2022-2023学年四川省泸县第四中学高一上学期第三学月考试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年四川省泸县第四中学高一上学期第三学月考试数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，则
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意可得：.
本题选择B选项.
【解析】 集合的运算
【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.
2．已知角的终边经过点，则角可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知可得是第三象限角，且，，结合选项得结论．
【详解】角的终边经过点，
是第三象限角，且，，
则．
故选：C
3．一个半径为2的扇形的面积的数值是4，则这个扇形的中心角的弧度数为（ ）
A．1B．C．2D．4
【答案】C
【分析】直接利用扇形面积计算公式列方程求解即可．
【详解】解：设这个扇形的中心角的弧度数为，
因为扇形的半径为，面积为，所以，解得．
故选：C．
4．设，则的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】根据分段函数，先求得，再求即可.
【详解】因为，
所以，
所以，
故选：B
5．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据奇偶性判断CD，取特殊值判断AB.
【详解】令，，即函数为奇函数，其图象关于原点对称，故CD错误；
，故B错误；
故选：A
6．下列关于函数的表述正确的是
A．函数的最小正周期是B．当时，函数取得最大值2
C．函数是奇函数D．函数的值域为
【答案】D
【解析】根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】解：
最小正周期为，故错误；
令，
解得，
故当，函数取得最大值，故错误；
，即是非奇非偶函数，故错误；
，
，即函数的值域为，故正确
故选：
【点睛】本题考查正弦型函数的性质，属于基础题.
7．已知函数（且）在上的最大值与最小值之和为，则的值为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】A
【解析】且）有相同的单调性，（且）在有单调性，最值在区间端点上，可得，解关于的方程，即可得出结论.
【详解】有指数函数和对数函数的性质可知，
（且）在有单调性，
依题意，，
整理得，解得或（舍去）.
故选:A.
【点睛】本题考查函数的单调性的应用，考查函数的最值，属于基础题.
8．已知函数，若方程有四个不同的实根，，，，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】作出函数图象，根据图象关系，得出，，即可求解的取值范围.
【详解】作出函数的图象，如图所示：

方程有四个不同的实根，，，，满足，
则，
即：，所以，
，所以，根据二次函数的对称性可得：，
，
考虑函数单调递增，
，
所以时的取值范围为.
故选：A
【点睛】此题考查函数零点的综合应用，涉及分段函数，关键在于根据对数函数和二次函数的图象性质找出零点的等量关系，构造函数关系求解取值范围.
二、多选题
9．已知函数，，，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（ ）
A．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于
B．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于
C．当时，增长速度一直快于
D．当时，y2增长速度有时快于
【答案】BD
【分析】在同一坐标系内画出函数，，的图象，结合图象分别判断对应的选项是否正确即可．
【详解】解：在同一坐标系内画出函数，，的图象，如图所示；
对于A，随着的逐渐增大，增长速度不是越来越快于，所以A错误；
对于B，随着的逐渐增大，增长速度越来越快于，所以B正确；
对于C，当时，增长速度不是一直快于，所以C错误；
对于D，当时，增长速度有时快于，所以D正确．
故选:BD．
10．关于函数，，下列命题正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数在上单调递增
C．函数的表达式可改写为
D．函数图像可先将图像向左平移，再把各点横坐标变为原来的得到
【答案】AC
【分析】对选项A，根据即可判断A正确；对选项B，根据在区间先增后减即可判断B错误；对选项C，根据即可判断C正确；对选项D，利用三角函数平移变换的性质即可判断D错误.
【详解】对选项A，，，故A正确.
对选项B，因为，所以，
所以在区间先增后减，故B错误.
对选项C，，
故C正确.
对选项D，图像向左平移得到，
再把各点横坐标变为原来的得到，故D错误.
故选：AC
11．若函数在上为单调增函数，则实数的值可以为（ ）
A．1B．C．2D．3
【答案】ABC
【解析】令，，根据在上为增函数，则递增，递增，且求解.
【详解】因为函数在上为单调增函数，
所以
解得.
故选：ABC
12．已知，，给出下列四个不等式，其中正确的不等式有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】利用基本不等式逐个选项验证其正误即可．
【详解】因为，所以，所以，故A不成立
，当且仅当，即时等号成立，故B成立
，，即，
当且仅当时等号成立，故选项C成立；
，当且仅当时等号成立，故等号取不到，
，故选项D成立.
故选：BCD
三、填空题
13．若，则______.
【答案】
【解析】根据同角三角函数关系变形即可得解.
【详解】因为，所以，
由题：，
即，
所以.
故答案为：
【点睛】此题考查根据同角三角函数关系求值，关键在于准确找出其中隐含的平方关系，构造出的等价形式求解.
14．已知且，则的最小值为______________．
【答案】9
【详解】试题分析：因为且，所以
取得等号，故函数的最小值为9.，答案为9.
15．幂函数在上是减函数，且，则m等于________.
【答案】1
【解析】根据幂函数的单调性和奇偶性列式，求得的值.
【详解】由于幂函数在上递减，所以，由于，所以.由于，所以为偶函数.当时，为奇函数，不符合.当时，为偶函数，符合.故.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查幂函数的单调性和奇偶性，属于基础题.
16．若函数有且只有一个零点，则实数______.
【答案】2
【解析】利用复合函数单调性得的单调性，得最小值，由最小值为0可求出．
【详解】由题意是偶函数，
由勾形函数的性质知时，单调递增，∴时，递减．
∴，
因为只有一个零点，所以，．
故答案为：2.
【点睛】本题考查函数的零点，考查复合函数的单调性与最值．掌握复合函数单调性的性质是解题关键．
四、解答题
17．已知集合
（1）求；
（2）若，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）解不等式得到，求出或，即可得解；
（2），即，分类讨论当时，当时，求出参数范围.
【详解】（1）可化为
则，即
所以或，
故.
（2）由（1）知，
由可知，，
①当时，，
②当时，，解得.
综上所述，.
【点睛】此题考查集合的基本运算，涉及补集运算和交集运算，根据集合运算关系判断包含关系，根据包含关系求参数的取值范围.
18．已知函数．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）求使成立的的取值集合．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）运用两角和与差的余弦公式对函数进行化简,运用辅助角公式将函数化成的形式,进而求出函数的单调递减区间.
（2）在（1）中得到函数的形式,来求解使成立的的取值集合.
【详解】所以
（1）由函数的单调减区间为 ,所以的减区间为,求得
故函数的单调递减区间为.
（2）要求
即,即,解得.
所以使成立的的取值集合为．
【点睛】本题考查了运用两角和与差的余弦公式进行展开及辅助角公式化简,然后求三角函数的单调区间和最值问题,属于常考题型,需要熟练掌握各公式,并能计算正确.
19．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求函数在上的解析式；
(2)用单调性定义证明函数在区间上是增函数.
【答案】(1) ;(2)证明见详解.
【解析】(1)根据奇函数的性质,可知,再利用时的解析式,求出时的解析式即可;
(2)直接利用定义法证明即可.
【详解】(1)是定义在上的奇函数,故,
当时,,
所以当时,,,
所以,
因此,;
(2)任取,
则
,
,
,则
所以,即,
所以函数在区间上是增函数.
【点睛】本题考查奇偶性的应用以及定义法证明单调性,难度不大.利用奇偶性求解析式时,注意时的情况,不要遗漏.
20．某商家通过市场调研，发现某商品的销售价格y（元/件）和销售量x（件）有关，其关系可用图中的折线段表示（不包含端点A）.
（1）把y表示成x的函数；
（2）若该商品进货价格为12元/件，则商家卖出多少件时可以获得最大利润？最大利润为多少元？
【答案】（1）；（2）当商家卖出100件商品时，可获得最大利润为500元.
【解析】（1）根据两段图象分别求出解析式，考虑自变量的取值范围；
（2）结合（1）的分段函数解析式，分段讨论利润，求出最大值.
【详解】（1）当时，
当时，设满足的函数关系式为
则有，解得
所以
综上，
（2）当时，商家获得利润为：，
此时商家获得的最大利润为320元
当时，商家获得利润
∴当时，商家最大利润为：，
∴当商家卖出100件商品时，可获得最大利润为500元
【点睛】此题考查函数模型的应用，根据函数图象求函数解析式，利用函数关系求解利润最大问题，实际应用问题函数关系注意考虑自变量取值的实际意义.
21．已知函数(，，)，在同一个周期内，当时，取得最大值，当时，取得最小值.
(1)求函数的解析式，并求在[0，]上的单调递增区间.
(2)将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到函数的图象，方程在有2个不同的实数解，求实数a的取值范围.
【答案】(1)，单调增区间为，；(2)
【解析】（1）由最大值和最小值求得，由最大值点和最小值点的横坐标求得周期，得，再由函数值（最大或最小值均可）求得，得解析式；
（2）由图象变换得的解析式，确定在上的单调性，而有两个解，即的图象与直线有两个不同交点，由此可得．
【详解】(1)由题意知
解得，.
又，可得.
由，
解得.
所以，
由，
解得，.
又，所以的单调增区间为，.
(2)函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到函数的图象，得到函数的表达式为.
因为，所以，
在是递增，在上递减，
要使得在上有2个不同的实数解，
即的图像与有两个不同的交点，
所以.
【点睛】本题考查求三角函数解析式，考查图象变换，考查三角函数的性质．“五点法”是解题关键，正弦函数的性质是解题基础．
22．已知函数是偶函数.
（1）求实数的值；
（2）设，若函数有唯一的零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）-1（2）
【分析】（1）利用偶函数的定义即可；
（2）所求问题可转化为方程有唯一的实数解，即有唯一实数解，令，则问题转化为只有一个正实根，分类讨论即可.
【详解】（1）是偶函数，， ，
.此式对于一切恒成立，
（2）函数与的图象有且只有一个公共点，等价于方程有唯一的
实数解，等价于方程有唯一实数解，且，
令，则此问题等价于方程只有一个正实根，且，
当，即时，则不合题意舍去；
当，即时，①若，即或，
当时，代入方程得，不合题意；当时，得，符合题意；
②若方程有一个正根和一个负根，即，即，符合题意.
综上所述，实数的取值范围是
【点睛】本题考查已知函数的奇偶性求参数值以及已知函数零点个数求参数的范围的问题，考查学生等价转化的思想，是一道有一定难度的题.