江西省九江市2022-2023学年高三数学（理）上学期一模试题（Word版附解析）

九江市2023年第一次高考模拟统一考试
数 学 试 题（理科）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上.

2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号，第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，

答案无效.

3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.

第Ⅰ卷（选择题60分）

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则(A)

A. B. C. D.

解：，，故选A.

2.复数满足，则的虚部为（A）

A. B. C. D.

解:，虚部为，故选A.

3.若实数满足约束条件，则的最大值为(D)

A. B. C. D.

解：由约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示.易知目标函数的

最大值在处取得，.故选D.

4.巴塞尔问题是一个著名的级数问题，这个问题首先由皮耶特罗·门戈利在1644年提出，由莱昂哈德·欧拉在1735年解决.欧拉通过推导得出：.某同学

为了验证欧拉的结论，设计了如右算法计算的值来估算，

则判断框填入的是(D)

A. B.  

C. D.

解：由程序框图可知，最后一次进入判断框时，，执行最后一次循环

体，，，输出sum，故选D.

5.设等比数列的公比为，前项和为，则“”是“为递增数列”的（B）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解：若，，则为递减数列.若为递增数列，则，，.所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件.故选B.

6.已知是边长为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上.若球的表面积为，则到平面的距离为（B）

A. B. C.  D.

解:，球的半径，设的外心为，从而，所求距离，故选B.

7.已知函数的定义域为，若为偶函数，且，，则(A)

A.            B.           C.             D.

解：由，令得.令，得，，.

因为为偶函数，，即，曲线关于直线对称.又，图像关于点中心对称，的周期. ，，.故选A.

8.已知双曲线()，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，过点作轴的垂线交于点，若与的面积相等(为坐标原点)，则的离心率为（C）

A.  B. C. D.

解:与的面积相等，为的中点，故为等腰直角三角形，

,，，即，，，故选C.

9.在正方体中，点为棱上的动点，则与平面所成角的取值范围为（C）

A. B. C. D.

解：设，连接，平面，即为与平面所成角.设，，，，，故选C.

10.已知为单位向量，则向量与夹角的最大值为(A)

A. B. C. D.

解：设，则，

令，， ，

当且仅当时取等号，向量与夹角的最大值为.故选A.

11.为了学习、宣传和践行党的二十大精神，某班组织全班学生开展了以“学党史、知国情、圆梦想”为主题的党史暨时政知识竞赛活动.已知该班男生20人，女生30人，根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为.记该班成绩的方差为，则下列判断正确的是（D）

 A. B. C. D.

解:记男生组成绩和女生组成绩的平均分分别为，则

，，

,，，

，故选D.

12.若对，不等式恒成立，则实数的取值范围是(C)

A. B. C. D.

解：由已知得：，，

.

令，则，求导得，在上单调递增，在上单调递减，且当时；当时，.

,，，由及的图象可知，恒成立，即成立，而，，故选C.

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知等差数列的前项和为，若，，则  7   .

解：依题意得，解得，.

14.2022年11月8日，江西省第十六届运动会在九江市体育中心公园主体育场开幕，这是九江市举办的规模最大、规格最高的综合性体育赛事.赛事期间，有3000多名志愿者参加了活动.现将4名志愿者分配到跳高、跳远2个项目参加志愿服务活动，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则“恰好有一个项目分配了3名志愿者”的概率为.

解：.

15.已知函数()的最小正周期为，的图像关于点对称，

.若在上存在最大值2，则实数的最小值是.

解：，，，即，又， ，，时，，画图可知：，解得，即.

16.已知点分别是抛物线和圆上的动点，点到直线的距离为，则的最小值为.

解：圆的标准方程为，，抛物线的焦点为，准线方程为，，，即的最小值为.

三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分)

中，内角所对的边分别是，已知，.

(1)求角的值；

(2)求边上高的最大值.

解:(1)由，得………1分

由正弦定理，得………3分

又，………4分

即………5分

，………6分

(2)解法一：设边上高为，

由余弦定理,得………7分

即………8分

，，即，当且仅当时，等号成立………10分

………11分

又，，边上高的最大值为………12分

解法二：设边上高为，

由正弦定理得，，………7分

………8分

因为，，

………10分

，，，………11分

又，，边上高的最大值为………12分

18.(本小题满分12分)

如图，直角梯形中，，，，，将沿翻折至的位置，使得，为的中点.

(1)求证：平面平面；

(2)为线段上一点，若二面角的余弦值为，求线段的长.

解:(1)，，，平面，

平面………1分

又平面，………2分

由直角梯形，，，，，得………3分

又，平面，平面………4分

又平面，平面平面………5分

(2)取的中点，连接，，

，，又平面平面，平面,

为的中点，为的中点，，又，

………6分

故以所在的直线分别为轴，建立如图空间直角坐标

系，则，，，，，

设，则………7分

设平面的一个法向量为，

，，

，，令，得，，即

………9分

平面的一个法向量为………10分

，解得或(舍)………11分

即为的中点，故线段的长为………12分

19.(本小题满分12分)

飞行棋是一种竞技游戏，玩家用棋子在图纸上按线路行棋，通过掷骰子决定行棋步数.为增加游戏乐趣，往往在线路格子中设置一些“前进”“后退”等奖惩环节，当骰子点数大于或等于到达终点的格数时，玩家顺利通关.已知甲、乙两名玩家的棋子已经接近终点，其位置如图所示：

(1)求甲还需抛掷2次骰子才顺利通关的概率；

(2)若甲、乙两名玩家每人最多再投掷3次，且第3次无论是否通关，该玩家游戏结束.设甲、乙两玩家

再投掷骰子的次数为，分别求出的分布列和数学期望.

解:(1)甲第1次抛掷未到达终点，其点数应小于4………1分

若第1次掷出的点数为1，根据游戏规则，棋子前进1步后可再前进1步，到达距离终点差2步的格子，第2次掷出的点数大于1，即可顺利通关，其概率为………2分

若第1次掷出的点数为2，棋子到达距离终点差2步的格子，第2次掷出的点数大于1，即可顺利通关，其概率为…………3分

若第1次掷出的点数为3，根据游戏规则，棋子到达距离终点差1步的格子后需后退3步，又回到了原位，第2次掷出的点数大于3，可顺利通关，其概率为………4分

故甲抛掷2次骰子顺利通关的概率为………5分

(2)依题意得，，……7分

，，………10分

，………12分

20.(本小题满分12分)

如图，已知椭圆()的左右焦点分别为，，点为上的一个动点(非左右顶点)，连接并延长交于点，且的周长为，

面积的最大值为2.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若椭圆的长轴端点为，且与的离心率相等，为与

异于的交点，直线交于两点，证明：为定值.

解:(1)的周长为，由椭圆的定义得，即………1分

又面积的最大值为2，，即………2分

，，，解得………3分

椭圆的标准方程为………4分

(2)由(1)可知，，………5分

设，，，点在曲线上，………6分

依题意，可设直线，的斜率分别为，

则的方程分别为，，

于是………7分

联立方程组，消去整理，得，

，………8分

………9分

同理可得：………10分

，………11分

为定值………12分

21.(本小题满分12分)

已知函数().

(1)求证：曲线在处的切线斜率恒大于0；

(2)讨论极值点的个数.

解:(1)(), ………1分

令()，则，，

易知在上单调递增，且………2分

当时，，单调递减，当时，，单调递增，

，在上单调递增………3分

，，即曲线在处的切线斜率恒大于0………4分

(2)令(),则，

显然在上单调递增，由，得………5分

当时，，单调递减；当时，，单调递增，

………6分

①当时，，，，在上单调递增，无极值点………7分

②当时，，

，，所以存在唯一的，使得，即

………8分

当时，，即，单调递增；

当时，，即，单调递减.

是的极大值点………9分

又，由(1)知，且当时，，，，，即，，

所以存在唯一的，使得，即………10分

当时，，即，单调递减；

当时，，即，单调递曾，

是的极小值点………11分

综上所述，当时，无极值点；当时，有一个极大值点和一个极小值点.

………12分

请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为(为参数)，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为(为直线的倾斜角).

(1)求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；

(2)设，直线与曲线相交于两点，求的最大值.

解:(1)由，得………1分

由，，得直线的直角坐标方程为………2分

由(为参数)，两式相除得………3分

，整理得曲线的普通方程为()………4分

(2)解法一：直线经过点，的参数方程为(为参数)，

代入中，得………5分

由，得………6分

，………7分

………8分

,，，，

当且仅当时，等号成立………9分

故的最大值为………10分

解法二：直线经过点，………5分

由切割线定理得………7分

，当且仅当为圆的直径时，等号成立………9分

故的最大值为………10分

23.(本小题满分10分）全科免费下载公众号《高中僧课堂》选修4—5：不等式选讲

已知均为正实数，且.

(1)求的最大值；

(2)求的最小值.

解:(1)，

又，，………1分

………2分

，当且仅当时，等式成立………3分

即的最大值为………4分

(2)令，，，则

………5分

，，，，

当且仅当，即时，等式成立………6分

由(1)知，………7分

，………8分

即，当且仅当时，等式成立………9分

故的最小值为………10分