新高考数学二轮复习专题四微重点12立体几何中的动态问题学案
展开考点一 动点轨迹问题
例1 (多选)(2021·新高考全国Ⅰ)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=1,点P满足eq \(BP,\s\up6(→))=λeq \(BC,\s\up6(→))+μeq \(BB1,\s\up6(--→)),其中λ∈[0,1],μ∈[0,1],则( )
A.当λ=1时,△AB1P的周长为定值
B.当μ=1时,三棱锥P-A1BC的体积为定值
C.当λ=eq \f(1,2)时,有且仅有一个点P,使得A1P⊥BP
D.当μ=eq \f(1,2)时,有且仅有一个点P,使得A1B⊥平面AB1P
答案 BD
解析 eq \(BP,\s\up6(→))=λeq \(BC,\s\up6(→))+μeq \(BB1,\s\up6(--→))(0≤λ≤1,0≤μ≤1).
图1
对于选项A,当λ=1时,点P在棱CC1上运动,如图1所示,此时△AB1P的周长为AB1+AP+PB1=eq \r(2)+eq \r(1+μ2)+eq \r(1+1-μ2)=eq \r(2)+eq \r(1+μ2)+eq \r(2-2μ+μ2),不是定值,A错误;
对于选项B,当μ=1时,点P在棱B1C1上运动,如图2所示,
图2
则=eq \f(1,3)S△PBC×eq \f(\r(3),2)=eq \f(\r(3),6)S△PBC=eq \f(\r(3),6)×eq \f(1,2)×1×1=eq \f(\r(3),12),为定值,故B正确;
对于选项C,取BC的中点D,B1C1的中点D1,连接DD1,A1B(图略),则当λ=eq \f(1,2)时,点P在线段DD1上运动,假设A1P⊥BP,则A1P2+BP2=A1B2,即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))2+(1-μ)2+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2+μ2=2,解得μ=0或μ=1,所以当点P与点D或D1重合时,A1P⊥BP,C错误;
方法一 对于选项D,易知四边形ABB1A1为正方形,所以A1B⊥AB1,设AB1与A1B交于点K,连接PK(图略),要使A1B⊥平面AB1P,需A1B⊥KP,所以点P只能是棱CC1的中点,故选项D正确.
方法二 对于选项D,分别取BB1,CC1的中点E,F,连接EF,则当μ=eq \f(1,2)时,点P在线段EF上运动,以点C1为原点建立如图所示的空间直角坐标系C1xyz,则B(0,1,1),B1(0,1,0),
A1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2),\f(1,2),0)),Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,1-λ,\f(1,2))),
所以eq \(A1B,\s\up6(--→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(\r(3),2),\f(1,2),1)),eq \(B1P,\s\up6(--→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,-λ,\f(1,2))),
若A1B⊥平面AB1P,则A1B⊥B1P,所以-eq \f(λ,2)+eq \f(1,2)=0,解得λ=1,所以只存在一个点P,使得A1B⊥平面AB1P,此时点P与F重合,故D正确.
规律方法 解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法
(1)几何法:根据平面的性质进行判定.
(2)定义法:转化为平面轨迹问题,用圆锥曲线的定义判定或用代数法进行计算.
(3)特殊值法:根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除.
跟踪演练1 (多选)(2022·漳州质检)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为2,M为CC1的中点,P为平面BCC1B1上的动点,且满足AM∥平面A1BP,则下列结论正确的是( )
A.AM⊥B1M
B.CD1∥平面A1BP
C.动点P的轨迹长为eq \f(2\r(13),3)
D.AM与A1B1所成角的余弦值为eq \f(\r(5),3)
答案 BC
解析 如图建立空间直角坐标系,
则A(0,0,2),A1(0,2,2),
B(0,0,0),B1(0,2,0),
M(2,1,0),P(x,y,0),
所以eq \(A1B,\s\up6(--→))=(0,-2,-2),
eq \(BP,\s\up6(→))=(x,y,0),
eq \(AM,\s\up6(→))=(2,1,-2),
由AM∥平面A1BP,得eq \(AM,\s\up6(→))=aeq \(A1B,\s\up6(--→))+beq \(BP,\s\up6(→)),
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0+bx=2,,-2a+by=1,,-2a=-2,))化简可得3x-2y=0,
所以动点P在直线3x-2y=0上,
A选项,eq \(AM,\s\up6(→))=(2,1,-2),eq \(B1M,\s\up6(--→))=(2,-1,0),
eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(B1M,\s\up6(--→))=2×2+1×(-1)+(-2)×0=3≠0,
所以AM与B1M不垂直,A选项错误;
B选项,CD1∥A1B,A1B⊂平面A1BP,
CD1⊄平面A1BP,
所以CD1∥平面A1BP,B选项正确;
C选项,动点P在直线3x-2y=0上,且P为平面BCC1B1上的动点,
则P在线段P1B上,P1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3),2,0)),
所以P1B=eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))2+22+02)=eq \f(2\r(13),3),
C选项正确;
D选项,eq \(A1B1,\s\up6(--→))=(0,0,-2),
cs〈eq \(AM,\s\up6(→)),eq \(A1B1,\s\up6(--→))〉=eq \f(4,2\r(22+12+-22))=eq \f(2,3),
D选项错误.
考点二 折叠、展开问题
例2 (多选)(2022·德州模拟)如图,在边长为4的正方形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上(不含端点)且BE=BF,将△AED,△DCF分别沿DE,DF折起,使A,C两点重合于点A1,则下列结论正确的有( )
A.A1D⊥EF
B.当BE=BF=eq \f(1,2)BC时,三棱锥A1-EFD的外接球体积为eq \r(6)π
C.当BE=BF=eq \f(1,4)BC时,三棱锥A1-EFD的体积为eq \f(2\r(17),3)
D.当BE=BF=eq \f(1,4)BC时,点A1到平面EFD的距离为eq \f(4\r(17),7)
答案 ACD
解析 A选项,∵正方形ABCD,
∴AD⊥AE,DC⊥FC,
由折叠的性质可知A1D⊥A1E,A1D⊥A1F,
又∵A1E∩A1F=A1,A1E,A1F⊂平面A1EF,
∴A1D⊥平面A1EF,
又∵EF⊂平面A1EF,
∴A1D⊥EF,故A正确;
B选项,当BE=BF=eq \f(1,2)BC=2时,
A1E=A1F=2,EF=2eq \r(2),
在△A1EF中,A1E2+A1F2=EF2,
则A1E⊥A1F,
由A选项可知,A1D⊥A1E,A1D⊥A1F,
∴三棱锥A1-EFD的三条侧棱A1D,A1E,A1F两两相互垂直,把三棱锥A1-EFD放置在长方体中,可得长方体的体对角线长为eq \r(22+22+42)=2eq \r(6),则三棱锥A1-EFD的外接球半径为eq \r(6),
体积为eq \f(4,3)πR3=eq \f(4,3)π×(eq \r(6))3=8eq \r(6)π,故B错误;
C选项,当BE=BF=eq \f(1,4)BC=1时,
A1E=A1F=3,EF=eq \r(2),
在△A1EF中,cs∠EA1F=eq \f(A1E2+A1F2-EF2,2A1E·A1F)
=eq \f(32+32-\r(2)2,2×3×3)=eq \f(8,9),
∴sin∠EA1F=eq \f(\r(17),9),
则=eq \f(1,2)A1E·A1F·sin∠EA1F
=eq \f(1,2)×3×3×eq \f(\r(17),9)=eq \f(\r(17),2),
∴
=eq \f(1,3)×eq \f(\r(17),2)×4=eq \f(2\r(17),3),故C正确;
D选项,设点A1到平面EFD的距离为h,则在△EFD中,cs∠EDF=eq \f(DE2+DF2-EF2,2DE·DF)
=eq \f(52+52-\r(2)2,2×5×5)=eq \f(24,25),
∴sin∠EDF=eq \f(7,25),
则S△EFD=eq \f(1,2)DE·DF·sin∠EDF
=eq \f(1,2)×5×5×eq \f(7,25)=eq \f(7,2),
∴=eq \f(1,3)·S△EFD·h=eq \f(1,3)×eq \f(7,2)×h=eq \f(2\r(17),3),
即h=eq \f(4\r(17),7),故D正确.
规律方法 画好折叠、展开前后的平面图形与立体图形,抓住两个关键点:不变的线线关系、不变的数量关系.
跟踪演练2 (多选)(2022·南通模拟)已知菱形ABCD的边长为2,∠ABC=eq \f(π,3).将△DAC沿着对角线AC折起至△D′AC,连接BD′,设二面角D′-AC-B的大小为θ,则下列说法正确的是( )
A.若四面体D′ABC为正四面体,则θ=eq \f(π,3)
B.四面体D′ABC体积的最大值为1
C.四面体D′ABC表面积的最大值为2(eq \r(3)+2)
D.当θ=eq \f(2π,3)时,四面体D′ABC的外接球的半径为eq \f(\r(21),3)
答案 BCD
解析 如图,取AC的中点O,连接OB,OD′,
则OB=OD′,OB⊥AC,
OD′⊥AC,
∠BOD′为二面角D′-AC-B的平面角,
即∠BOD′=θ.
若D′ABC是正四面体,则BO=D′O≠BD′,
△OBD′不是正三角形,θ≠eq \f(π,3),A错误;
四面体D′ABC的体积最大时,BO⊥平面ACD′,
此时B到平面ACD′的距离最大为BO=eq \r(3),
而S△ACD′=eq \f(\r(3),4)×22=eq \r(3),
所以V=eq \f(1,3)×eq \r(3)×eq \r(3)=1,B正确;
S△ABC=S△ACD′=eq \r(3),
易得△BAD′≌△BCD′,
S△BAD′=S△BCD′=eq \f(1,2)×22sin∠BCD′
=2sin∠BCD′,
未折叠时BD′=BD=2eq \r(3),折叠到B,D′重合时,BD′=0,故中间存在一个位置,使得BD′=2eq \r(2),
此时BC2+D′C2=BD′2,∠BCD′=eq \f(π,2),
此时S△BAD′=S△BCD′=2sin∠BCD′取得最大值2,
所以四面体D′ABC的表面积最大值为2(eq \r(3)+2),C正确;
当θ=eq \f(2π,3)时,如图,设M,N分别是△ACD′和△BAC的外心,过点M,N分别作平面ACD′,平面BAC的垂线,两垂线交于一点P,连接PB,则P是三棱锥外接球的球心,PB即为三棱锥外接球半径,
由上面证明过程知平面OBD′与平面ABC、平面D′AC垂直,即P,N,O,M四点共面,
因为θ=eq \f(2π,3),则∠PON=eq \f(π,3),
ON=eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),2)×2=eq \f(\r(3),3),BN=eq \f(2,3)×eq \f(\r(3),2)×2=eq \f(2\r(3),3),
PN=ON·tan eq \f(π,3)=eq \f(\r(3),3)×eq \r(3)=1,
PB=eq \r(PN2+BN2)=eq \r(12+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)))2)=eq \f(\r(21),3),
D正确.
考点三 最值、范围问题
例3 (多选)(2022·梅州模拟)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,动点P在体对角线BD1上(含端点),则下列结论正确的有( )
A.当P为BD1的中点时,∠APC为锐角
B.存在点P,使得BD1⊥平面APC
C.AP+PC的最小值为2eq \r(5)
D.顶点B到平面APC的最大距离为eq \f(\r(2),2)
答案 ABD
解析 如图,以点D为原点建立空间直角坐标系,
设eq \(BP,\s\up6(→))=λeq \(BD1,\s\up6(--→))(0≤λ≤1),
则A(1,0,0),B(1,1,0),
C(0,1,0),D1(0,0,2),
则eq \(BD1,\s\up6(--→))=(-1,-1,2),
故eq \(BP,\s\up6(→))=λeq \(BD1,\s\up6(--→))
=(-λ,-λ,2λ),
则eq \(AP,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BP,\s\up6(→))=(0,1,0)+(-λ,-λ,2λ)
=(-λ,1-λ,2λ),
eq \(CP,\s\up6(→))=eq \(CB,\s\up6(→))+eq \(BP,\s\up6(→))=(1,0,0)+(-λ,-λ,2λ)
=(1-λ,-λ,2λ).
对于A,当P为BD1中点时,Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),\f(1,2),1)),
则eq \(PA,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),-\f(1,2),-1)),eq \(PC,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2),\f(1,2),-1)),
所以cs∠APC=eq \f(\(PA,\s\up6(→))·\(PC,\s\up6(→)),|\(PA,\s\up6(→))||\(PC,\s\up6(→))|)=eq \f(1,3)>0,
所以∠APC为锐角,故A正确;
当BD1⊥平面APC时,
因为AP,CP⊂平面APC,
所以BD1⊥AP,BD1⊥CP,
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(BD1,\s\up6(--→))·\(AP,\s\up6(→))=λ+λ-1+4λ=0,,\(BD1,\s\up6(--→))·\(CP,\s\up6(→))=λ-1+λ+4λ=0,))
解得λ=eq \f(1,6),
故存在点P,使得BD1⊥平面APC,故B正确;
对于C,当BD1⊥AP,BD1⊥CP时,AP+PC取得最小值,
由B得,此时λ=eq \f(1,6),
则eq \(AP,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,6),\f(5,6),\f(1,3))),eq \(CP,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6),-\f(1,6),\f(1,3))),
所以|eq \(AP,\s\up6(→))|=|eq \(CP,\s\up6(→))|=eq \f(\r(30),6),
即AP+PC的最小值为eq \f(\r(30),3),故C错误;
对于D,eq \(AB,\s\up6(→))=(0,1,0),eq \(AC,\s\up6(→))=(-1,1,0),
设平面APC的一个法向量为n=(x,y,z),
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AC,\s\up6(→))=-x+y=0,,n·\(AP,\s\up6(→))=-λx+1-λy+2λz=0,))
可取n=(2λ,2λ,2λ-1),
则点B到平面APC的距离为
|eq \(AB,\s\up6(→))|·|cs〈eq \(AB,\s\up6(→)),n〉|=eq \f(|\(AB,\s\up6(→))·n|,|n|)
=eq \f(|2λ|,\r(12λ2-4λ+1)),
当λ=0时,点B到平面APC的距离为0,
当0<λ≤1时,
eq \f(|2λ|,\r(12λ2-4λ+1))=eq \f(1,\r(3-\f(1,λ)+\f(1,4λ2)))
=eq \f(1,\r(2+\f(1,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,λ)-2))2))≤eq \f(\r(2),2),
当且仅当λ=eq \f(1,2)时,取等号,所以点B到平面APC的最大距离为eq \f(\r(2),2),故D正确.
规律方法 在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题,常用的解题思路是
(1)直观判断:在变化过程中判断点、线、面在何位置时,所求的量有相应最大、最小值.
(2)函数思想:通过建系或引入变量,把这类动态问题转化为目标函数,从而利用代数方法求目标函数的最值.
跟踪演练3 (2022·菏泽质检)如图,等腰Rt△ABE的斜边AB为正四面体A-BCD的侧棱,AB=2,直角边AE绕斜边AB旋转一周,在旋转的过程中,三棱锥E-BCD体积的取值范围是__________________.
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2)-1,3),\f(\r(2)+1,3)))
解析 如图,令F为CD的中点,O为AB的中点,则点E在以O为圆心,1为半径的圆上运动,
由图可知当F,O,E三点共线,且O在F,E之间时,三棱锥E-BCD的体积最大,当运动到E1的位置时,E-BCD的体积最小,
在Rt△BOF中,BO=1,BF=eq \r(3),OF=eq \r(2),
sin∠BFO=eq \f(\r(3),3),FE=eq \r(2)+1,FE1=eq \r(2)-1,
设E,E1到平面BCD的距离分别为h1,h2,则
h1=eq \f(\r(2)+1,\r(3))=eq \f(\r(6)+\r(3),3),
h2=eq \f(\r(2)-1,\r(3))=eq \f(\r(6)-\r(3),3),
S△BCD=eq \f(1,2)×2×eq \r(3)=eq \r(3),
所以三棱锥E-BCD体积的最大值为eq \f(1,3)×eq \r(3)×eq \f(\r(6)+\r(3),3)=eq \f(\r(2)+1,3),
三棱锥E-BCD体积的最小值为eq \f(1,3)×eq \r(3)×eq \f(\r(6)-\r(3),3)=eq \f(\r(2)-1,3),
所以三棱锥E-BCD体积的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2)-1,3),\f(\r(2)+1,3))).
专题强化练
1.(多选)(2022·佛山模拟)在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D中,M是A1B1的中点,N在该正方体的棱上运动,则下列说法正确的是( )
A.存在点N,使得MN∥BC1
B.三棱锥M—A1BC1的体积等于eq \f(9,4)
C.有且仅有两个点N,使得MN∥平面A1BC1
D.有且仅有三个点N,使得N到平面A1BC1的距离为eq \r(3)
答案 BC
解析 对于A,显然无法找到点N,
使得MN∥BC1,故A错误;
对于B,
=eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(3,2)×3×3=eq \f(9,4),故B正确;
对于C,如图所示,N1,N2分别为B1B,B1C1的中点,有MN1∥平面A1BC1,MN2∥平面A1BC1,故C正确;
对于D,易证B1D⊥平面A1BC1,B1D⊥平面ACD1,且B1O1=O1O2=O2D=eq \f(1,3)B1D=eq \r(3),
所以有点B1,A,C,D1四点到平面A1BC1的距离为eq \r(3),故D错误.
2.(2022·芜湖模拟)已知四棱锥P-ABCD的高为eq \r(3),底面ABCD为矩形,BC=3,AB=2,PC=PD,且平面PCD⊥平面ABCD.现从四棱锥中挖去一个以CD为底面直径,P为顶点的半个圆锥,得到的几何体如图所示.点N在弧eq \(CD,\s\up8(︵))上,则PN与侧面PAB所成的最小角的正弦值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(\r(6)-\r(2),4) D.eq \f(\r(3),2)
答案 A
解析 如图所示,分别取AB,CD的中点为E,F,连接EF,EF与eq \(CD,\s\up8(︵))交于点H.
记点N到侧面PAB的距离为d,PN与侧面PAB所成的最小角为θ,由于PN的长为定值,因此当且仅当d最小时,PN与侧面PAB所成的角最小,此时点N与H重合,θ=∠HPE=∠PEF.
由平面PCD⊥平面ABCD易知PF⊥EF,
又PF=eq \r(3),EF=3,所以tan θ=eq \f(\r(3),3),即sin θ=eq \f(1,2).
3.(多选)如图是四棱锥P-ABCD的平面展开图,四边形ABCD是矩形,ED⊥DC,FD⊥DA,DA=3,DC=2,∠FAD=30°.在四棱锥P-ABCD中,M为棱PB上一点(不含端点),则下列说法正确的有( )
A.DM的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(39),4),\r(13)))
B.存在点M,使得DM⊥BC
C.四棱锥P-ABCD外接球的体积为eq \f(16π,3)
D.三棱锥M-PAD的体积等于三棱锥M-PCD的体积
答案 AD
解析 把平面图形还原得到原四棱锥,如图,
由ED⊥DC,FD⊥DA,
可知PD⊥DC,PD⊥DA,
又DC∩DA=D,DA,DC⊂平面ABCD,
所以PD⊥平面ABCD.
在Rt△ADP中,∠PAD=30°,DA=3,
故PD=3tan 30°=eq \r(3),
连接DB,在矩形ABCD中,DA=3,DC=2,
DB=eq \r(22+32)=eq \r(13),
在Rt△PDB中,
PB=eq \r(PD2+DB2)=eq \r(3+13)=4,
所以点D到直线PB的距离为eq \f(\r(3)×\r(13),4)=eq \f(\r(39),4),
故DM的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(39),4),\r(13))),故A正确;
对于B,假设DM⊥BC,
因为PD⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,
所以PD⊥BC,
因为PD∩DM=D,所以BC⊥平面PBD,
因为BD⊂平面PBD,所以BC⊥BD,与已知条件矛盾,故B错误;
对于C,将此四棱锥可以补形成一个长方体,PB为长方体的一条体对角线,同时也是四棱锥P-ABCD外接球的直径,所以半径为2,
其体积V=eq \f(4π,3)×23=eq \f(32π,3),故C错误;
对于D,因为eq \f(VM-PAD,VB-PAD)=eq \f(MP,BP),eq \f(VM-PCD,VB-PCD)=eq \f(MP,BP),
而VB-PAD=VP-BAD=VP-BCD=VB-PCD,
所以VM-PAD=VM-PCD,故D正确.
4.(多选)(2022·潍坊模拟)已知四面体ABCD的4个顶点都在球O(O为球心)的球面上,如图,△ABC为等边三角形,M为底面ABC内的动点,AB=BD=2,AD=eq \r(2),且AC⊥BD,则( )
A.平面ACD⊥平面ABC
B.球心O为△ABC的中心
C.直线OM与CD所成的角最小为eq \f(π,3)
D.若动点M到点B的距离与到平面ACD的距离相等,则点M的轨迹为抛物线的一部分
答案 ABD
解析 如图,设△ABC的中心为G,取AC的中点E,连接BE,DE,则BE⊥AC.
∵AC⊥BD,BE∩BD=B,BE,BD⊂平面BDE,
∴AC⊥平面BDE,又DE⊂平面BDE,
则AC⊥DE,
又△ABC为等边三角形,
AB=BD=2,AD=eq \r(2),
∴AE=1,DE=1,BE=eq \r(3),
∴DE2+BE2=BD2,即DE⊥BE,
又BE⊥AC,AC∩DE=E,AC,DE⊂平面ADC,
∴BE⊥平面ADC,又BE⊂平面ABC,
∴平面ACD⊥平面ABC,故A正确;
又∵GE=eq \f(\r(3),3),GB=GA=GC=eq \f(2\r(3),3),
∴GD=eq \r(GE2+DE2)=eq \r(\f(1,3)+1)=eq \f(2\r(3),3),
故G为四面体ABCD的外接球的球心,即球心O为△ABC的中心,故B正确;
当OM∥AC时,∠DCA为直线OM与CD所成的角,由上知∠DCA=eq \f(π,4)
由抛物线的定义可知,点M的轨迹为抛物线的一部分,故D正确.
5.(多选)如图1,在矩形ABCD与菱形ABEF中,AB=2BC=4,∠ABE=120°,M,N分别是BF,AC的中点.现沿AB将菱形ABEF折起,连接FD,EC,构成三棱柱AFD-BEC,如图2所示,若AD⊥BF,记平面AMN∩平面ADF=l,则( )
A.平面ABCD⊥平面ABEF
B.MN∥l
C.直线EF与平面ADE所成的角为60°
D.四面体EABD的外接球的表面积为148π
答案 AB
解析 对于A,由于矩形ABCD,则AD⊥AB,
又因为AD⊥BF,而AB∩BF=B,
AB,BF⊂平面ABEF,
所以AD⊥平面ABEF,
又AD⊂平面ABCD,
所以平面ABCD⊥平面ABEF,所以A选项正确;
对于B,因为M,N分别是BF,AC的中点,四边形ABEF是菱形,
则M也是AE的中点,由三角形中位线的性质,可知MN∥EC,
由于三棱柱AFD-BEC,
则平面BEC∥平面ADF,
又EC⊂平面BEC,
所以EC∥平面ADF,
而平面AMN∩平面ADF=l,
则EC∥l,所以MN∥l,所以B选项正确;
对于C,由于四边形ABEF是菱形,则AE⊥BF,
又因为AD⊥BF,而AE∩AD=A,AE,AD⊂平面ADE,
所以BF⊥平面ADE,
所以∠FEM为直线EF与平面ADE所成的角,
又因为∠ABE=120°,
则∠BEF=60°,所以∠FEM=30°,
故直线EF与平面ADE所成的角为30°,所以C选项不正确;
对于D,由题可知AB=2BC=4,∠ABE=120°,
则在△ABE中,
AE=2AM=2Absin eq \f(1,2)∠ABE
=2×4×sin 60°=4eq \r(3),
由正弦定理可得△ABE的外接圆半径
r=eq \f(1,2)×eq \f(AE,sin∠ABE)=eq \f(1,2)×eq \f(4\r(3),sin 120°)=4,
由A选项可知,AD⊥平面ABEF,
所以四面体EABD的外接球半径
R=eq \r(r2+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)AD))2)=eq \r(42+12)=eq \r(17),
故四面体EABD的外接球的表面积S=4πR2=4π×17=68π,所以D选项不正确.
6.(多选)(2022·德州模拟)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E为线段B1C的中点,点F和点P分别满足eq \(D1F,\s\up6(--→))=λeq \(D1C1,\s\up6(--→)),eq \(D1P,\s\up6(--→))=μeq \(D1B,\s\up6(--→)),其中λ,μ∈[0,1],则下列说法正确的是( )
A.当λ=eq \f(1,2)时,三棱锥P-EFD的体积为定值
B.当μ=eq \f(1,2)时,四棱锥P-ABCD的外接球的表面积是eq \f(9π,4)
C.PE+PF的最小值为eq \f(5\r(3),6)
D.存在唯一的实数对(λ,μ),使得EP⊥平面PDF
答案 ABD
解析 对于A,当λ=eq \f(1,2)时,
F为C1D1中点,如图,
又E为B1C中点,
∴EF∥BD1,
∵EF⊂平面EFD,BD1⊄平面EFD,
∴BD1∥平面EFD,
则当P在线段BD1上移动时,其到平面EFD的距离不变,
∴三棱锥P-EFD的体积为定值,A正确;
对于B,当μ=eq \f(1,2)时,如图,连接AC,BD,交点为O,连接PO,
则四棱锥P-ABCD为正四棱锥,
∴PO⊥平面ABCD,
设四棱锥P-ABCD的外接球的球心为O′,半径为R,
则O′在直线PO上,
∵OC=eq \f(\r(2),2),OO′=eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)-R)),
∴OC2+OO′2=O′C2,
即eq \f(1,2)+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)-R))2=R2,
解得R=eq \f(3,4),
∴四棱锥P-ABCD的外接球的表面积S=4πR2=eq \f(9π,4),B正确;
对于C,将问题转化为在平面ABC1D1内求解PE+PF的最小值,
作E关于线段BD1的对称点E1,过E1作HG∥AD1,分别交C1D1,AB于H,G,如图所示,
∵PE=PE1,∴PE+PF=PE1+PF≥E1H(当且仅当F与H重合时取等号),
∵∠E1BA=∠ABD1-∠D1BE
=∠ABD1-∠D1BC1,
∴sin∠E1BA=sin(∠ABD1-∠D1BC1)
=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),\r(3))))2-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(3))))2=eq \f(1,3),
∴E1G=BE1·sin∠E1BA
=BE·sin∠E1BA=eq \f(\r(2),6),
∴E1H=eq \r(2)-eq \f(\r(2),6)=eq \f(5\r(2),6),
即PE+PF的最小值为eq \f(5\r(2),6),C错误;
对于D,以D为坐标原点,eq \(DA,\s\up6(→)),eq \(DC,\s\up6(→)),eq \(DD1,\s\up6(--→))的正方向为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则D(0,0,0),Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),1,\f(1,2))),
F(0,λ,1),P(μ,μ,1-μ),
∴eq \(EP,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(μ-\f(1,2),μ-1,\f(1,2)-μ)),
eq \(DP,\s\up6(→))=(μ,μ,1-μ),eq \(DF,\s\up6(→))=(0,λ,1),
若EP⊥平面PDF,则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(EP,\s\up6(→))·\(DP,\s\up6(→))=0,,\(EP,\s\up6(→))·\(DF,\s\up6(→))=0,))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(μ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(μ-\f(1,2)))+μμ-1+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)-μ))1-μ=0,,λμ-1+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)-μ))=0,))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(μ=\f(3+\r(3),6),,λ=-\f(1+\r(3),2)))(舍),或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(μ=\f(3-\r(3),6),,λ=\f(\r(3)-1,2),))
∴存在唯一的实数对(λ,μ)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)-1,2),\f(3-\r(3),6))),使得EP⊥平面PDF,D正确.
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