2023安阳高一上学期1月期末考试数学试题PDF版含答案

大联考

2022—2023学年(上)高一年级期末考试

数学 · 答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1.答案 A

命题意图 本题考查集合的表示与运算.

解析 由题意可得CgB={xlx<2或x≥3},则An(CgB)={xl- 1≤x<2} .

2.答案 B

命题意图 本题考查含量词的命题的否定.

解析 命题“3x ∈(0,+o),sinx=1+x” 的否定是“Vx ∈(0,+~),sinx≠1+x” .

3.答案 C

命题意图 本题考查三角函数的图象变换.

解析  因为 ,所以只需将y=sin 3x的图象上的所有点

向左平移个单位长度即可得到函数 的图象.

4.答案 B

命题意图 本题考查基本不等式的应用.

解析  因为α+b=4,所 ,当且

仅当a=2,b=2时，等号成立，故 的最小值为1.

5.答案 A

命题意图 本题考查函数的单调区间.

解析由x²-2x-3>0,得x<- 1或x>3,设u=x²-2x-3,则当x∈(- α,- 1)时，u关于x单调递减，当x∈

(3,+o)时，u关于x单调递增，又因为y=lnu单调递增，可知f(x)的单调递减区间为(-~,- 1).

6.答案 D

命题意图 本题考查同角三角函数的基本关系.全科免费下载公众号-《高中僧课堂》

解析  由题意得 ,,所以tan  α=

,故

7.答案 C

命题意图 本题考查函数图象.

解析 当a>1时，y=a*为增函数，g(x)=x²-2ax的图象的对称轴为直线x=a>1,A错误，C正确，当O<a<

1时，y=a*为减函数，g(x)=x² -2ax的图象的对称轴为直线0<x=a<1,B错误，D错误.

8.答案  D

命题意图 本题考查分段函数的图象，以及图象交点问题.

解析 如图，作函数f(x)的大致图象(实线),平移直线y=k-x,当 时，直线 与曲线y=

x²+2x+2(x≤0)相切；当k=0时，直线y=-x经过点(0,0),且与曲线y=x²+2x+2(x≤0)有2个不同的交 点；当k=2时，直线y=2-x经过点(0,2),且与f(x)的图象有3个不同的交点. 由图分析可知，当k∈(0,2)

时，f(x)的图象与直线y=k-x有3个不同的交点.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.答案  ACD

命题意图 本题考查充分条件与必要条件的判断.

解析 对于A,因为偶数是整数中的一部分，故“x为偶数”是“x为整数”的充分条件，正确；

对于B,若b<a<0,推不出a²>b²,故“a²>b2”不是“a>b”的必要条件，错误；

对于C,若m>n>0, 因为y=ln0 . 2<0,所以mln0 . 2<nln0 . 2, 即ln0 . 2"<ln0 . 2",故“m>n>0”是“In0 . 2"<

ln 0.2””的充分条件，正确；

对于D,a³ -b³=e⁶-e“等价于a³+e⁴=b³+e6,易知函数f(x)=x³+e*在R上单调递增，故当且仅当a=b时

有f(a)=f(b), 即a³ - b³=e⁶ - e“,正确.

10.答案  BD

命题意图  本题考查三角函数的概念及诱导公式、三角恒等变换的应用.

解析  由 条 件 可 知 ,所以cos( - α)=  cos   , 故 A 错 误 ；

,故B正确；c ,故C错误； -2 √2,故D正确.

11.答案 AD

命题意图 本题考查三角函数的图象与性质.

解析f(x)= - 2sin²ox+sin2wx+1=cos2wx+sin ,因为f(x)的最小正周期

为π,所以w=1,得到

对于A,令 ,k ∈Z,得 ,h ∈Z, 当k=3时 ,A正确；

对于B,令                            ∈Z,得其单调递增区间为,所以f(x)在

上单调递增， ,故B错误；

对于C,令f(x)=0,得 ,得 ,h ∈Z,若 ,则x可取9 ,即有3

个零点，C错误；

对于D,由 , 得, ,所以f(x) ∈[ - 1, √ 2],D

正确.

12.答案 BC

命题意图 本题考查函数的性质.

解析 ,对任意x

, g(x)为奇函数， g(x)ma+g(x)mm=0,.M+N=g(x)max+

..M+N与a有关，不是定值，故A错误；因为,故

C正确； M - N=g(x)m - g(x)mn=2g(x)ma为定值，故B正确；

,故D错误 .

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.答案 6

命题意图 本题考查分段函数求值.

解析  log26 ∈(2,3),f(log26)=6.

14.答案 2

命题意图 本题考查函数的性质.

解析 易知f(x)为奇函数，且在R上单调递增，由f(a)+f(a-4)=0,可得a=4-a,即a=2.

15.答案

命题意图 本题考查差角的正弦公式的应用.

解析f(x)=2(sin xcos φ -cos xsinp)+4sin xcosφ=6sin xcosφ -2cos xsinφ= √ (6cosp)²+(-2sin p)² · sin(x+a)=2 √ 1+8cos²psin(x+α),其中 ,所以f(x)mm=2 √ 1+8cos²p=2 √ 3,得cosp=

,则φ的最小值为

16.答案 

命题意图 本题考查函数的综合问题.

解析 若a<b≤0,则f(x)在[a,b]上单调递减，所以所以

所

( a + b ) ,所 以a + b = - 2 , b = - 2 - a ,所 以

所以a<- 2-a≤0,所以a∈(- 2,- 1),所以

,又因为a<b≤0,

当O≤a<b时，f(x)在[a,b]上单调递增，所

则关于x的方程有两个不同的非负根，所以 解

得 综上可知

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.命题意图 本题考查三角恒等变换的应用.

解析  ( I ) 由 ,得 ,…………………………………  ( 3 分 )

. ………………………………………………………………………………………………… (5分)

(Ⅱ)sin    α(,………………………………………………  ( 8 分 )

将t代入上式，得sin α  ……………………………………… (10分)

18.命题意图 本题考查函数零点的概念以及不等式的解法.

解析 (I)因为2与- 1是函数f(x)=x³+ax+b的两个零点，

所以 ………………………………………………………………………………  ( 2 分 )

解得a= - 3,b= - 2,所以f(x)=x³ - 3x - 2, … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … (4分)

所以f(1)=1³ -3-2=-4. ………………………………………………………………………………… (5分)

( Ⅱ ) 由( I )得a x ² - b x + 1 = - 3 x ² + 2 x + 1 = ( - 3 x - 1 ) ( x - 1 ) ,

所以x( - 3x - 1)(x - 1)>0, 即x(3x+1)(x - 1)<0 . … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …     ( 7 分 )

若x>0,则(3x+1)(x - 1)<0,  ,所以0<x<1; …………………………………………… ( 9 分 )

若x<0,则(3x+1)(x- 1)>0,得1,所以 .……………………………………  (11分)

综上可得原不等式的解集为.……………………………………………………   (12分)

19.命题意图 本题考查函数的单调性，指数和对数函数的性质.

解析 (I)f(x)在(0,+o)上单调递减. ………………………………………………………………… ( 1 分 )

证明：任取O<xi<x2,

………………………

(2分)

因为0<x1<x2,所以e¹l - e²<0,e³1 - 1>0,e*2 - 1>0,

所以f(x2)-f(x1)<0, … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …   (4分)

所以f(x)在(0,+o)上单调递减. ………………………………………………………………………… (5分)

(Ⅱ) 当x<0时， e⁴>0,e⁴ - 1<0,所以f(x)<0;

当x>0时，.………………………………………………………………… ( 7 分 )

因为 ,所以 . ………………………………………………………………… (8分)

因为0< √ 3<2<log310,由(I)知f(x)在(0,+c)上单调递减，

所以f(J3)>f(log310)>1, 即a>c>1 .     ………………………………………………………………… (10分)

因为f(- 1)<0,所以0<d=2- 1)<1 . ………………………………………………………………… (11分)

综上可得：b<d<c<a  …………………………………………………………………………………… (12分)

20.命题意图 本题考查三角函数的图象与性质.

解析  (I)设f(x)的最小正周期为T.

由题图得A, ·“. ……………………………………………………… (2分)

.,结合图象可k ∈Z,

.*. ,h ∈Z,又O<φ<T, . .  

…………………………………………………………………………………… (4分)

,h ∈Z,解得 ,k ∈Z,

:.f(x)的单调递增区间为 ……………………………………………………… (6分)

(Ⅱ)将f(x)的图象向右平单位长度得到 的图象，

………………………………………………………………………………………………………………… (8分)

再将 图象上的所有点的横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变)

得到函数 的图象. …………………………………………………………………… (9分)

∵方程g(x)=a在 上有两个不等实根， .y=a与y=g(x)的图象在 上有两个不同的

交点.………………………………………………………………………………………………………… (10分)

∵函数g(x)在上单调递减，在 上单调递增，且

:.-2<a≤√2,

即a的取值范围是(-2, √2). …………………………………………………………………………… (12分)

(其他等价的解析式同样给分)

(Ⅱ)如图所示.

由条件知，甲从点A转到点C经过的时间为28 min,所以从A点转到最高点B需要的时间为14 min,

令y= - x,得f(x)+f( - x)=f(0)=0,

所以f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数. ……………………………………………………………… (2分)

任取xi,X2 ∈R,且xi<x2,则xi - x2<0,

因为当x<0时， f(x)<0,所以f(xi - x2)<0, 即f(x)+f( - x2)<0,

因为f(x)为奇函数，所以f( - x2)= - f(x2),则f(x₁) - f(x2)<0, 即f(x₁)<f(x2),

所以f(x)在R上单调递增.………………………………………………………………………………… (4分)

所以f(x)在[-4,2]上的最大值为f(2),最小值为f(-4).

因为f(1)=3,令x=y=1,得f(2)=f(1)+f(1)=6,      …………………………………………………… (5分)

因为f(x)为奇函数，所以f(-4)=-f(4)=-f(2+2)=- [f(2)+f(2)]=- 12.

--.6   

所以f(x)在[-4,2]上的最大值和最小值分别为6和-12. …………………………………………… (6分)

(Ⅱ)由(I)知f(x)为奇函数，所以f(-1)=-f(1)=-3.

由f(x²)>f(ax) - 3得f(x²)>f(ax)+f( - 1), 即f(x²)>f(ax - 1), … … … … … … … … … … … … … … (7分)

又f(x)在R上单调递增，所以x²>ax-1,即x²-ax+1>0. …………………………………………… (8分)

因为不存在x∈[1,3],使得f(x²)>f(ax)-3,所以Vx∈[1,3],x²- αx+1≤0.……………………… (9分)

因为抛物线y=x²-ax+1开口向上，所以   …………………………………………… (10分)

解得 即

所以a的取值范围是.………………………………………………………………………… (12分)