2023陕西省西北工业大学附中高二上学期1月期末考试数学试题含答案

西工大附中2022-2023学年上学期1月期末

高二数学

一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若一数列为1，，，，…，则是这个数列的（    ）．

A．不在此数列中 B．第13项 C．第14项 D．第15项

2．若过点的直线l与圆C：相交于A，B两点，则的最小值（    ）

A．2 B．

C．4 D．

3．不等式成立的一个必要不充分条件是（    ）

A． B．

C． D．

4．如图，在平行六面体中，与的交点为，若，则（    ）

A． B． C． D．

5．已知椭圆的短轴长为8，且一个焦点是圆的圆心，则该椭圆的左顶点为（    ）

A． B． C． D．

6．设等差数列的前n项和为，已知

A．35 B．30 C．25 D．15

7．已知抛物线与直线相交于A、B两点，其中A点的坐标是(1，2)．如果抛物线的焦点为F，那么等于（ ）

A．1 B．6 C． D．7

8．已知点P是双曲线E：的右支上一点，，为双曲线E的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的个数是（  ）

①点P的横坐标为；②的周长为；③小于；④的内切圆半径为．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．下列说法正确的是（    ）

A．点关于直线的对称点为

B．已知，两点，则直线的方程为

C．过点作圆的切线，则切线方程为

D．经过点且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为或

10．中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，，下列选项正确的是（    ）

A．

B．若，则有两解

C．若为锐角三角形，则b取值范围是

D．若D为边上的中点，则的最大值为

11．已知等差数列为递增数列，，，该数列的前n项和为，则下列说法正确的为（    ）

A． B．或最小 C．公差 D．

12．已知双曲线的上､下焦点分别为，，点P在双曲线C的上支上，点，则下列说法正确的有（    ）

A．双曲线C的离心率为

B．的最小值为8

C．周长的最小值为

D．若内切圆的圆心为M，则M点的纵坐标为3

三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分

13．若直线l与轴交点的横坐标为，倾斜角为，则直线l的方程为______．

14．设数列的前项和为，，则数列的通项公式为______．

15．从点(2,3)射出的光线沿与直线x－2y＝0平行的直线射到y轴上，则经y轴反射的光线所在的直线方程为_____________．

16．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F．

的坐标为______；

若M是抛物线上的动点，则的最大值为______．

四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．在平面直角坐标系中，已知圆及点，.

(1)若直线平行于，与圆相交于，两点，且，求直线的方程；

(2)对于线段上的任意一点，若在以点为圆心的圆上都存在不同的两点，，使得点是线段的中点，求圆的半径的取值范围.

18．已知等比数列的前n项和为，且，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和.

19．棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，G在棱CD上，且CGCD．

（1）证明：EF⊥B1C；

（2）求cos，．

20．如图，已知椭圆，椭圆的长轴长为8，离心率为．

求椭圆方程；

椭圆内接四边形ABCD的对角线交于原点，且，求四边形ABCD周长的最大值与最小值．

21．等差数列的前项和为，已知，为整数，且.

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

22．已知抛物线，为其焦点，过点的直线交抛物线于两点，过点作轴的垂线，交直线于点，如图所示.

(1)求点的轨迹的方程；

(2)直线是抛物线的不与轴重合的切线，切点为，与直线交于点，求证：以线段为直径的圆过点.

参考答案

1．D

根据给定的4项，写出数列的一个通项公式即可计算作答.

因，因此符合题意的一个通项公式为，

由解得：，

所以是这个数列的第15项.

故选：D

2．D

数形结合得到当圆心与的连线和直线l垂直时，最小，再使用垂径定理求出最小值.

点在圆的内部，当圆心与的连线和直线l垂直时，最小，，圆半径，由垂径定理得：

故选：D

3．C

利用必要条件和充分条件的定义判断.

不等式，解得，

所以不等式成立的一个必要不充分条件是，

故选：C

4．C

由已知，根据题意，将利用线性运算表示成的关系，然后利用待定系数法即可求解出.全科免费下载公众号《高中僧课堂》

由已知，在平行六面体中，与的交点为，

所以

所以.

故选：C.

5．D

根据椭圆的一个焦点是圆的圆心，求得c，再根据椭圆的短轴长为8求得b即可.

圆的圆心是，

所以椭圆的一个焦点是，即c=3，

又椭圆的短轴长为8，即b=4，

所以椭圆的长半轴长为，

所以椭圆的左顶点为，

故选：D

6．B

试题分析：∵数列为等差数列，∴成等差数列，即5,15-5，成等差数列，

∴，即．

考点：等差数列的性质．

7．D

试题分析：把点（1，2），代入抛物线和直线方程，分别求得p=2，a=2

∴抛物线方程为，直线方程为2x+y-4=0，联立消去y整理得 ，解得x和1或4，

∵A的横坐标为1，∴B点横坐标为4，根据抛物线定义可知|FA|+|FB|=+1++1=7，故选D．.

考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程；抛物线的简单性质．

8．C

设的内心为I，连接IP，，，求得双曲线的a，b，c，不妨设，，，运用三角形的面积公式求得P的坐标，运用两直线的夹角公式可得，由两点的距离公式，可得的周长，设的内切圆半径为r，运用三角形的面积公式和等积法，即可计算r．

设的内心为I，连接IP，，，

双曲线E：中的，，，

不妨设，，，

由的面积为20，可得，即，

由，可得，故①正确；

由，且，，

可得，，

则，

则，故③正确；

由，

则的周长为，故②正确；

设的内切圆半径为r，

可得，

可得，解得，故④不正确．

故选：C．

（1）坐标法是解析几何的基本方法；

（2）灵活运用定义在解析几何中是常见的思路；

（3）解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．

9．AD

对于A选项，根据关于对称的点的坐标关系判断即可；对于B选项，已知，两点，且时满足；对于C选项，根据圆心到直线的距离解得直线斜率或，进而判断；对于D选项，分直线过坐标原点和不过坐标原点两种情况求解即可.

解：对于A选项，根据关于对称的点的坐标关系得点关于直线的对称点为，故正确；

对于B选项，已知，两点，且时，直线的方程为，故错误；

对于C选项，过点作圆的切线，直线斜率一定存在，故设切线方程为，即，进而圆心（原点）到直线的距离为，解得或，故切线方程为或，故错误；

对于D选项，当直线过坐标原点时，直线方程为，当直线不过坐标原点时，设方程为，待定系数得，所以方程为，故经过点且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为或，故正确.

故选：AD

10．BCD

由数量积的定义及面积公式求得角，然后根据三角形的条件求解判断各ABC选项，利用，平方后应用基本不等式求得最大值，判断D．

因为，所以，，又，所以，A错；

若，则，三角形有两解，B正确；

若为锐角三角形，则，，所以，，

，，C正确；

若D为边上的中点，则，，

又，，

由基本不等式得，，当且仅当时等号成立，

所以，所以，当且仅当时等号成立，D正确．

故选：BCD．

关键点点睛：本题考查解三角形的应用，掌握正弦定理、余弦定理、三角形面积公式是解题关键．在用正弦定理解三角形时可能会出现两解的情形，实际上不一定要死记结论，可以按正常情况求得，然后根据的大小关系判断角是否有两种情况即可．

11．ABD

等差数列，用基本量代换和性质，对四个选项一一验证：

用，整理计算后对AB验证；

直接计算出公差，验证C；

借助于通项公式，验证D.

根据题意，可得，从而可得该数列的前6项为负数，第7项为0，从第8项开始为正数，因此选项A、B正确；

对于选项C，，，公差，因此选项C错误；

对于选项D，因为，所以，因此选项D正确.

故选：ABD．

等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质．

12．BCD

由双曲线的标准方程得出，然后求出离心率判断A，结合双曲线的性质判断B，然后结合双曲线的定义判断C,D.

对于A：，∴A错误；

对于B：的最小值为，B正确；

对于C：如图，

的周长（当且仅当Q，P，三点共线时取等号），C正确；

对于D：如图，

设的内切圆分别与，，切于点A，B，D，则，，，∴.又，∴，∴，∴M点的纵坐标为3，D正确.

故选：BCD.

13．

由点斜式求直线方程即可.

由题意，，且直线过点，

所以直线方程为，即.

故答案为：

14．

先求出，再求出，综合即得数列的通项公式.

当时，；

当时，，适合.

所以数列的通项公式为.

故答案为：

本题主要考查利用和的函数关系求数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

15．x＋2y－4＝0

根据平行直线的斜率相等，利用点斜式写出入射光线的方程，求得光线与y轴的交点，然后结合点(2,3)关于y轴对称点的坐标，即可确定反射光线的直线方程.

由题意得，射出的光线方程为，即x−2y+4=0，与y轴交点为(0,2)，

又(2,3)关于y轴对称点为(−2,3)，

∴反射光线所在直线过(0,2)，(−2,3)，

故方程为，即x+2y−4=0.

故答案：x+2y−4=0.

本题主要考查直线方程的求解，反射的性质及其应用，属于中等题.

16．         

由抛物线的焦点坐标公式可得所求；

求得抛物线的准线方程，设，即有，可得，再令，转化为t的函数，配方即可得到所求最大值．

抛物线的焦点F的坐标为，

若M是抛物线上的动点，设，即有，

抛物线的准线方程为，可得，

即有，

可令，可得，

，

当即时，上式取得最大值．

故答案为，．

本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查转化思想和换元法，以及化简运算能力，属于中档题．

17．(1)或；

(2).

（1）由已知设直线的方程为，由及弦长公式求得得到直线方程；

（2）求出的轨迹是一个圆，由条件知此圆与圆B要有公共点，列出半径与满足的不等式，视为对任意恒成求得的范围，同时注意点这一条件的制约，最终求得的范围.

（1）圆的标准方程为，所以，半径为2，其中，因为平行于，所以设直线的方程为，

则圆心到直线的距离，因为，

解得或，所以直线的方程为或；

（2）设点，，，由于点是线段的中点，则，又在半径为的圆上，

所以，即，

所以的轨迹为是以为圆心，为半径的圆，

 又在半径为的圆上，

所以两圆有公共点，所以对恒成立，

又，所以且，解得，

又在圆外，所以恒成立，

所以，即，所以圆的半径的取值范围为.

18．(1)；

(2).

（1）先根据得到，然后利用与之间的关系求得数列的通项公式，注意对的验证；

（2）由（1）得到，然后利用分组求和法即可得到.

(1)

当时，，解得，

即，

当时，，

易知满足上式， 所以.

(2)

由（1）可知，，

易知等比数列的前n项和为，

等差数列数列的前n项和为，

所以数列的前n项和.

19．(1)证明见解析 (2)

（1）可分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，从而得出，0，，，1，，，2，，，2，，，2，，进而可求出的坐标，只需求出即可；

（2）根据即可求出点的坐标，从而得出向量的坐标，根据即可求出的值．

分别以三直线DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则：E（0，0，1），F（1，1，0），B1（2，2，2），C（0，2，0），C1（0，2，2），

（1）证明：∵，

∴，

∴，

∴EF⊥B1C；

（2）∵，

∴，

∴，

∴，，

∴．

本题主要考查了利用坐标解决向量问题和线线垂直问题的方法，向量夹角的余弦公式，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于中档题．

20．（1）； （2）四边形ABCD的周长的最小值为，最大值为20．.

（1）由题意可得a＝4，运用离心率公式可得c，再由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；

（2）由题意的对称性可得四边形ABCD为平行四边形，运用向量的数量积的性质，可得22，即有四边形ABCD为菱形，即有AC⊥BD，讨论直线AC的斜率为0，可得最大值；不为0，设出直线AC的方程为y＝kx，（k＞0），则BD的方程为yx，代入椭圆方程，求得A，D的坐标，运用两点的距离公式，化简整理，由二次函数的最值求法，可得最小值．

由题意可得，即，

由，可得，，

即有椭圆的方程为；

由题意的对称性可得四边形ABCD为平行四边形，

由，可得，

即，

可得，即有四边形ABCD为菱形，

即有，

设直线AC的方程为，，则BD的方程为，

代入椭圆方程可得，

可设，

同理可得，

即有

，

令，

即有，

由，

即有，即时，取得最小值，且为；

又当AC的斜率为0时，BD为短轴，即有ABCD的周长取得最大值，且为20．

综上可得四边形ABCD的周长的最小值为，最大值为20．

熟练掌握椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为联立方程求交点、数量积的运算性质、二次函数的最值求法等是解题的关键．

21．(1)

(2)

（1）根据题意得公差为整数，且，，分析求出即可；（2），再利用裂项相消法求和即可.

（1）由，为整数知，等差数列的公差为整数.又，故，.于是，，解得，因此，故数列的通项公式为.

（2），于是.

22．(1)

(2)证明见解析

（1）设直线方程为，与抛物线联立得到，进而得到，代入即可求出点的轨迹的方程；

（2）设直线的方程为：，与抛物线联立，由与抛物线相切，即 推得，再通过联立与求得，推导即可.

（1）

依题意可得，直线的斜率存在，故设其方程为：，设点，动点，则，

所以，，

由 ，消去得：，因此，

又由，得，即点的轨迹方程为.

（2）

由题意知直线的斜率存在，设其方程为：，

由 ，消去得：，因此，

因为与抛物线相切，所以，即，代入上式，得，即，故，所以，故，

又由得到，即，

所以，

所以，因此以线段为直径的圆过点.