2022-2023学年湖北省武汉市水果湖高级中学高一上学期10月线上月考数学试题（解析版）

2022-2023学年湖北省武汉市水果湖高级中学高一上学期10月线上月考数学试题

一、单选题

1．设或，，若，，则有（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】D

【分析】由题知，再解方程即可.

【详解】解：因为或，， ，

所以，，解得，

故选：D

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】根据命题否定的定义即可得到答案

【详解】命题“，”的否定是“，”

故选：D

3．设，则“ “是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必条件

【答案】B

【解析】解出两个不等式的解集，根据充分条件和必要条件的定义，即可得到本题答案.

【详解】由，得，又由，得，

因为集合，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，其中涉及到绝对值不等式和一元二次不等式的解法.

4．已知，，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用待定系数法求得，然后利用不等式的基本性质可求得的取值范围.

【详解】设，则

解得，

∴，

又，，

∴即.

故选：B.

5．已知函数若的最小值为，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分别求解分段函数在每一段定义区间内的最小值，结合函数在整体定义域内的最小值得到关于a的不等式组，解不等式组得到a的取值范围.

【详解】当时，，当且仅当时，等号成立，

即当时，函数的最小值为；

当时，，

要使得函数的最小值为，

则满足解得．

故选：A．

6．函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】分析函数的奇偶性，利用基本不等式结合排除法可得出合适的选项.

【详解】，该函数的定义域为，

，则函数为奇函数，排除BD选项，

当时，，当且仅当时，等号成立，排除A选项.

故选：C.

7．已知函数满足：，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】赋值法得到，进而得到，即是以6为周期的函数，且得到，从而利用函数周期性求解出.

【详解】，

令得：，

因为，所以，

令，得：，

即，

则，

上面两式子联立得：，

所以，

故，

故是以6为周期的函数，

且

，

所以

故选：A

8．已知函数､是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由函数的奇偶性可得，从而可求得函数的解析式，再根据，可得，令，则函数在上递增，再根据函数的单调性分和结合二次函数的单调性即可得出答案.

【详解】解：因为是奇函数，是偶函数，

所以，

又，则，

两式相加可得，

若对于任意，都有，

可变形为，

令，则函数在上递增，

当时，在上递增，符合题意，

当时，则函数为二次函数，对称轴为，

因为函数在上递增，

所以或，解得或，

综上所述，.

故选：C.

二、多选题

9．已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（    ）

A．-2 B．-1 C．0 D．1

【答案】BCD

【分析】根据条件可知集合中仅有一个元素，由此分析方程为一元一次方程、一元二次方程的情况，从而求解出的值.

【详解】因为集合仅有个子集，所以集合中仅有一个元素，

当时，，所以，所以，满足要求；

当时，因为集合中仅有一个元素，所以，所以，此时或，满足要求，

故选：BCD.

10．下列说法正确的是（    ）

A．若函数的定义域为，则函数的定义域为

B．图象关于点成中心对称

C．函数的单调递减区间是

D．幂函数在上为减函数，则的值为1

【答案】BD

【分析】计算抽象函数定义域得到A错误；根据平移法则得到B正确；计算单调区间得到C错误；根据幂函数的定义结合单调性计算得到D正确 ，得到答案.

【详解】对选项A：函数的定义域为，则函数的定义域为满足，解得，故定义域为，错误；

对选项B：，函数可以由奇函数，向左平移2个单位，向上平移1个单位得到，故图象关于点成中心对称，正确；

对选项C：函数的单调递减区间是和，错误；

对选项D：幂函数，则，解得或，当时，在上为增函数，排除；当，，满足条件，故，正确.

故选：BD

11．一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”．下列结论正确的是（    ）

A．若为的“跟随区间”，则

B．函数存在“跟随区间”

C．若函数存在“跟随区间”，则

D．二次函数存在“3倍跟随区间”

【答案】AD

【分析】对A，由跟随区间的定义可得，求解即可；对B，根据定义得出可求解；对C，根据定义得出，解得，令化简可判断在区间上有两根不相等的实数根；对D，根据定义设定义域为，值域为，可得讨论当时即可.

【详解】对A，若为的跟随区间，因为在区间为增函数，故其值域为，根据题意有，解得或，因为故．故A正确；

对B，因为函数在区间与上均为减函数，故若存在跟随区间则有，解得：，但，

故不存在，B错误．

对C，若函数存在跟随区间，因为为减函数，故由跟随区间的定义可知，，

即，因为，所以．

易得．所以，

令代入化简可得，同理也满足，即在区间上有两根不相等的实数根．

故，解得，故C不正确．

对D，若存在“3倍跟随区间”，则可设定义域为，值域为．当时，易得在区间上单调递增，此时易得为方程的两根，求解得或．故存在定义域，使得值域为．故D正确．

故选：AD．

12．已知，若对任意的，不等式恒成立，则（    ）

A． B．

C．的最小值为12 D．的最小值为

【答案】ACD

【分析】由已知可得，由于，所以可得当时，，当时，，从而可得，，则，然后代入各选项的式子中结合基本不等式和函数的性质分析判断.

【详解】由，得，

所以，

因为，

所以当时，，当时，，

因为对任意的，不等式恒成立，

所以当时，，当时，，

所以对于函数，有，，所以，

所以A正确，B错误，

对于C，因为，所以，

所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为12，所以C正确，

对于D，，

令，因为，当且仅当即时取等号，所以，

由，得，所以，

所以，

所以函数在上递增，

所以当时，取得最小值为，

所以的最小值为，所以D正确，

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查基本不等式的应用，解题的关键是由题意结合一次函数和二次函数的性质得，，从而可结合基本不等式分析判断，考查数学转化思想，属于较难题.

三、填空题

13．函数的定义域为________．

【答案】

【分析】根据题意列关于的不等式组即可求解.

【详解】由题要使得有意义，则，

故且，

从而的定义域为，

故答案为：.

14．已知为正实数，则的最小值为__________．

【答案】6

【分析】将原式变形为，结合基本不等式即可求得最值.

【详解】由题得，

设，则.

当且仅当时取等.

所以的最小值为6.

故答案为：6

15．已知非空集合M满足，若存在非负整数k（），使得对任意，均有，则称集合M具有性质P，则具有性质P的集合M的个数为______________.

【答案】8

【分析】分的取值进行分情况计算讨论满足条件的集合，从而得到答案.

【详解】当时，为.

当时，为

当时，为

当时，为.

所以满足条件的集合有8个.

故答案为：8

【点睛】本题考查了集合的运算性质、元素与集合之间的关系、新定义，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．

16．已知函数的定义域为，且函数的图像关于点对称，对于任意的，总有成立，当时，，函数，对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数的取值范围是__________.

【答案】

【分析】根据抽象函数的性质得到是定义域在R上的奇函数且是周期函数，求得的取值范围，再求得的最小值即可.

【详解】解：由题意得：

函数的图像关于点对称

的图像关于点对称

是定义域在R上的奇函数

当时，

又，，

又对于任意的，总有成立

是周期为4的周期函数

刚好为一个周期

函数

当时，任意，存在，使得显然成立

当时，任意，存在，使得成立，即存在，使得

因为当时，有最小值

所以

解得：

所以综上：满足条件的实数的取值范围是

故答案为：

四、解答题

17．已知集合，或，全集.

(1)若，求；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将代入集合中确定出，求出与的交集即可；（2）根据交集的定义可得答案.

【详解】（1）将代入集合中的不等式得：，

∵或，

,

（2）∵，或，

因为，所以A不是空集，

因为，所以，

解得，

所以实数的取值范围为.

18．已知函数.

(1)求的解析式;

(2)判断并证明函数在上的单调性.

【答案】(1)

(2)单调递增,证明见解析

【分析】(1)根据代入即可求得的解析式;

(2)先判断的单调性,再利用单调性的定义证明即可.

【详解】（1）解:由题意得,

解得,

;

（2）在上单调递增,证明如下:

设任意,

则

由,

得,

,

即,

故在上单调递增.

19．设函数．

(1)若不等式的解集为，求实数的值；

(2)若，且，使成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由韦达定理列方程组求解可得；

（2）该问题为恒成立问题，整理后分二次系数是否等于0两种情况讨论即可.

【详解】（1）由题意可知：方程的两根是，1

所以解得

（2）由得

，成立，即使恒成立，

又因为，代入上式可得恒成立．

当时，显然上式不恒成立；

当时，要使恒成立

所以，解得

综上可知的取值范围是．

20．已知二次函数．

(1)若点在该二次函数的图象上，求的解集；

(2)若点在该二次函数的图象上，且，求的最小值．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）由题意可得，即，讨论，，，时，结合二次不等式的解法，不等式的解集，可得所求解集；

（2）依题意可得，，可得，运用基本不等式和讨论，，可得所求最小值．

【详解】（1）解：因为点在函数上，

所以，即，

所以不等式，即，即，

①当时，解得，即不等式的解集为；

②当时，原不等式即为，则不等式的解集为；

③当时，解得或，即不等式的解集为；

④当时，解得或，即不等式的解集为；

综上可得，当时不等式的解集为；

当时不等式的解集为；

当时不等式的解集为；

当时不等式的解集为.

（2）解：因为点在函数上，

所以，即，

因为，所以，

所以，

当时，，可得的最小值为，当且仅当，时等号成立；

当时，，可得的最小值为，当且仅当，时等号成立．

所以的最小值为．

21．第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有4000多项新产品､新技术､新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产x千台空调，需另投入资金R万元，且.经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金R=4000万元.现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完.

(1)求2022年该企业年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式；

(2)2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本.

【答案】(1)

(2)当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元

【分析】（1）由题意可知时，R=4000，代入函数中可求出，然后由年利润等于销售总额减去投入资金，再减去固定成本，可求出年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式，

（2）分别当和求出函数的最大值，比较即可得答案

【详解】（1）由题意知，当时，，所以a=300.

当时，；

当时，.

所以，

（2）当时，，所以当时，W有最大值，最大值为8740；

当时，，

当且仅当，即x=100时，W有最大值，最大值为8990.

因为，

所以当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元.

22．已知函数对任意实数恒有，当时，，且

(1)判断的奇偶性；

(2)求函数在区间上的最大值；

(3)若恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)奇函数，理由见解析；

(2)最大值为；

(3)或.

【分析】（1）令求得，令结合奇偶性定义即可判断；

（2）令，根据已知条件及单调性定义即可判断单调性，利用单调性求最值；

（3）由（2），问题化为恒成立，根据一次函数性质，讨论参数m求范围.

【详解】（1）令，则，可得，

令，则，可得，

又定义域为R，故为奇函数.

（2）令，则，且，

因为时，，所以，

故，即在定义域上单调递减，

所以在区间上的最大值为.

（3）由（2），在上，

恒成立，即恒成立，

所以恒成立，显然时不成立，

则，可得；，可得；

综上，或.