ）

A．， B．，

C．， D．，或

【答案】D

【分析】根据含有量词命题的否定形式，分析即可得出结果.

【详解】为，，等价于，或.

故选：D

5．若实数满足：，则的最小值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】根据基本不等式可求的最小值.

【详解】因为，所以，

由基本不等式可得，

故，解得或（舍），即

当且仅当时等号成立，

故的最小值为1，

故选：A.

6．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题意，保证当时，不等式恒成立，只需，求解即可

【详解】由题意，当时，不等式恒成立，

故

解得

故实数的取值范围是

故选：A

7．设集合，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用交集的定义和相等集合的定义即可直接得出结果.

【详解】因为，

，

，

所以.

故选：B

8．已知，，若，则的最小值是（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】C

【分析】将，转化为，由，利用基本不等式求解.

【详解】因为，

所以，

所以，

，

当且仅当，即时，等号成立，

故选：C

二、多选题

9．如果a<b<0，c<d<0，那么下面一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】用不等式的性质推导和取值验证相结合可解.

【详解】取，则，，故AC不正确；

因为，所以，故B正确；

因为，所以，故D正确.

故选：BD

10．在下列四个命题中，正确的是（    ）

A．命题“，使得”的否定是“，都有”

B．当时，的最小值是5

C．若，，则

D．“”是“”的充要条件

【答案】AB

【分析】利用特称命题的否定为全称命题可判断A；利用基本不等式可判断B；举反例可判断C；利用充分条件必要条件定义可判断D.

【详解】对于A，命题“，使得”是特称命题，特称命题的的否定是全称命题，

故该命题的否定是“，都有”故A正确；

对于B，当时，，当且仅当，即时，等号成立，故B正确；

对于C，令，，则，故C错误；

对于D，由“”可推出“”，由，可得或，推不出“”，故D错误.

故选：AB

11．设集合，，则下列选项中，满足的实数a的取值范围可以是（　　）

A．{a|0≤a≤6} B．{a|a≤2或a≥4}

C．{a|a≤0} D．{a|a≥8}

【答案】CD

【分析】解不等式或即得解.

【详解】∵集合，满足，

∴或，解得或．

∴实数a的取值范围可以是{a|a≤0}或{a|a≥8}．

故选：CD．

12．整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即，其中．以下判断正确的是（    ）

A． B．

C． D．若，则整数a，b属同一类

【答案】ACD

【分析】根据题意可知，一个类即这些整数的余数相同，进而求出余数即可.

【详解】对A，，即余数为1，正确；

对B，，即余数为3，错误；

对C，易知，全体整数被5除的余数只能是0,1,2,3,4，正确；

对D，由题意能被5整除，则分别被5整除的余数相同，正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．给定集合，，定义一种新运算：或，试用列举法写出___________.

【答案】

【详解】∵，

∴

又∵

∴

故答案为

14．已知a，b∈R，集合A中含有a，，1三个元素，集合B中含有a2，a＋b,0三个元素，若A＝B，则a＋b＝__________________________.

【答案】－1

【分析】首先根据两集合相等的条件，即两集合中的元素相等，列出对应的方程组，求出对应的值，之后检验是否满足集合中元素的互异性，得到正确结果.

【详解】因为集合A中含有三个元素，集合B中含有三个元素，

又因为，所以，解得或，

当时，不符合元素互异性，舍去，

当时，,成立，

所以，

综上所述，答案为：.

【点睛】该题考查的是有关参数的求解问题，涉及到的知识点有集合相等的条件以及集合中元素的互异性，需要注意的问题是在集合中求参数的问题时需要回代，检验是否满足集合中元素的互异性.

15．已知关于的不等式的解集为或，则关于不等式的解集为_________.

【答案】

【分析】由已知可知，且和是方程的两根，再根据根与系数的关系得到，将不等式等价转化求解即可.

【详解】解：由关于的不等式的解集为或，

可知，且和是方程的两根，

故由根与系数的关系得，

，又

故关于不等式等价为，

即，即，解得，

故答案为：

16．已知命题p：“，”为真命题，则实数a的最大值是___．

【答案】

【分析】分离参数，将问题转化为，然后利用均值不等式求出最小值即可得答案.

【详解】解：由题意，，恒成立，

因为，当且仅当时等号成立，

所以，即a的最大值是．

故答案为：.

四、解答题

17．（1）不等式的解集为，求集合.

（2）已知，求的最大值.

【答案】（1）或；（2）

【分析】（1）化分式不等式为一元二次不等式，求解即可得到集合；

（2）结合基本不等式推论即可求解.

【详解】解：（1）将不等式转化为，或，

或.

（2），

当且仅当，即时，取等号，

故的最大值是.

18．已知集合为全体实数集，或，.

(1)若，求;

(2)若，求实数a的取值范围.

【答案】(1)或；

(2)

【分析】（1）利用补集及并集的定义运算即得；

（2）分，讨论，根据条件列出不等式，解之即得.

【详解】（1）当时，，

所以或，又或，

所以或；

（2）由题可得，

当时，则 ，即时，此时满足，

②当时，则，

所以，

综上，实数的取值范围为.

19．已知函数，的解集为或.

(1)求实数、的值；

(2)若时，求函数的最大值.

【答案】(1)

(2).

【分析】（1）不等式解集区间的端点是方程的解，将分别带入等于0；（2）将整理成耐克函数的形式运用基本不等式可以求出最大值.

【详解】（1）因为关于的不等式的解集为或，

所以，、是方程的两个根，所以，，解得.

（2）由题意知，

因为，所以由基本不等式可得：

，所以，

，当且仅当时，即时，等号成立。

故函数的最大值为.

20．已知命题：实数满足（其中）；命题：实数满足.

(1)若，，均为真命题，求实数的取值范围；

(2)若是的充分条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）在条件下化简命题，然后由，均为真命题，列不等式求的取值范围；；

（2）由得，再根据是的充分条件列不等式求解.

【详解】（1）当时，可化为，解得：，

因为，为真命题，所以，解得；

所以实数的取值范围为；

（2）由（其中）可得，

因为是的充分条件，则，解得：．

所以实数的取值范围为.

21．如图，长方形表示一张（单位：分米）的工艺木板，其四周有边框（图中阴影部分），中间为薄板.木板上一瑕疵（记为点P）到外边框的距离分别为1分米，2分米.现欲经过点P锯掉一块三角形废料，其中M，N分别在上.设的长分别为m分米，n分米.

(1)求的值；

(2)为使剩下木板的面积最大，试确定m，n的值；

(3)求剩下木板的外边框长度（的长度之和）的最大值及取得最大值时m，n的值.

【答案】(1)1

(2)

(3)最大值为分米，此时.

【分析】（1）过点分别作的垂线，垂足分别为，根据可得出；

（2）利用基本不等式求出的最小值即可；

（3）利用基本不等式求出的最小值即可.

【详解】（1）过点分别作的垂线，垂足分别为，

则，所以，则，

整理可得；

（2）要使剩下木板的面积最大，即要锯掉的三角形废料的面积最小，

因为，则，可得，

当且仅当，即时，等号成立，

所以当时，剩下木板的面积最大；

（3）要使剩下木板的外边框长度最大，则锯掉的边框长度最小，

则，

当且仅当，即时等号成立，

故此时剩下木板的外边框长度的最大值为分米，此时.

22．（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；

（2）解关于的不等式.

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【分析】（1）根据题意分和两种情况求解；

（2）不等式等价于，然后分，和三种情况求解.

【详解】解：（1）由题意，恒成立，

当时，不等式可化为，不满足题意；

当时，满足，即，解得.

（2）不等式等价于.

当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；

当时，不等式可化为，此时，

所以不等式的解集为；

当时，不等式可化为，

①当时，，不等式的解集为；

②当时，，不等式的解集为或；

③当时，，不等式的解集为或.