7.2万有引力定律-高一物理同步精品讲义（人教2019必修第二册 ）

第七章 万有引力与宇宙航行

第2课  万有引力定律

知识点01  行星与太阳间的引力

1．行星绕太阳的运动可以看作匀速圆周运动．行星受到一个指向圆心(太阳)的引力，这个引力提供行星做匀速圆周运动的向心力．

2．若行星的质量为m，行星到太阳的距离为r，行星公转的周期为T，则行星需要的向心力的大小F＝，结合＝k，可知F＝4π2k，即F∝.

3．行星与太阳的引力在本质上和太阳与行星的引力地位完全相当，即F′∝.

4．太阳与行星间的引力：根据牛顿第三定律知F＝F′，所以有F∝，写成等式就是F＝G.

【即学即练1】(多选)关于太阳与行星间的引力，下列说法正确的是(　　)

A．神圣和永恒的天体做匀速圆周运动无需原因，因为圆周运动是最完美的

B．行星绕太阳旋转的向心力来自太阳对行星的引力

C．牛顿认为物体运动状态发生改变的原因是受到力的作用，行星围绕太阳运动，一定受到了力的作用

D．牛顿把地面上的动力学关系应用到天体间的相互作用，推导出了太阳与行星间的引力关系

【答案】　BCD

【解析】　天体做匀速圆周运动时由中心天体的万有引力充当向心力，故A错误；行星绕太阳旋转的向心力是来自太阳对行星的万有引力，故B正确；牛顿认为物体运动状态发生改变的原因是受到力的作用，行星绕太阳运动时运动状态不断改变，一定受到了力的作用，故C正确；牛顿把地面上的动力学关系作了推广应用到天体间的相互作用，推导出了太阳与行星间的引力关系，故D正确．

知识点02  月—地检验

1．检验目的：检验地球绕太阳运动、月球绕地球运动的力与地球对树上苹果的吸引力是否为同一性质的力．

2．检验方法：(1)假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该满足F＝G，根据牛顿第二定律，月球绕地球做圆周运动的向心加速度a月＝G.

(2)假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度a苹＝G.

(3)＝，由于r≈60R，所以＝.

(4)结论：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律．

【即学即练2】“月—地检验”为万有引力定律的发现提供了事实依据．已知地球半径为R，地球中心与月球中心的距离r＝60R，下列说法正确的是(　　)

A．卡文迪什为了检验万有引力定律的正确性首次进行了“月—地检验”

B．“月—地检验”表明地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是不同性质的力

C．月球由于受到地球对它的万有引力而产生的加速度与月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度相等

D．由万有引力定律可知，月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度是地面重力加速度的

【答案】　C

【解析】

牛顿为了检验万有引力定律的正确性，首次进行了“月—地检验”，故A错误；“月—地检验”表明地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是同种性质的力，故B错误；月球由于受到地球对它的万有引力面产生的加速度与月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度相等，所以证明了万有引力的正确性，故C正确；物体在地球表面所受的重力等于其引力，则有：mg＝，月球绕地球在引力提供向心力作用下做匀速圆周运动，则有：＝man，联立上两式可得：an∶g＝1∶3 600，故D错误．

知识点03  万有引力定律

1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比．

2．表达式：F＝G，其中G叫作引力常量．

3.牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但没有测出引力常量G的值．

英国物理学家卡文迪什通过实验推算出引力常量G的值．通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.

【即学即练3】假设在地球周围有质量相等的A、B两颗地球卫星，已知地球半径为R，卫星A距地面高度为R，卫星B距地面高度为2R，卫星B受到地球的万有引力大小为F，则卫星A受到地球的万有引力大小为(　　)

A. B.

C. D．4F

【答案】　C

【解析】卫星B距地心为3R，根据万有引力的表达式，可知受到的万有引力为F＝＝；卫星A距地心为2R，受到的万有引力为F′＝＝，则有F′＝F，故A、B、D错误，C正确．

考法01  对太阳与行星间引力的理解

万有引力定律的得出过程

【典例1】(多选)在书中我们了解了牛顿发现万有引力定律的伟大过程(简化版)．过程1：牛顿首先证明了行星受到的引力F∝、太阳受到的引力F∝，然后得到了F＝G其中M为太阳质量，m为行星质量，r为行星与太阳的距离；过程2：牛顿通过苹果和月亮的加速度比例关系，证明了地球对苹果、地球对月亮的引力具有相同性质，从而得到了F＝G 的普适性．那么(　　)

A．过程1中证明F∝，需要用到圆周运动规律F＝m或F＝mr

B．过程1中证明F∝，需要用到开普勒第三定律＝k

C．过程2中牛顿的推证过程需要用到“月球自转周期”这个物理量

D．过程2中牛顿的推证过程需要用到“地球半径”这个物理量

【答案】　ABC

【解析】万有引力定律正是沿着这样的顺序才终于发现的：离心力概念——向心力概念——引力平方反比思想——离心力定律——向心力定律——引力平方反比定律——万有引力与质量乘积成正比——万有引力定律．结合题干信息可知A、B、C正确．

考法02  万有引力定律

1．万有引力定律的表达式：F＝G，其中G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，叫引力常量，由英国物理学家卡文迪什在实验中测出．

2．万有引力定律公式的适用条件

(1)两个质点间的相互作用．

(2)一个质量分布均匀的球体与球外一个质点间的相互作用，r为球心到质点的距离．

(3)两个质量分布均匀的球体间的相互作用，r为两球心间的距离．

【典例2】如图所示，两质量均匀分布的小球半径分别为R1、R2，相距R，质量为m1、m2，则两球间的万有引力大小为(引力常量为G)(　　)

A．G   B．G

C．G   D．G

【答案】　B

【解析】两质量均匀分布的小球均可看作质点，两球间的万有引力大小F＝G，故选B.

考法03  万有引力和重力的关系

1．地球表面处重力与万有引力的关系

除两极以外，地面上其他点的物体，都围绕地轴做圆周运动，这就需要一个垂直于地轴的向心力．地球对物体引力的一个分力F′提供向心力，另一个分力为重力mg，如图所示．

(1)当物体在两极时：向心力F′＝0，mg0＝F引，重力达到最大值，mg0＝G.

方向与引力方向相同，指向地心．

(2)当物体在赤道上时：

F′＝mω2R最大，此时重力最小，

mg1＝G－mω2R

方向与引力方向相同，指向地心．

(3)从赤道到两极：随着纬度增加，向心力F′＝mω2R′减小，F′与F引夹角增大，所以重力mg在增大，重力加速度增大．

因为F′、F引、mg不在一条直线上，重力mg与万有引力F引方向有偏差，重力大小mg<G.

(4)由于地球自转角速度非常小，在忽略地球自转的情况下，认为mg＝G.

2．重力与高度的关系

若物体距离地面的高度为h，则mg′＝G(R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速度)．在同一纬度，距地面越高，重力加速度越小．

【典例3】地球可近似看成球形，由于地球表面上物体都随地球自转，所以有(　　)

A．物体在赤道处受到的地球引力等于两极处，而重力小于两极处

B．赤道处的角速度比南纬30°的角速度大

C．地球上物体的向心加速度都指向地心，且赤道上物体的向心加速度比两极处大

D．地面上的物体随地球自转时提供向心力的是重力

【答案】　A

【解析】由F＝G可知，若地球看成球形，则物体在地球表面上任何位置受到的地球引力都相等，除两极外，此引力的两个分力一个是物体的重力，另一个是物体随地球自转所需的向心力．在赤道上，向心力最大，重力最小，A对．地球各处的(除两极外)角速度均等于地球自转的角速度，B错．地球上只有赤道上的物体向心加速度指向地心，其他位置的向心加速度均不指向地心，C错．地面上物体随地球自转所需的向心力是由物体所受万有引力与地面支持力的合力提供的，D错．

题组A  基础过关练

1．下列说法中正确的是（  ）

A．开普勒潜心研究导师第谷观测的行星数据数年，得出了行星运动三定律

B．牛顿发现了万有引力定律并且利用扭秤装置测出了万有引力常量数值

C．哥白尼提出“地心说”，托勒密提出“日心说”

D．卡文迪许坚信万有引力定律的正确性并预言天王星轨道之外还有其他行星

【答案】A

【解析】A．开普勒潜心研究导师第谷观测的行星数据数年，得出了行星运动三定律，故A正确；

B．牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许利用扭秤装置测出了万有引力常量数值，故B错误；

C．哥白尼提出“日心说”，托勒密提出“地心说”，故C错误；

D．英国的亚当斯和法国的勒维耶坚信万有引力定律的正确性并预言天王星轨道之外还有其他行星，故D错误。

故选A。

2．关于太阳与行星间引力的公式，下列说法正确的是（  ）

A．公式中的是引力常量，是人为规定的

B．太阳与行星间的引力是一对平衡力

C．公式中的是比例系数，与太阳、行星都没有关系

D．公式中的是比例系数，与太阳的质量有关

【答案】C

【解析】ACD．太阳与行星间引力的公式，公式中的是引力常量，不是人为规定的，与太阳、行星都没有关系，故AD错误，C正确；

B．太阳与行星间的引力是一对相互作用力，故B错误。

故选C。

3．下列实验用到与“探究加速度与力、质量的关系”相同实验方法的是（　　）

A．甲图斜面理想实验 B．乙图卡文迪什扭秤实验

C．丙图共点力合成实验 D．丁图“探究向心力大小”实验

【答案】D

【解析】A．“探究加速度与力、质量的关系”相同实验方法的是控制变量法，甲图斜面理想实验用的是实验与逻辑推理相结合的方法，不符合题意；

B．乙图卡文迪什扭秤实验采用的是放大的实验方法，不符合题意；

C．丙图共点力合成实验采用的是等效替代的方法，不符合题意；

D．丁图“探究向心力大小”实验采用的是控制变量的方法，符合题意。

故选D。

4．2020年12月17日，嫦娥五号返回器携带月球样品，采用半弹道跳跃方式再入返回，在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，地球质量大约是月球质量的81倍，若嫦娥五号返回器飞行至地球与月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，返回器距月球球心的距离与月球球心距地球球心之间的距离之比为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据万有引力定律，地球对返回器的引力为

月球对返回器的引力为

则返回器距月球球心的距离与月球球心距地球球心之间的距离之比为

故C正确，ABD错误。

故选C。

5．2022年8月4日，我国成功发射首颗陆地生态系统碳监测卫星“句芒号”。在卫星从发射到进入预定轨道的过程中，卫星所受地球引力大小F随它距地面的高度h变化的关系图像可能正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】设地球的质量为M、半径为R，卫星的质量为m，则卫星所受万有引力大小为

h增大，F减小，但不是线性减小。

故选B。

6．如图所示，两球间的距离为r，两球的质量分布均匀，质量大小分别为m1、m2，半径大小分别为r1、r2，则两球间的万有引力大小为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】两球质量分布均匀，可认为质量集中于球心，由万有引力定律可知两球间的万有引力应为

故选D。

题组B  能力提升练

7．水星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在水星表面与在地球表面受到的引力的比值约为（　　）

A．0.13 B．0.31 C．2.0 D．3.1

【答案】B

【解析】根据

解得

解得

故选B。

8．（多选）如图所示，有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的Р点有一质量为m的质点，从M中挖去一个半径为的球体，设大球剩余部分对m的万有引力为F1。若把质点m移放在空腔中心点，设大球的剩余部分对该质点的万有引力为F2。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为0，万有引力常量为G，O、、P三点共线。下列说法正确的是（　　）

A．F1的大小为

B．F2的大小为

C．若把质点m移放在O点右侧，距O点处，大球的剩余部分对该质点的万有引力与F2相同

D．若把质点m移放在O点右侧，距O点处，大球的剩余部分对该质点的万有引力与F2不同

【答案】AC

【解析】A．设半径为的小球体的质量为，球体的密度为，则有

联立可得

由补偿法可知，其余部分对P处质点的引力等于大球对该点的引力减去挖走的小球对该点的引力，则大球剩余部分对m的万有引力为

代入数据解得

A正确；

B．由质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为0可知，大球不挖走小球时，大球对点的质点的引力等于以O点为圆心为半径的小球对该点的引力，即

由补偿法可知，其余部分对处质点的引力等于大球对该点的引力减去挖走的小球对该点的引力。因为质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为0，故挖走的小球对该点的引力为0，所以其余部分对该点的引力等于实心大球对该点的引力。B错误；

CD．半径为、的小球质量分别为

由B选项分析可知，若把质点m移放在O点右侧，距O点处，大球的剩余部分对该质点的万有引力等于以O点为圆心为半径的小球对该点的引力，即

同理挖走的小球对该点的引力为以点为圆心，为半径的小球对该点的引力

故其余部分对该点的引力为

C正确，D错误。

故选AC。

9．（多选）已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。假设沿地轴的方向凿通一条贯穿地球两极的隧道PQ，隧道极窄，地球仍可看作一个球心为O、半径为R、质量分布均匀的球体。以球心O为坐标原点，竖直向下为x轴正方向。从隧道口P点由静止释放一小球，小球能够在隧道PQ内运动，小球运动到某位置时受到的引力大小为F，速度大小为v。小球在运动过程中，下列图象可能正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【解析】AC．设小球距离O点的距离为x，地球的质量为M，以O点为球心，半径为x的球体质量为，则

小球受到的万有引力大小为

故A正确，C错误；

BD．根据牛顿第二定律

解得

小球的加速度大小与x成正比，先减少后增大，故B错误，D正确。

故选AD。

10．（多选）如图所示，从地面上A点发射一枚远程弹道导弹，导弹在引力作用下，沿着椭圆轨道飞行击中地面目标，为轨道的远地点，距离地面高度为h。已知地球半径为，地球质量为，引力常量为。设距离地面高度为的圆轨道上卫星运动周期为，下列说法正确的是（　　）

A．导弹在点的加速度小于

B．导弹在点的速度大于

C．地球球心为导弹椭圆轨道的一个焦点

D．导弹从点到点的时间一定小于

【答案】CD

【解析】A．根据牛顿第二定律可得

解得导弹在点的加速度为

A错误；

B．导弹在点做近心运动，受到的万有引力大于所需向心力，则有

可得

B错误；

C．根据开普勒第一定律可知，地球球心为导弹椭圆轨道的一个焦点，C正确；

D．由题意可知导弹椭圆轨道的半长轴小于距离地面高度为的圆轨道半径，根据开普勒第三定律

可知导弹在椭圆轨道运行的周期小于，故导弹从点到点的时间一定小于，D正确。

故选CD。

题组C  培优拔尖练

11．（多选）作为2020夏季奥运会的主办国，日本的“东京8分钟”惊艳亮相里约奥运闭幕式。地理位置上，东京与里约恰好在地球两端，片中，日本首相化身马里奥，通过打穿地球的管道，从东京一跃到达里约现场，带来了名为“东京秀”的表演环节。现代理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。现假设地球是一半径为R、质分布均匀的实心球体，O为球心。不考虑空气阻力，关于人在地球管道中的运动，下列说法正确的是（　　）

A．通过O点前后分别做匀加速和匀减速运动，不需要动力装置和刹车装置

B．通过O点前后分别做加速和减速运动，加速度先变小后变大

C．到达O点时的速度最大，加速度为零

D．在沿管道运动过程中不受引力作用，处于完全失重状态，所以需要动力装置和刹车装置

【答案】BC

【解析】通过O点前，人受到的引力指向地心O，故做加速运动，且球壳厚度越来越大，中间球体体积越来越小，则人所受引力越来越小，则加速度越来越小，当到达O点时，所受引力为零，则加速度为零，速度达到最大，通过O点后，所受引力越来越大且方向指向O点，故人做减速运动，且加速度变大。

故选BC。

12．（多选）2021 年 5 月 15 日，天问一号火星探测器所携带的祝融号火星车及其着陆组合体成功着陆于火星，这标志着我国首次火星探测任务火星车着陆火星取得圆满成功。假设火星为质量分布均匀的球体，已知火星质量是地球质量的 a 倍，火星半径是地球半径的 b倍，地球表面的重力加速度为 g，质量均匀的球壳对其内部物体的引力为零， 则（　　）

A．火星表面重力加速度为

B．火星表面重力加速度为

C．火星表面正下方距表面距离为火星半径处的重力加速度为

D．火星表面正下方距表面距离为火星半径处的重力加速度为

【答案】AC

【解析】AB．在地球表面有

在火星表面有

联立解得火星表面重力加速度为

则A正确；B错误；

CD．设火星的密度为，火星的半径为 ，由于质量均匀的球壳对其内部物体的引力为零，则在火星表面正下方距表面距离为火星半径处的重力加速度相当火星内部那部分产生的引力产生的，则火星内部那部分质量为

火星表面正下方距表面距离为火星半径处的重力加速度为，则有

联立解得

所以C正确；D错误；

故选AC。