2022-2023学年辽宁省大连市第八中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年辽宁省大连市第八中学高一上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出集合，利用并集的定义可求得集合.

【详解】因为，，所以．

故选：B.

2．命题：，，则该命题的否定为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【解析】根据特称命题的否定可得出结论.

【详解】由特称命题的否定可知，原命题的否定为：，.

故选：B.

【点睛】本题考查特称命题否定的改写，解题的关键就是弄清特称命题的否定与全称命题之间的关系，属于基础题.

3．已知，，，则（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】B

【分析】先利用函数单调性求得，，，进而求得之间的大小关系

【详解】因为，，

所以．

故选：B．

4．已知，则“”是“”的（    ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】解不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.

【详解】由可得，解得或，

因为或，

因此，“”是“”的必要不充分条件，

故选：A.

5．某读书会有5名成员，寒假期间他们每个人阅读的节本数分别如下：3，5，4，2，1，则这组数据的分位数为（    ）

A．3 B．3.5 C．4 D．4.5

【答案】B

【分析】这组数从小到大排列顺序为：1，2，3，4，5，根据，结合百分数的定义，即可求解.

【详解】由题意，这组数从小到大排列顺序为：1，2，3，4，5，且，

可得这组数据的分位数为从小到大排列的第3个数和第4个数的平均数为.

故选：B.

6．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，之后增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用

A．一次函数 B．二次函数

C．指数型函数 D．对数型函数

【答案】D

【分析】分别分析一次函数、二次函数、指数型函数、对数型函数单调性以及其变化快慢结合题意即可得结果.

【详解】根据基本初等函数的图象与性质可知，一次函数增长的速度不变，不满足题意；要满足调整后初期利润增长迅速，如果是二次函数，则必须开口向上，而此时在二次函数对称轴的右侧增长的速度是越来越快，没有慢下来的可能，不符合要求；要满足调整后初期利润增长迅速，如果是指数函数，则底数必是大于1的数，而此时指数函数增长的速度也是越来越快的，也不满足要求；对于对数函数，当底数大于1时，对数函数增长的速度先快后慢，符合要求，故选D．

【点睛】本题主要考查了基本初等函数的性质在实际中的应用，熟练掌握它们的单调性是解题的关键，属于中档题.

7．我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率的公式，其中是信道带宽（赫兹），是信道内所传信号的平均功率（瓦），是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中叫做信噪比．根据此公式，在不改变的前提下，将信噪比从99提升至，使得大约增加了60%，则的值大约为（    ）（参考数据：）

A．1559 B．3943 C．1579 D．2512

【答案】C

【解析】由题意可得的方程，再由对数的运算性质求解即可．

【详解】由题意得：，

则，，

故选：C

8．若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.

【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，

所以在上也是单调递减，且，，

所以当时，，当时，，

所以由可得：

或或

解得或，

所以满足的的取值范围是，

故选：D.

【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.

二、多选题

9．若幂函数在上单调递增，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】根据幂函数的定义以及单调性可得出关于的等式与不等式，求出的值，即可得出合适的选项.

【详解】因为幂函数在上单调递增，

所以，，解得，故，所以，.

故选：AB.

10．定义在上的偶函数在内单调递减，则下列判断错误的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】利用特殊值法可判断AD选项；利用函数的奇偶性和单调性可判断BC选项.

【详解】因为定义在上的偶函数在内单调递减，则函数在内单调递增，

对于A选项，当时，，A错；

对于B选项，，B错；

对于C选项，，C对；

对于D选项，当时，，D错.

故选：ABD.

11．已知实数，满足等式，则下列关系式中可能成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】在同一坐标系中作出函数和函数的图象，再作出一条直线与两个图象相交，借助图象分析，满足等式时，的大小关系，

【详解】函数和函数的图象如图所示：

若，均为正数，则；

若，均为负数，则，

若，，

故选：ABC．

12．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】设身高为，运用黄金分割比例，结合图形得到对应成比例的线段，计算可估计身高.

【详解】设头顶、咽喉、肚脐、足底分别为点,假设身高为，即，

人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，,.

，且，，,，

人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比均是，,,

,且，，，

,,

由题意可得，，，,故BC正确.

故选：BC

三、填空题

13．已知一组样本数据、、、的极差为，若，则其方差为______．

【答案】##

【分析】根据极差的定义可求得的值，再根据方差的定义可求得这组数据的方差.

【详解】因为该组数据的极差为，所以，解得．

因为这组数据的平均数为，

所以，这组数据的方差为.

故答案为：.

14．已知，则的最小值为，取得最小值时，则______．

【答案】

【分析】利用基本不等式可求得的值，利用等号成立的条件可求得的值，进而可求得的值.

【详解】因为，所以，

当且仅当时取等号．故，，所以，．

故答案为：.

15．已知，则等于______．

【答案】

【分析】计算出的值，即可得解.

【详解】对任意的，，则，故函数的定义域为，

因为．

所以，．

故答案为：.

16．已知函数，且函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围是______．

【答案】

【分析】作出函数的图象，由题意可知，函数与直线的图象有个交点，数形结合可得出关于实数的不等式，即可求得实数的取值范围.

【详解】解：当时，，

当时，，

所以，函数在上的图象可视为函数在上的图象每次向右平移个单位后得到，

①若函数的图象恒在直线的下方时，

则，则，

则当时，函数无零点，且当时，，

此时，函数无零点，不合乎题意；

②若函数的图象与直线相切，

对于方程，即，，解得，此时，

当时，，此时，函数只有一个零点，不合乎题意；

③若时，如下图所示：

由图象可知，函数与函数在上的图象有个交点，

若使得函数有个零点，则，解得，此时；

④当时，由图象可知，函数与函数在上的图象只有个交点，

函数与函数在上的图象必有个交点，

此时，函数有个零点，合乎题意.

综上所述，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

四、解答题

17．计算下列各式的值：

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用指数幂的运算性质可求得所求代数式的值；

（2）利用对数的运算性质可求得所求代数式的值.

【详解】（1）解：原式

．

（2）解：原式.

18．已知集合，，．

(1)求集合、；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用指数函数、对数函数的单调性可分别求得集合、；

（2）求出集合，利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式，即可得出实数的取值范围.

【详解】（1）解：，

.

（2）解：由（1）可知或，显然，

因为，所以，或，解得或.

因此，实数的取值范围是.

19．已知函数．

(1)求函数的单调区间;

(2)当时，求不等式的解集．

【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为

(2)

【分析】（1）求出函数的定义域，利用复合函数法可求出函数的增区间和减区间；

（2）由可得出，结合对数函数的单调性以及二次不等式的解法，结合可得出的取值范围.

【详解】（1）解：对于函数，有，解得或，

所以，函数的定义域为，

因为内层函数的减区间为，增区间为，

外层函数为增函数，

所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）解：由可得，即，即，

所以，，因为，解得.

因此，当时，不等式的解集为.

20．统计局就某地居民的月收入情况调查了10 000人，并根据所得数据画了样本频率分布直方图，每个分组包括左端点，不包含右端点，如第一组表示收入在元之间．

（1）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10 000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在的应抽取多少人；

（2）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；

（3）根据频率分布直方图估计样本数据的平均数.

【答案】（1）25；（2）1900；（3）1900.

【详解】（1）因为，

所以，

月收入在的频率为0.25，

所以分层抽样抽出100人中月收入在的人数为

；

（2）收入在的频率是0.3，

收入在的频率是，

所以样本数据的中位数在，

且为（元）

（3）

（元）

所以平均数为1900元.

21．已知函数．

（1）是否存在实数使得为奇函数？若存在，求出实数，若不存在，请说明理由；

（2）在（1）的结论下，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】（1）通过奇函数的性质，可以求出，然后证明是奇函数即可；（2）对函数求导可证明是上单调递增函数，由奇函数的性质，原不等式等价于，从而，即，再求出在上的最小值，令小于得到的最小值即可．

【详解】（1）若为奇函数，则，

即，解得，

，

故存在，使得为奇函数

（2）（），，

则在上为增函数，

∵为奇函数，，

即，

又在上为增函数，∴，

则恒成立，

令，则，

令，

，∴

【点睛】本题考查了函数的奇偶性，函数的单调性，考查了含参不等式恒成立问题，属于难题．

22．已知函数与，其中是偶函数．

(1)求实数的值及的值域；

(2)求函数的定义域；

(3)若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围．

【答案】(1)，函数的值域为

(2)答案见解析

(3)

【分析】（1）利用偶函数的定义可求得实数的值，利用对数函数的单调性结合基本不等式可求得函数的值域；

（2）由已知可得出，对实数的取值进行分类讨论，结合指数函数的单调性可解得函数的定义域；

（3）令，由可知关于的方程有且只有一个正根，对实数的取值进行分类讨论，结合一次函数和二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.

【详解】（1）解：由函数是偶函数可知，

所以，，

所以，，

则，故，所以，

，

当且仅当时，等号成立，故函数的值域为.

（2）解：对于函数，则有.

当时，，不合乎题意；

当时，，得；

当时，，得.

综上所述，当时，函数的定义域为；

当时，函数的定义域为.

（3）解：函数与的图象有且只有一个公共点，

即方程有且只有一个实根，

即方程有且只有一个实根，

令，则方程有且只有一个正根.

①当时，，不合题意;

②当时，由得或，

若，则不合题意；若，则满足要求.

若，可得或.

则此时方程应有一个正根与一个负根，

所以，，解得，因为或，故.

综上，实数的取值范围是

【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.