高中物理高考 专题10 1简谐运动及其描述用单摆测量重力加速度【讲】解析版

这是一份高中物理高考 专题10 1简谐运动及其描述用单摆测量重力加速度【讲】解析版，共15页。试卷主要包含了物理观念，科学思维，科学探究，实验步骤，数据处理，误差分析，注意事项，86，结果保留3位有效数字)等内容，欢迎下载使用。
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc10143" 一 讲核心素养 PAGEREF _Tc10143 1
\l "_Tc28905" 二 讲必备知识 PAGEREF _Tc28905 1
\l "_Tc16791" 【知识点一】简谐运动的特征 PAGEREF _Tc16791 1
\l "_Tc414" 【知识点二】简谐运动图像的理解和应用 PAGEREF _Tc414 3
\l "_Tc17475" 【知识点三】受迫振动和共振 PAGEREF _Tc17475 5
\l "_Tc26962" 【知识点四】探究单摆周期与摆长之间的关系、用单摆测量重力加速度 PAGEREF _Tc26962 7
\l "_Tc5023" 三．讲模型思想-------简谐运动的两种模型 PAGEREF _Tc5023 11
一 讲核心素养
1.物理观念：简谐运动、弹簧振子、单摆、受迫振动、共振。
(1)知道简谐运动的概念，理解简谐运动的表达式和图象。
(2).知道什么是单摆，熟记单摆的周期公式.
(3).理解受迫振动和共振的概念，了解产生共振的条件.。
2.科学思维：简谐运动的公式和图象、共振曲线。
(1).通过实验，认识简谐运动的特征、能用公式和图像描述简谐运动。
(2)通过实验，认识受迫振动的特点。了解产生共振的条件及其应用。
3.科学探究：探究单摆的运动、用单摆测重力加速度。
通过实验，探究单摆的周期与摆长的定量关系。知道单摆周期与摆长、重力加速度的关系。。
二 讲必备知识
【知识点一】 简谐运动的特征
简谐运动
1.定义：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动.
2.平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置.
3.回复力
(1)定义：使物体在平衡位置附近做往复运动的力.
(2)方向：总是指向平衡位置.
(3)来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力.
【例1】(多选)(2021·南昌模拟)关于水平放置的弹簧振子所做的简谐运动，下列说法正确的是( )
A．位移的方向是由振子所在处指向平衡位置
B．加速度的方向总是由振子所在处指向平衡位置
C．经过半个周期振子经过的路程一定是振幅的2倍
D．若两时刻相差半个周期，弹簧在这两个时刻的形变量一定相等
E．经过半个周期，弹簧振子完成一次全振动
【答案】BCD
【解析】位移的方向始终是由平衡位置指向振子所在处，选项A错误；加速度的方向始终是由振子所在处指向平衡位置，选项B正确；经过半个周期，振子经过的路程是振幅的2倍，若两时刻相差半个周期，两时刻弹簧的形变量一定相等，选项C、D正确；经过一个周期，弹簧振子完成一次全振动，选项E错误。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是物理观念。
【必备知识】简谐运动的“五个特征”
1．动力学特征：F＝－kx，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。
2．运动学特征：简谐运动的加速度的大小与物体偏离平衡位置的位移的大小成正比，而方向相反，为变加速运动，远离平衡位置时，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均减小，靠近平衡位置时则相反。
3．运动的周期性特征：相隔T或nT的两个时刻，振子处于同一位置且振动状态相同。
4．对称性特征
(1)相隔eq \f(T,2)或eq \f(2n＋1,2)T(n为正整数)的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反。
(2)如图所示，振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。
(3)振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间，即tPO＝tOP′。
(4)振子往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP＝tPO。
5．能量特征：振动的能量包括动能Ek和势能Ep，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒。
【变式训练】 一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O点开始计时，经过3 s质点第一次经过M点，如图1所示，再继续运动，又经过4 s第二次经过M点，则再经过多长时间第三次经过M点( )
A.7 s B.14 s
C.16 s D.eq \f(10,3) s
【答案】 C
【解析】由题意可知质点第一次经过M点的运动方向向右，简谐运动的周期T＝4×(3＋2) s＝20 s，则第三次经过M点的时间为t＝(20－4) s＝16 s，故C选项正确.
【变式训练2】(多选)(2021·鞍山模拟)弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过点O时开始计时，经过0.3 s，第一次到达点M，再经过0.2 s第二次到达点M，则弹簧振子的周期不可能为( )
A．0.53 s B．1.4 s C．1.6 s D．2 s E．3 s
【答案】BDE
【解析】如图甲所示，设O为平衡位置，OB(OC)代表振幅，振子从O→C所需时间为eq \f(T,4)。因为简谐运动具有对称性，所以振子从M→C所用时间和从C→M所用时间相等，故eq \f(T,4)＝0.3 s＋eq \f(0.2,2) s＝0.4 s，解得T＝1.6 s；如图乙所示，若振子一开始从平衡位置向点B运动，设点M′与点M关于点O对称，则振子从点M′经过点B到点M′所用的时间与振子从点M经过点C到点M所需时间相等，即0.2 s。振子从点O到点M′、从点M′到点O及从点O到点M所需时间相等，为eq \f(0.3 s－0.2 s,3)＝eq \f(1,30) s，故周期为T＝0.5 s＋eq \f(1,30) s≈0.53 s，所以周期不可能为选项B、D、E。
【知识点二】简谐运动图像的理解和应用
1．简谐运动的数学表达式
x＝Asin(ωt＋φ)
2．根据简谐运动图象可获取的信息
(1)确定振动的振幅A和周期T。(如图所示)
(2)可以确定振动物体在任一时刻的位移。
(3)确定各时刻质点的振动方向。判断方法：振动方向可以根据下一时刻位移的变化来判定。下一时刻位移若增加，质点的振动方向是远离平衡位置；下一时刻位移如果减小，质点的振动方向指向平衡位置。
(4)比较各时刻质点的加速度(回复力)的大小和方向。
eq \x(\a\al(从图象读取x,大小及方向))eq \(―――――→,\s\up10(F＝kx))eq \x(\a\al(F的大小,及方向))eq \(―――――→,\s\up10(F＝ma))eq \x(\a\al(a的大小,及方向))
(5)比较不同时刻质点的势能和动能的大小。质点的位移越大，它所具有的势能越大，动能越小。
【例1】 (多选)(2021·浙江选考模拟)如图甲所示为挖掘机的顶部垂下一个大铁球并让它小角度的摆动，即可以用来拆卸混凝土建筑，可视为单摆模型，它对应的振动图像如图乙所示，则下列说法正确的是( )
A.单摆振动的周期是6 s
B.t＝2 s时，摆球的速度最大
C.摆球的质量增大，周期越大
D.该单摆的摆长约为16 m
【答案】 BD
【解析】 由图像知，单摆的周期8 s，A错误；t＝2 s时，摆球位于平衡位置，速度最大，B正确；根据单摆周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))，周期与质量无关，C错误；代入T＝2πeq \r(\f(l,g))得摆长l≈16 m，D正确。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学思维。
【必备知识】对简谐运动图象的两点说明
(1)简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线，如图所示。
甲 乙
(2)图象反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图象不代表质点运动的轨迹。
【变式训练1】．(多选)一个质点做简谐运动的图象如图所示，下列叙述正确的是( )
A．质点的振动频率为4 Hz
B．在10 s内质点经过的路程是20 cm
C．在5 s末，速度为零，加速度最大
D．在t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点的位移大小相等
E．在t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点的速度相同
【答案】BCD
【解析】由图读出周期为T＝4 s，则频率为f＝eq \f(1,T)＝0.25 Hz，故A错误；质点在一个周期内通过的路程是4个振幅，t＝10 s＝2.5T，则在10 s内质点经过的路程是s＝2.5×4A＝10×2 cm＝20 cm，故B正确；在5 s末，质点位于最大位移处，速度为零，加速度最大，故C正确；由图看出，在t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点位移大小相等，速度大小相等、方向相反，故D正确，E错误。
【变式训练2】(多选)(2021·四川北师大广安实验学校月考)某质点做简谐运动，其位移与时间的关系式为x＝3sin (eq \f(2π,3)t＋eq \f(π,2)) cm，则( )
A.质点的振幅为3 cm
B.质点振动的周期为3 s
C.质点振动的周期为eq \f(2π,3) s
D.t＝0.75 s时刻，质点回到平衡位置
【答案】 ABD
【解析】 质点做简谐运动，位移与时间的关系式为x＝3sin (eq \f(2π,3)t＋eq \f(π,2))cm，对照公式x＝Asin(ωt＋φ0)，振幅为3 cm，角速度为eq \f(2π,3)，根据公式ω＝eq \f(2π,T)，周期为3 s，故A、B正确，C错误；t＝0.75 s时刻，x＝3sin (eq \f(2π,3)×eq \f(3,4)＋eq \f(π,2))cm＝0，即质点在平衡位置，故D正确.
【知识点三】受迫振动和共振
自由振动、受迫振动和共振的关系比较
【例1】(2021·广东汕头市第一次模拟)下表记录了某受迫振动的振幅随驱动力频率变化的关系，若该振动系统的固有频率为f固，则( )
A.f固＝60 Hz B.60 Hz＜f固＜70 Hz
C.50 Hz＜f固≤60 Hz D.以上三个都不对
【答案】 C
【解析】从如图所示的共振曲线可判断出f驱与f固相差越大，受迫振动的振幅越小；f驱与f固越接近，受迫振动的振幅越大。并可以从中看出f驱越接近f固，振幅的变化越慢。比较各组数据知f驱在50～60 Hz范围内时，振幅变化最小，因此50 Hz＜f固≤60 Hz，即C正确。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是物理观念及科学思维。
【必备知识】
对共振的理解
(1)共振曲线：如图所示，横坐标为驱动力频率f，纵坐标为振幅A，它直观地反映了驱动力频率对某固有频率为f0的振动系统受迫振动振幅的影响，由图可知，f与f0越接近，振幅A越大；当f＝f0时，振幅A最大。
(2)受迫振动中系统能量的转化：做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。
【变式训练1】(多选)(2021·孝感统测)下列说法正确的是( )
A．摆钟走时快了必须调短摆长，才可能使其走时准确
B．挑水时为了防止水从桶中荡出，可以加快或减慢走路的步频
C．在连续均匀的海浪冲击下，停在海面的小船上下振动，是共振现象
D．部队要便步通过桥梁，是为了防止桥梁发生共振而坍塌
E．较弱声音可振碎玻璃杯，是因为玻璃杯发生了共振
【答案】BDE
【解析】摆钟走时快了，说明摆钟的周期变小了，根据T＝2πeq \r(\f(L,g))可知增大摆长L可以增大摆钟的周期，A错误；挑水时为了防止水从桶中荡出，可以改变走路的步频，B正确；在连续均匀的海浪冲击下，停在海面的小船上下振动，是受迫振动，C错误；部队便步通过桥梁，不能产生较强的驱动力，就避免桥梁发生共振现象，故D正确；当声音频率等于玻璃杯频率时，杯子发生共振而破碎，E正确。
【变式训练2】如图所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆，其中A、B的摆长相等。当A摆振动的时候，通过张紧的绳子给B、C、D摆施加驱动力，使其余各摆做受迫振动。观察B、C、D摆的振动发现( )
A.C摆的频率最小B.D摆的周期最大
C.B摆的摆角最大D.B、C、D的摆角相同
【答案】 C
【解析】 A摆摆动从而带动其他3个单摆做受迫振动，受迫振动的频率等于驱动力的频率，故其他各摆振动周期与A摆相同，频率也相同，故A、B错误；受迫振动中，当固有频率等于驱动力频率时，出现共振现象，振幅达到最大，由于B摆的固有频率与A摆的频率相同，故B摆发生共振，振幅最大，故C正确，D错误。
【变式训练3】(多选)(2021·陕西第二次质检改编)下列关于机械振动的有关说法正确的是( )
A.简谐运动的回复力是按效果命名的力
B.振动图像描述的是振动质点的轨迹
C.受迫振动的频率等于驱动力的频率
D.当驱动力的频率等于受迫振动系统的固有频率时，振幅最大
【答案】 ACD
【解析】 做简谐运动的物体所受到的回复力是按力的作用效果命名的，故选项A正确；振动图像描述的是振动质点在不同时刻的位移，而不是其实际的运动轨迹，故选项B错误；物体在周期性驱动力作用下做受迫振动，受迫振动的频率等于驱动力的频率，与固有频率无关，当驱动力的频率等于受迫振动系统的固有频率时，发生共振，振幅达到最大，故选项C、D正确。
【知识点四】探究单摆周期与摆长之间的关系、用单摆测量重力加速度
1.实验目的
(1)练习使用秒表和刻度尺。
(2)探究影响单摆运动周期的因素。
(3)学会用单摆测定当地重力加速度。
2.实验原理
测摆长l和周期T，由T＝2πeq \r(\f(l,g))→g＝eq \f(4π2l,T2)。
3.实验器材
中心带有孔的小钢球、细线(长约1 m)、米尺、游标卡尺、秒表。
4.实验步骤
(1)做单摆
将细线穿过中心带有孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架上，让摆球自然下垂。
(2)测摆长
用米尺量出摆线长l′(精确到毫米)，用游标卡尺测出摆球直径D，则单摆的摆长l＝l′＋eq \f(D,2)。
(3)测周期
将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°)，然后释放小球，记下单摆摆动30次～50次的总时间，算出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。
(4)改变摆长，重做几次实验。
5.数据处理
(1)公式法：g＝eq \f(4π2l,T2)，算出重力加速度g的值，再算出g的平均值。
(2)图像法：作出l－T2图像求g值。
6.误差分析
7.注意事项
(1)摆线要选1 m左右，不要过长或过短。
(2)悬线长要待悬挂好球后再测，计算摆长时要将悬线长加上摆球半径。
(3)单摆要在竖直平面内摆动，不要形成圆锥摆。
(4)要从平衡位置开始计时，并数准全振动的次数。
【例1】 (2021·山东威海市模拟考试)在“用单摆测定重力加速度”的实验中：
(1)需要记录的数据有：小钢球的直径d、________、摆长L、30次全振动的总时间t和周期T；
(2)用标准游标卡尺测小钢球的直径如图1所示，则直径d为__________ mm；
图1
(3)如图2所示，某同学由测量数据作出L－T2图线，根据图线求出重力加速度g＝____________ m/s2(已知π2≈9.86，结果保留3位有效数字)。
图2
【答案】 (1)摆线长l (2)18.6 mm (3)9.66(9.60～9.70)
【解析】 (1)根据单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(L,g))知要测重力加速度，需要测量小钢球的直径d、摆线长l从而得到单摆的摆长L；还要测量30次全振动的总时间t，从而得到单摆的周期T。
(2)游标卡尺的主尺读数为18 mm，游标尺上第6个刻度和主尺上某一刻度对齐，所以游标读数为6×0.1 mm＝0.6 mm
所以最终读数为18 mm＋0.6 mm＝18.6 mm。
(3)根据单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(L,g))得L＝eq \f(g,4π2)T2
再根据L－T2图像的斜率为k＝eq \f(1.2－0.6,5－2.55)＝0.245
即eq \f(g,4π2)＝0.245
得g≈9.66(9.62～9.70都正确)。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是科学探究。
【变式训练1】(多选)(2021·湖北武汉市五月质检)在用单摆测量重力加速度的实验中，下列说法正确的是( )
A.尽量选择质量大、体积小的摆球
B.用刻度尺测量摆线的长度，将其作为单摆的摆长
C.为方便测量，可以让单摆的振幅尽可能大
D.释放摆球，当摆球经过平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间t，则单摆的周期T＝eq \f(t,50)
【答案】 AD
【解析】 尽量选择质量大、体积小的摆球，可以减小阻力使实验更准确，A正确；用刻度尺测量摆线的长度，用游标卡尺测出小球的直径算出半径，则线长加半径作为摆长，B错误；为了准确，单摆的振幅尽可能小，最大不超过5°，C错误；为了准确可以多测几个周期，比如释放摆球，当摆球经过平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间t，则单摆的周期T＝eq \f(t,50)，D正确。
【变式训练2】(2021·北京市东城区上学期期末)实验小组的同学用如图所示的装置做“用单摆测重力加速度”的实验。
(1)实验室有如下器材可供选用：
A.长约1 m的细线
B.长约1 m的橡皮绳
C.直径约2 cm的铁球
D.直径约2 cm的塑料球
E.米尺
F.时钟
G.停表
实验时需要从上述器材中选择：__________(填写器材前面的字母)。
(2)在挑选合适的器材制成单摆后他们开始实验，操作步骤如下：
①将单摆上端固定在铁架台上。
②测得摆线长度，作为单摆的摆长。
③在偏角较小的位置将小球由静止释放。
④记录小球完成n次全振动所用的总时间t，得到单摆振动周期T＝eq \f(t,n)。
⑤根据单摆周期公式计算重力加速度的大小。
其中有一处操作不妥当的是__________(填写操作步骤前面的序号)。
(3)发现(2)中操作步骤的不妥之处后，他们做了如下改进：让单摆在不同摆线长度的情况下做简谐运动，测量其中两次实验时摆线的长度l1、l2和对应的周期T1、T2，通过计算也能得到重力加速度大小的测量值。请你写出该测量值的表达式g＝__________。
(4)实验后同学们进行了反思。他们发现由单摆周期公式可知周期与摆角无关，而实验中却要求摆角较小。请你简要说明其中的原因_______________________
____________________________________________________________________。
【答案】 (1)ACEG (2)② (3)eq \f(4π2（l1－l2）,Teq \\al(2,1)－Teq \\al(2,2))
(4)T＝2πeq \r(\f(l,g))是单摆做简谐运动的周期公式，当摆角较小时才可以将单摆的运动视为简谐运动
【解析】 (1)实验时需要从上述器材中选择：A.长约1 m的细线；C.直径约2 cm的铁球； E.米尺； G.停表；故选ACEG。
(2)其中的第②步骤中应该测得摆线长度加上摆球的半径作为单摆的摆长。
(3)根据T＝2πeq \r(\f(l,g))可得T1＝2πeq \r(\f(l1,g))，T2＝2πeq \r(\f(l2,g))，联立解得g＝eq \f(4π2（l1－l2）,Teq \\al(2,1)－Teq \\al(2,2))。
(4)T＝2πeq \r(\f(l,g))是单摆做简谐运动的周期公式，当摆角较小时才可以将单摆的运动视为简谐运动。
三．讲模型思想-------简谐运动的两种模型
简谐运动的两种模型归纳
【例1】(多选)(2021·海南省新高考一模)如图所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为x＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10πt＋\f(π,2))) cm。下列说法正确的是( )
A.MN间距离为5 cm
B.振子的运动周期是0.2 s
C.t＝0时，振子位于N点
D.t＝0.05 s时，振子具有最大加速度
【答案】 BC
【解析】MN间距离为2A＝10 cm，选项A错误；因ω＝10π rad/s 可知振子的运动周期是T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,10π) s＝0.2 s，选项B正确；由x＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10πt＋\f(π,2))) cm可知t＝0时，x＝5 cm，即振子位于N点，选项C正确；由x＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10πt＋\f(π,2))) cm可知t＝0.05 s时x＝0，此时振子在O点，振子加速度为零，选项D错误。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是物理观念与科学思维。
【变式训练1】(2021·北京海淀区适应性练习)如图甲所示，弹簧振子在竖直方向做简谐运动。以其平衡位置为坐标原点、竖直向上为正方向建立坐标轴，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是( )
A.振子的振幅为4 cm
B.振子的振动周期为1 s
C.t＝1 s时，振子的速度为正的最大值
D.t＝1 s时，振子的加速度为正的最大值
【答案】 C
【解析】 由振动图像可知，该弹簧振子的振幅为2 cm，周期为2 s，t＝1 s时，振子正经过平衡位置沿y轴正方向运动，加速度为零，故C正确。
【变式训练2】(2021·湖北沙市中学考试)如图所示，一轻质弹簧上端固定在天花板上，下端连接一物块，物块沿竖直方向以O点为平衡位置，在C、D两点之间做周期为T的简谐运动.已知在t1时刻物块的速度大小为v、方向向下，动能为Ek.下列说法正确的是( )
A.如果在t2时刻物块的速度大小也为v，方向向下，则t2－t1的最小值小于eq \f(T,2)
B.如果在t2时刻物块的动能也为Ek，则t2－t1的最小值为eq \f(T,2)
C.当物块通过O点时，其加速度最小
D.物块在C、D两点的加速度相同
【答案】AC
【解析】如果在t1时刻物块位于O点上方且向下运动，t2时刻物块位于O点下方且与t1时刻物块速度相同，则t2－t1的最小值小于eq \f(T,2)，选项A正确；如果在t2时刻物块的动能也为Ek，则t2时刻物块速度与t1时刻大小相等，方向可能相同，也可能相反，t2－t1的最小值小于eq \f(T,2)，选项B错误；题图中O点是平衡位置，物块通过O点时位移最小，根据a＝－eq \f(kx,m)知，其加速度最小，选项C正确；C、D两点关于平衡位置对称，加速度等大反向，选项D错误.
【变式训练3】 (2021·北京市昌平区二模练习)如图所示，光滑直杆上弹簧连接的小球以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。以O点为原点，选择由O指向B为正方向，建立Ox坐标轴。小球经过B点时开始计时，经过0.5 s首次到达A点。则小球在第一个周期内的振动图像为 ( )
【答案】 A
【解析】 小球经过B点时开始计时，即t＝0时小球的位移为正向最大，经过0.5 s首次到达A点，位移为负向最大，且周期为T＝1 s。故A项图像正确。
【例2】 [2020·全国卷Ⅱ，34(1)]用一个摆长为80.0 cm的单摆做实验，要求摆动的最大角度小于5°，则开始时将摆球拉离平衡位置的距离应不超过________cm(保留1位小数)。(提示：单摆被拉开小角度的情况下，所求的距离约等于摆球沿圆弧移动的路程。)
某同学想设计一个新单摆，要求新单摆摆动10个周期的时间与原单摆摆动11个周期的时间相等。新单摆的摆长应该取为________cm。
【答案】 6.9 96.8
【解析】 由弧长公式可知l＝θR，又结合题意所求的距离近似等于弧长，则d＝eq \f(5°,360°)×2π×80.0 cm＝6.98 cm，结合题中保留1位小数和摆动最大角度小于5°可知不能填7.0，应填6.9；由单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))可知，单摆的周期与摆长的平方根成正比，即T∝eq \r(l)，又由题意可知旧单摆周期与新单摆周期的比为10∶11，则eq \f(10,11)＝eq \r(\f(80.0 cm,l′))，解得l′＝96.8 cm。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是物理观念与科学思维。
【必备知识】1.单摆的受力特征
(1)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F回＝－mgsin θ＝－eq \f(mg,l)x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反。
(2)向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力充当向心力，F向＝FT－mgcs θ。
(3)两点说明
①当摆球在最高点时，F向＝eq \f(mv2,l)＝0，FT＝mgcs θ。
②当摆球在最低点时，F向＝meq \f(veq \\al(2,max),l)，F向最大，FT＝mg＋meq \f(veq \\al(2,max),l)。
2.周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))的两点说明
(1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。
(2)g为当地重力加速度。
【变式训练1】(多选)如图所示是甲、乙两个单摆做简谐运动的图象，则下列说法中正确的是( )
A.甲、乙两摆的振幅之比为2∶1
B.t＝2 s时，甲摆的重力势能最小，乙摆的动能为零
C.甲、乙两摆的摆长之比为4∶1
D.甲、乙两摆摆球在最低点时摆线的拉力大小一定相等
【答案】 AB
【解析】由题图知甲、乙两摆的振幅分别为2 cm、1 cm，故A正确；t＝2 s时，甲摆在平衡位置处，重力势能最小，乙摆在正的最大位移处，动能为零，B正确；甲、乙两摆的周期之比为1∶2，由单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))，得到甲、乙两摆的摆长之比为1∶4，C错误；由题目中的条件不能比较甲、乙两摆摆球在最低点时摆线的拉力大小，D错误.
【变式训练2】(多选)(2021·河南九师联盟质检)关于单摆，下列说法正确的是( )
A.将单摆由沈阳移至广州，单摆周期变大
B.将单摆的摆角从4°改为2°，单摆的周期变小
C.当单摆的摆球运动到平衡位置时，摆球的速度最大
D.当单摆的摆球运动到平衡位置时，受到的合力为零
【答案】 AC
【解析】将单摆由沈阳移至广州，因重力加速度减小，根据T＝2πeq \r(\f(l,g))可知，单摆周期变大，选项A正确；单摆的周期与摆角无关，将单摆的摆角从4°改为2°，单摆的周期不变，选项B错误；当单摆的摆球运动到平衡位置时，摆球的速度最大，有向心加速度，则受到的合力不为零，选项C正确，D错误.
振动类型
自由振动
受迫振动
共振
受力情况
仅受回复力作用
受驱动力作用
受驱动力作用
振动周期或频率
由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0
由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱
T驱＝T0或f驱＝f0
振动能量
振动物体的机械能不变
由产生驱动力的物体提供
振动物体获得的能量最大
常见例子
弹簧振子或单摆(摆角θ≤5°)
机械工作时底座发生的振动
共振筛、声音的共鸣等
驱动力频率/Hz
30
40
50
60
70
80
受迫振动振幅/cm
10.2
16.8
27.2
28.1
16.5
8.3
产生原因
减小方法
偶然误差
测量时间(单摆周期)及摆长时产生误差
①多次测量求平均值
②计时从摆球经过平衡位置时开始
系统误差
主要来源于单摆模型本身
①摆球要选体积小，密度大的
②最大摆角要小于5°
模型
弹簧振子
单摆
示意图
简谐运
动条件
(1)弹簧质量可忽略
(2)无摩擦等阻力
(3)在弹簧弹性限度内
(1)摆线为不可伸缩的轻细线
(2)无空气阻力等
(3)最大摆角小于等于5°
回复力
弹簧的弹力提供
摆球重力沿与摆线垂直方向(即切向)的分力
平衡位置
弹簧处于原长处
最低点
周期
与振幅无关
T＝2π eq \r(\f(l,g))
能量
转化
弹性势能与动能的相互转化，系统的机械能守恒
重力势能与动能的相互转化，机械能守恒