新高考数学二轮复习专题六培优点9圆锥曲线与圆的综合问题学案

这是一份新高考数学二轮复习专题六培优点9圆锥曲线与圆的综合问题学案，共11页。
考点一 圆的切线与圆锥曲线的综合问题
例1 已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F2(1,0)，点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(\r(21),4)))在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)点M在圆x2＋y2＝b2上，且M在第一象限，过点M作圆x2＋y2＝b2的切线交椭圆于A，B两点，问△AF2B的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．
解 (1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－b2＝c2＝1，,\f(9,4a2)＋\f(21,16b2)＝1，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,b2＝3，))
∴椭圆的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)是定值．由题意，
设AB的方程为y＝kx＋m(k0)，
∵AB与圆x2＋y2＝3相切，
∴eq \f(|m|,\r(1＋k2))＝eq \r(3)，即m2＝3(1＋k2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))
整理得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝eq \f(－8km,3＋4k2)，
x1x2＝eq \f(4m2－12,3＋4k2)，
∴|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|
＝eq \r(1＋k2)eq \r(x1＋x22－4x1x2)
＝eq \r(1＋k2)eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－8km,3＋4k2)))2－4·\f(4m2－12,3＋4k2))
＝eq \f(－4km,3＋4k2).
又|AF2|2＝(x1－1)2＋yeq \\al(2,1)
＝(x1－1)2＋3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x\\al(2,1),4)))
＝eq \f(1,4)(x1－4)2，
∴|AF2|＝eq \f(1,2)(4－x1)＝2－eq \f(1,2)x1，
同理|BF2|＝eq \f(1,2)(4－x2)＝2－eq \f(1,2)x2，
∴|AF2|＋|BF2|＝4－eq \f(1,2)(x1＋x2)
＝4＋eq \f(4km,3＋4k2)
∴|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4＋eq \f(4km,3＋4k2)－eq \f(4km,3＋4k2)＝4(定值)．
规律方法 处理圆的切线与圆锥曲线综合问题，主要就是巧设直线方程，利用圆的切线性质(圆心到直线的距离等于半径)找到直线的参数之间的关系或者转化为直线斜率的一元二次方程，利用根与系数的关系求解．
跟踪演练1 在平面直角坐标系中，F为抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，D为抛物线C上第一象限内任意一点，△FOD外接圆的圆心为Q，且圆心Q到抛物线C的准线的距离为eq \f(3,4).
(1)求抛物线C的方程；
(2)设点P(x0，y0)(x0>1)为抛物线C上第一象限内任意一点，过点P作圆x2＋(y－1)2＝1的两条切线l1，l2且与y轴分别相交于A，B两点，求△PAB面积的最小值．
解 (1)由抛物线C方程x2＝2py，
已知Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))，准线y＝－eq \f(p,2)，
外接圆的圆心在直线y＝eq \f(p,4)上，
依题意eq \f(3p,4)＝eq \f(3,4)，即p＝1，抛物线C的方程为x2＝2y.
(2)设过点P(x0，y0)的直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)，
直线kx－y＋y0－kx0＝0与圆x2＋(y－1)2＝1相切，则eq \f(|y0－1－kx0|,\r(1＋k2))＝1，
化简得(xeq \\al(2,0)－1)k2－2(y0－1)x0·k＋yeq \\al(2,0)－2y0＝0，①
方程的根为k1，k2，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k1＋k2＝\f(2y0－1x0,x\\al(2,0)－1)，,k1·k2＝\f(y\\al(2,0)－2y0,x\\al(2,0)－1)，))
设直线l1，l2在y轴上的截距分别为y1，y2，
则y1＝y0－k1x0，y2＝y0－k2x0，
|AB|＝|y1－y2|＝|k1－k2|·x0
＝x0·eq \r(\f(4y0－12x\\al(2,0),x\\al(2,0)－12)－\f(4y\\al(2,0)－2y0x\\al(2,0)－1,x\\al(2,0)－12))
＝eq \f(2x0\r(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0)－2y0),x\\al(2,0)－1)
＝eq \f(2x0·\r(x\\al(2,0)＋\f(1,4)x\\al(4,0)－x\\al(2,0)),x\\al(2,0)－1)
＝eq \f(x\\al(3,0),x\\al(2,0)－1)，
S＝eq \f(1,2)|AB|·x0＝eq \f(1,2)·eq \f(x\\al(4,0),x\\al(2,0)－1)
＝eq \f(1,2)·eq \f(x\\al(2,0)－12＋2x\\al(2,0)－1＋1,x\\al(2,0)－1)
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x\\al(2,0)－1＋\f(1,x\\al(2,0)－1)＋2))
≥eq \f(1,2)×(2＋2)＝2.
当且仅当xeq \\al(2,0)－1＝eq \f(1,x\\al(2,0)－1)，即x0＝eq \r(2)时，S△PAB面积取得最小值，面积最小值为2.
考点二 圆锥曲线中的四点共圆综合问题
例2 (2022·重庆模拟)设动点P与定点F(eq \r(3)，0)的距离和P到定直线l：x＝eq \f(4\r(3),3)的距离的比是eq \f(\r(3),2).
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设动点P的轨迹为曲线C，不过原点O且斜率为eq \f(1,2)的直线l与曲线C交于不同的A，B两点，线段AB的中点为M，直线OM与曲线C交于C，D两点，证明：A，B，C，D四点共圆．
(1)解 设P(x，y)，
因为动点P与定点F(eq \r(3)，0)的距离和P到定直线l：x＝eq \f(4\r(3),3)的距离的比是eq \f(\r(3),2)，
所以eq \f(\r(x－\r(3)2＋y2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x－\f(4\r(3),3))))＝eq \f(\r(3),2)，
整理化简得eq \f(x2,4)＋y2＝1.
所以动点P的轨迹方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)证明 设直线l的方程为y＝eq \f(1,2)x＋m(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,4)＋y2＝1，,y＝\f(1,2)x＋m，))
得x2＋2mx＋2m2－2＝0，①
方程①的判别式为Δ＝4(2－m2)，
由Δ>0，得2－m2>0，
解得－eq \r(2)