吉林省实验中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题(含答案)

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吉林省实验中学

2022-2023学年度上学期高二年级期末考试（一卷）

数学

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。第I卷1至3页，第Ⅱ卷4至5页。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。并在规定位置粘贴考试用条形码。

2.请认真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效。不得在答题卡上做任何标记。

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

4.考试结束后，答题卡要交回，试卷由考生自行保存。

第I卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若，，且，为共线向量，则的值为（    ）

A.2 B. C.6 D.8

2.已知数列为等差数列，其前项和为，若，，则公差等于（    ）

A.3 B. C. D.

3.若函数的导函数的图象关于轴对称，则的解析式可能为（    ）

A.  B.

C.  D.

4.圆与轴相切于，与轴正半轴交于，两点，且，则圆的标准方程为（    ）

A. B.

C. D.

5.已知，，则（    ）

A. B. C.1 D.

6.在等比数列中，，，则等于（    ）

A.1 B. C.1或 D.或3

7.如图所示，在三棱柱中，底面，，，点，分别是棱，的中点，则直线和所成的角是（    ）

A.45° B.60° C.90° D.120°

8.设是椭圆上一点，，分别是两圆和上的点，则的最小值、最大值分别为（    ）

A.8，11 B.8，12 C.6，10 D.6，11

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.某物体的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中错误的是（    ）

A.18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度

B.18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度

C.18m/s是物体从3s到s这段时间内某一时刻的速度

D.18m/s是物体从3s到s这段时间内的平均速度

10.给出下列命题，其中正确命题是（    ）

A.平行于同一平面的两直线平行 B.垂直于同一平面的两直线平行

C.平行于同一直线的两直线平行 D.空间中不相交的两直线平行

11.已知抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于，两点，点在上的射影为，则下列说法正确的是（    ）

A.若，则

B.以为直径的圆与轴相切

C.设，则

D.过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条

12.若数列满足，，，则称数列为斐波那契数列，斐波那契数列被誉为是最美的数列.下列关于斐波那契数列结论正确的是（    ）

A. B.

C.  D.

第Ⅱ卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.曲线在点处的切线方程为_______.

14.直线关于点对称的直线方程是_______.

15.若曲线存在与直线平行的切线，则实数的最大值为________.

16.已知，是双曲线的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点与点关于直线对称，则该双曲线的离心率为_______.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

设直线的方程为.

（1）求直线所过定点的坐标；

（2）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程.

18.（12分）

已知是等差数列，是等比数列，且，，，.

（1）求、的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

19.（12分）

已知圆经过，，圆心在直线上，过点且斜率为的直线与圆有公共点.

（1）求圆的方程；

（2）求直线的斜率的取值范围.

20.（12分）

如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

21.（12分）

已知数列的前项和，数列满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

22.（12分）

已知椭圆：的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值.

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2022-2023学年度上学期高二年级期末考试——数学答案

一、单选题

二、多选题

三、填空题

13、 14、 15、3 16、

四、解答题

17.解：

（1）

（2）当直线过原点时，在轴和轴上的截距为零.

∴，方程即为.

当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，

∴，即.

∴，方程即为.

因此直线的方程为或.

18.解：

（1）等比数列的公比，所以，

∴.

设等差数列的公差为.

因为，，所以，即.

所以.

（2）由（1）知，，，因此.

从而数列的前项和

.

19.解：

（1）设圆的方程为，则依题意，得

解得，

∴圆的方程为.

（2）依题意可知，直线的方程为，圆心到直线的距离为，

，

解得

20.解：

（1）证明：∵平面，∴.

又正方形中，，，

∴平面.

∵平面，∴.

∵，是的中点，

∴.

又∵，∴平面.

（2）则，∴.

令，得，.

∴平面的一个法向量为.

又∵，，，且平面，

∴平面的一个法向量为.

设二面角的平面角为，

则.

∴二面角的余弦值为.

21.解：

（1）当时，，

当时，，

又满足上式，∴，

∴.

（2）由（1）得，，，∴，

∴，

∴，①

①×2得，②

①②得，

∴.

22.解：

（1）因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，

所以.

又椭圆的离心率为，即，

所以，所以，，故.

椭圆的方程为.

（2）方法一：不妨设直线的方程为，，

则直线的方程为.

由，得.

设，，

因为，所以.

同理可得.

所以，

.

设，

则，当且仅当时取等号.

所以面积的最大值为.

方法二：不妨设直线的方程.

由，消去，得.

设，，

则有，.①

因为以为直径的圆过点，所以.

由，

得.

将，代入上式，

得.

将①代入上式，解得或（舍）.

所以（此时直线经过定点，与椭圆有两个交点），

所以.

设，，

则.

所以当时，取得最大值.