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高中物理高考 第2讲 机械波
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这是一份高中物理高考 第2讲 机械波，共43页。学案主要包含了堵点疏通，对点激活等内容，欢迎下载使用。
第2讲 机械波
知识点 机械波 横波和纵波 Ⅰ
1．机械波的形成和传播
(1)产生条件
①有波源；
②有介质，如空气、水、绳子等。
(2)传播特点
①传播振动形式、能量和信息；
②介质中质点不随波迁移；
③介质中各质点振动频率、起振方向都与波源相同。
2．机械波的分类
分类
质点振动方向和波
的传播方向的关系
形状
举例
横波
垂直
凹凸相间；有波峰、波谷
绳波等
纵波
在同一条直线上
疏密相间；有密部、疏部
弹簧波、声波等
知识点 机械波的图像 Ⅱ
1．坐标轴：横坐标x表示在波的传播方向上各质点的平衡位置，纵坐标y表示某一时刻各质点偏离平衡位置的位移。
2．意义：表示介质中的“各个质点”在“某一时刻”的位移。
3．图像(以简谐波为例)
4．应用
(1)可直接读取振幅A、波长λ，以及该时刻各质点偏离平衡位置的位移。
(2)可确定该时刻各质点加速度的方向，并能比较该时刻不同质点速度或加速度的大小。
(3)可结合波的传播方向确定各质点的振动方向，或结合某个质点的振动方向确定波的传播方向。
知识点 波速、波长、频率(周期)及其关系 Ⅰ
1．波长λ：在波的传播方向上，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离。
2．波速v：波在介质中的传播速度，由介质本身的性质决定。
3．频率f：由波源决定，等于波源的“各个质点”；与周期的关系为f＝。
4．波长、波速、频率和周期的关系：v＝fλ＝。
知识点 波的反射、折射 Ⅰ
1．理论和实践证明，水波、声波等一切波都会发生反射和折射现象。
(1)声波、水波等一切波遇到挡板时会发生反射。
(2)与光的折射类似，机械波从一种介质向另一种介质传播时，在交界面处将发生折射。
2．波的入射方向、反射方向、折射方向都可以用一条射线表示，分别叫作：入射线、反射线、折射线。
3．波的反射规律：反射线、法线与入射线在同一平面内，反射线与入射线分居法线两侧，反射角等于入射角。
知识点 波的干涉和衍射 Ⅰ
1．波的独立传播原理
两列波相遇后彼此穿过，仍然保持各自的运动特征，即各自的波长、频率等保持不变，继续传播，就像没有跟另一列波相遇一样。
2．波的叠加
几列波相遇时能够保持各自的运动特征，即各自的波长、频率等保持不变，继续传播，在它们重叠的区域里，介质的质点同时参与这几列波引起的振动，质点的位移(速度、加速度)等于这几列波单独传播时引起的位移(速度、加速度)的矢量和。
3．波的干涉和衍射的比较
内容
波的衍射
波的干涉
定义
波可以绕过障碍物继续传播的现象
频率相同、相位差恒定、振动方向相同的两列波叠加时，某些区域的振动总是加强、某些区域的振动总是减弱的现象
现象
波偏离直线而传播到直线以外的空间
两列波叠加区域形成相互间隔的稳定的振动加强区和振动减弱区，产生稳定的干涉图样
条件
明显发生的条件：缝、孔的宽度或障碍物的尺寸跟波长相差不多，或者比波长更小
充分条件：两列波的频率相同，相位差恒定，振动方向相同
相同点
干涉和衍射是波特有的现象
知识点 多普勒效应 Ⅰ
1．定义：波源与观察者相互靠近或者相互远离时，观察者接收到的波的频率发生变化的现象叫作多普勒效应。
2．规律：波源的频率不变，只是观测到的波的频率发生变化。如果二者相互靠近，观测到的频率变大；如果二者相互远离，观测到的频率变小。
3．应用：利用声波的多普勒效应可以测定车辆行驶的速度；利用光波的多普勒效应可以判断遥远天体相对地球的运行速度。
一 堵点疏通
1．在水平方向传播的波为横波。( )
2．在机械波中各质点不随波的传播而迁移。( )
3．通过波的图像可以找出任一质点在任意时刻的位移。( )
4．机械波在传播过程中，各质点振动的周期、起振方向都相同。( )
5．机械波在一个周期内传播的距离是振幅的4倍。( )
6．波速表示介质中质点振动的快慢。( )
7．两列波在介质中叠加，一定产生干涉现象。( )
8．一切波都能发生衍射现象。( )
9．多普勒效应说明波源的频率发生变化。( )
10．机械波在介质中传播的速度由介质本身决定。( )
答案 1.× 2.√ 3.× 4.√ 5.× 6.× 7.×
8．√ 9.× 10.√
二 对点激活
1. (人教版选择性必修第一册·P65·T2改编)(多选)简谐横波某时刻的波形如图所示。P为介质中的一个质点，波沿x轴的正方向传播。以下说法正确的是( )
A．质点P此时刻的速度沿x轴的正方向
B．质点P此时刻的加速度沿y轴的正方向
C．再过半个周期时，质点P的位移为负值
D．经过一个周期，质点P通过的路程为4a
答案 CD
解析 波沿x轴正方向传播，由同侧法知，P此刻的速度沿y轴正方向，故A错误；P此刻的加速度沿y轴负方向，故B错误；再经过半个周期，质点P的位移为负值，故C正确；经过一个周期，质点P通过的路程为4a，故D正确。
2．(人教版选择性必修第一册·P65·T4改编)一列横波在t＝0时刻的波形如图甲所示，图乙表示介质中某质点的振动图像，若波沿x轴的正方向传播，则图乙为哪点的振动图像( )
A．K点 B.L点
C.M点 D.N点
答案 B
解析 由题图乙知t＝0时刻该点位移为零，所以排除K、M两点，t＝T时刻该点位移为正的最大值，所以t＝0时刻，该点的振动方向向上，波沿x轴正方向传播，由同侧法知L点振动方向向上，故B正确。
3．(2020·辽宁省部分重点中学协作体模拟改编)(多选)如图所示为一列简谐横波在t0时刻的波形图，已知波速为0.2 m/s，以下说法正确的是( )
A．波源的振动周期为0.6 s
B．经过0.1 s，质点a通过的路程为10 cm
C．经过0.1 s，波沿传播方向前进2 cm
D．若质点a比质点b先回到平衡位置，则波沿x轴负方向传播
答案 CD
解析 由图知，波长λ＝8 cm＝0.08 m，由v＝得，该波的周期T＝＝0.4 s，故A错误；t＝0.1 s＝，由于t0时刻质点a不在平衡位置和最大位移处，所以经过0.1 s，质点a通过的路程不是一个振幅10 cm，故B错误；由公式s＝vt可得s＝0.2×0.1 m＝0.02 m＝2 cm，故C正确；若质点a比质点b先回到平衡位置，说明t0时刻质点a向上运动，由波形平移法知波沿x轴负方向传播，故D正确。
4．(多选)以下关于波的衍射的说法，正确的是( )
A．波遇到障碍物时，一定会发生明显的衍射现象
B．当障碍物的尺寸比波长大得多时，会发生明显的衍射现象
C．当孔的大小比波长小时，会发生明显的衍射现象
D．通常讲话产生的声波，经过尺寸为1 m左右的障碍物时会发生明显的衍射现象
答案 CD
解析 波发生明显衍射的条件是：孔、缝的宽度或障碍物的尺寸与波长相比差不多或者比波长更小，A、B错误，C正确；通常讲话产生的声波的波长与1 m相差不多，故D正确。
5．根据多普勒效应，下列说法中正确的是( )
A．多普勒效应只适用于声波
B．当波源和观察者同向运动时，观察者接收到的频率一定比波源发出的频率低
C．当波源和观察者相向运动时，观察者接收到的频率一定比波源发出的频率高
D．当波源和观察者反向运动时，观察者接收到的频率一定比波源发出的频率高
答案 C
解析 多普勒效应适用于各种波，A错误；由于波源和观察者同向运动的快慢不确定，接收频率可能变高、不变、变低，B错误；两者相向运动时，接收频率变高，C正确；两者反向运动时，接收频率变低，D错误。
考点 1 机械波的形成与传播
1．波速与振速的区别
(1)波速：波源振动几个周期，波形就向外平移性延伸几个波长，这个比值就表示了波形向外平移性延伸(或振动能量向外传播)的速度，即波速。波速的大小与介质有关，与波源的振动频率无关，波在同一均匀介质中的传播是匀速的。
(2)振速：质点的振动速度，即为振速。波动中各质点都在平衡位置附近做周期性振动，即做变速运动，振速周期性变化。振速与质点偏离平衡位置的位移有关。
2．机械振动与机械波的区别和联系
名称
项目
机械振动
机械波
区别
运动
特点
机械振动是单个质点以平衡位置为中心所做的往复运动
机械波是介质中大量质点依次发生受迫振动而形成的“集体运动”
产生
原因
机械振动是质点受到回复力作用的结果
机械波是从波源处开始，由近及远，介质中质点依次施力带动相邻质点发生受迫振动形成的
能量
变化
情况
机械振动过程中，动能和势能不断地相互转化，总机械能守恒
波源将能量传递给相邻质点，相邻质点再将能量传递给它的相邻质点，由近及远，每个质点在不断地吸收和放出能量，从而把波源的能量传播出去，是一个能量的传播过程
联系
(1)机械波是机械振动在介质中传播形成的
(2)机械波的周期等于介质中质点机械振动的周期
(3)有机械振动不一定有机械波，但有机械波一定有机械振动
(4)波源停止振动后，介质中的机械振动并不立即停止传播，而是继续向远处传播，直到振动能量全部损耗完
3．波的传播过程中的特点
(1)波源经过一个周期T完成一次全振动，波恰好向前传播一个波长的距离，所以有v＝＝λf。
(2)质点振动nT(波传播nλ)时，波形不变。
(3)在波的传播方向上，当两质点平衡位置间的距离为nλ(n＝1,2,3，…)时，它们的振动步调总相同；当两质点平衡位置间的距离为(2n＋1)(n＝0,1,2,3，…)时，它们的振动步调总相反。
(4)波源质点的起振方向决定了它后面的质点的起振方向，各质点的起振方向与波源的起振方向相同。
4．波的传播方向与质点振动方向的互判方法
方法解读
图像演示
“上下坡”法
沿波的传播方向，“上坡”时质点向下振动，“下坡”时质点向上振动
“同侧”法
波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧
“微平移”法
将波形沿传播方向进行微小的平移，再由对应同一x坐标的两波形曲线上的点来判断振动方向
例1 (2020·四川省内江市第三次模拟改编)(多选)一列简谐横波沿x轴正方向传播，O为波源。如图所示是波源开始振动后0.1 s时的波形图，则下列判断正确的是( )
A．这列波的周期为0.4 s，振幅为20 cm
B．这列波的波速为40 m/s，波长为8 m
C．再经过0.15 s时，x＝6 m处质点的位置坐标为(x＝6 m，y＝0 cm)
D．再经过0.55 s时，x＝24 m处的质点第一次到达波峰
(1)如何确定波速？
提示：由v＝或v＝计算。
(2)如何确定一段时间后某质点的位置？
提示：先计算经多长时间振动传到这个点，再结合周期和起振方向确定质点位置。
尝试解答 选BCD。
由图可知，波源振动半个周期用时0.1 s，则波的周期为0.2 s；振幅为偏离平衡位置的最大距离，为10 cm，故A错误。波速v＝＝＝40 m/s，波长λ＝4 m×2＝8 m，故B正确。在接下来的0.15 s内，经过前面Δt1＝ s＝0.05 s，波刚好传播到x＝6 m处质点，剩下的0.1 s恰好为半个周期，x＝6 m处质点刚好振动半个周期回到平衡位置，故C正确。在接下来的0.55 s内，经过前面Δt2＝ s＝0.5 s，波刚好传播到x＝24 m处质点，剩下的0.05 s恰好为个周期，x＝24 m处质点刚好振动个周期到达波峰位置，故D正确。
机械波的特点及各物理量之间的关系
(1)介质依存性：机械波离不开介质。
(2)能量信息性：机械波传播的是振动的形式、能量和信息。
(3)传播不移性：在传播方向上，各质点只在各自平衡位置附近振动，并不随波迁移。
(4)时空重复性：机械波传播时，介质中的质点不断地重复着波源的振动形式。
(5)周期、频率同源性：介质中各质点的振动周期、频率均等于波源的振动周期、频率，且在传播中保持不变。
(6)起振同向性：介质中各质点开始振动的方向与波源开始振动的方向相同。
(7)波长、波速和频率的关系：v＝λf，f由波源决定，v由介质决定。
[变式1－1] (多选)位于坐标原点的波源在t＝0时刻开始沿y轴做简谐运动，它激起的横波沿x轴正方向传播，经一小段时间停止振动。当t＝0.15 s时，波的图像如图所示，此时波恰好传到P点，则下列说法正确的是( )
A．P点的振动频率是5 Hz
B．波长是0.4 m
C．此时P点沿y轴正方向运动
D．P点振动的总时间为0.015 s
答案 BCD
解析 据题意，该波在t＝0.15 s时间内传播的距离x＝3 m，则波速v＝＝20 m/s，由图知＝3 m－2.8 m，则波长λ＝0.4 m，由v＝λf得频率f＝＝ Hz＝50 Hz，故A错误，B正确；该简谐波向右传播，根据波形的平移法得知，此时P点沿y轴正方向运动，故C正确；周期T＝＝0.02 s，P点振动的总时间为T＝0.015 s，故D正确。
[变式1－2] (2020·陕西省渭南市教学质量检测改编)(多选)如图所示，O点为简谐横波的波源。振幅为5 cm的波从O点分别沿x轴向正方向和负方向传播，Oa＝3 m，Ob＝4 m，Oc＝6 m。t＝0时，波源O由平衡位置开始竖直向下振动；t＝6 s时，质点a第一次到达最高点，同时质点c刚好开始振动。则下列说法中正确的是( )
A．该波的周期为4 s
B．该波的波速为0.75 m/s
C．t＝6 s时质点b经过平衡位置向上运动
D．当质点c向下运动时，质点a一定向上运动
答案 AC
解析 t＝0时，波源O由平衡位置开始竖直向下振动，则每一质点开始振动时都由平衡位置竖直向下振动。根据t＝6 s时，质点a第一次到达最高点，同时质点c刚好开始振动，Oa＝3 m，Oc＝6 m，可知波速v＝＝1 m/s，t＝6 s时质点a振动了t－＝3 s＝T，则T＝4 s，故A正确，B错误；经＝4 s质点b开始振动，质点b开始振动时，从平衡位置向下振动，t＝6 s时质点b振动了＝0.5T，所以t＝6 s时质点b经过平衡位置向上运动，故C正确；质点c比质点a晚振动了个周期，当质点c向下运动时，质点a可能向上运动，也可能向下运动，故D错误。
考点 2 波动图像和振动图像的综合应用
波动图像和振动图像的比较
振动图像
波动图像
研究
对象
一振动质点
沿波传播方向的所有质点
研究
内容
一质点的位移随时间的变化规律
某时刻介质中所有质点的空间分布规律
图像
物理
意义
表示同一质点在各时刻偏离平衡位置的位移
表示介质中的各个质点在某一时刻偏离平衡位置的位移
图像
信息
(1)质点振动周期
(2)质点振幅
(3)某一质点在各时刻偏离平衡位置的位移
(4)某一质点在各时刻速度、加速度的方向
(1)波长、振幅
(2)任意一质点在该时刻偏离平衡位置的位移
(3)任意一质点在该时刻的加速度方向
(4)已知波的传播方向，可判断介质中各质点的振动方向；已知介质中某一质点的振动方向，可判断波的传播方向
图像
变化
随时间推移，图像延续，但已有形状不变
随时间推移，波形沿传播方向平移
连续重复的最短完整曲线占横坐标的距离
表示一个周期
表示一个波长
例2 (2020·东北三省三校第三次联合模拟改编)(多选)一列简谐横波，某时刻的波形如图甲所示，从该时刻开始计时，波上A质点的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是( )
A．该波沿x轴正向传播
B．该波的波速大小为1 m/s
C．经过0.3 s，A质点通过的路程为0.3 m
D．A、B两点的速度有可能相同且不为零
(1)如何确定波的传播方向？
提示：根据A在该时刻的振动方向和同侧法确定波的传播方向。
(2)如何确定A、B两点的速度是否相同？
提示：A、B两点间距为半个波长，振动情况始终相反。
尝试解答 选ABC。
由A质点的振动图像读出该时刻A质点的振动方向沿y轴负方向，由质点的振动方向与波传播方向的关系，可知波沿x轴正向传播，故A正确；由题图甲可知波长为λ＝0.4 m，由题图乙可知周期为T＝0.4 s，则波速为v＝＝1 m/s，故B正确；经过0.3 s＝T，A质点通过的路程为s＝3A＝0.3 m，故C正确；A、B两点间距为半个波长，振动情况始终相反，速度不可能相同且不为零，故D错误。
求解波动图像与振动图像综合类问题可采用“一分、一看、二找”的方法
[变式2－1] (2021·八省联考江苏卷)渔船上的声呐利用超声波来探测远方鱼群的方位。某渔船发出的一列超声波在t＝0时的波动图像如图1所示，图2为质点P的振动图像，则( )
A．该波的波速为1.5 m/s
B．该波沿x轴负方向传播
C．0～1 s时间内，质点P沿x轴运动了1.5 m
D．0～1 s时间内，质点P运动的路程为2 m
答案 D
解析 由图1可知，该波的波长λ＝1.5×10－2 m，由图2可知周期T＝1×10－5 s，则该波的波速v＝＝ m/s＝1.5×103 m/s，A错误；由图2可得，在t＝0时刻，质点P沿y轴正方向振动，由波的传播特点可知该波沿x轴正方向传播，B错误；质点P只在平衡位置附近振动，不沿x轴运动，C错误；质点P的振幅是5×10－6 m，在0～1 s时间内共振动了＝105个周期，运动的路程是s＝4×5×10－6×105 m＝2 m，D正确。
[变式2－2] (2019·全国卷Ⅰ)(多选)一简谐横波沿x轴正方向传播，在t＝时刻，该波的波形图如图a所示，P、Q是介质中的两个质点。图b表示介质中某质点的振动图象。下列说法正确的是( )
A．质点Q的振动图象与图b相同
B．在t＝0时刻，质点P的速率比质点Q的大
C．在t＝0时刻，质点P的加速度的大小比质点Q的大
D．平衡位置在坐标原点的质点的振动图象如图b所示
E．在t＝0时刻，质点P与其平衡位置的距离比质点Q的大
答案 CDE
解析 t＝时刻，质点Q在平衡位置，向上振动，对应的振动图象与图b不符，A错误；t＝0时刻的波形图如图所示(图a的波形图左移半个波长即可得到)，质点P在最低点，质点Q在平衡位置，质点Q的速率比质点P的大，质点P的加速度大小比质点Q的大，质点P此时所在位置与其平衡位置的距离为振幅，质点Q在平衡位置，与其平衡位置的距离为0，故B错误，C、E正确；t＝时刻，平衡位置在坐标原点的质点经过平衡位置向下振动，对应的振动图象与图b吻合，D正确。
考点 3 波的多解问题
一、造成波的多解问题的主要因素
1．周期性
(1)时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确。
(2)空间周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确。
2．双向性
(1)传播方向双向性：波的传播方向不确定。
(2)振动方向双向性：质点振动方向不确定。
如：①只知道质点达到最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能。
②只知道质点由平衡位置开始振动，则起振方向有向上、向下(或向左、向右)两种可能。
③只告诉波速而未说明波的传播方向，则波传播的方向有两种情形，即沿x轴正方向或沿x轴负方向传播。
二、解决波的多解问题的思路
一般采用从特殊到一般的思维方法，即先找出一个周期内满足条件的关系Δt或Δx，若此关系为时间，则t＝nT＋Δt(n＝0,1,2…)；若此关系为距离，则x＝nλ＋Δx(n＝0,1,2…)。对于双向性问题，则两个方向对应的情形都要分别考虑。
例3 (2020·四川省宜宾市三诊改编)(多选)一列简谐横波沿x轴负方向传播，t＝0时刻的波形如图中实线所示，t＝0.7 s时刻的波形如图中的虚线所示，则下列叙述正确的是( )
A．波的周期可能为0.4 s
B．波的传播速度可能为30 m/s
C．质点P在t＝0.7 s时刻向下运动
D．x＝4 m与x＝6 m两质点的运动方向总是相反
(1)如何确定波的周期？
提示：波沿x轴负方向传播，由题意可知nT＋T＝0.7 s(n＝0,1,2,3…)。
(2)x＝4 m与x＝6 m两质点的平衡位置相距多少个波长？
提示：x＝4 m与x＝6 m两质点平衡位置的间距等于波长。
尝试解答 选AC。
由题意可知nT＋T＝0.7 s(n＝0,1,2,3…)，当n＝1时，T＝0.4 s，即波的周期可能为0.4 s，A正确；由波形图可知，该波的波长为λ＝8 m，波的传播速度v＝＝ m/s＝(4n＋3) m/s(n＝0,1,2,3…)，则当v＝30 m/s时，n不是整数，B错误；根据“上下坡法”可知，质点P在t＝0.7 s时刻向下运动，C正确；x＝4 m与x＝6 m两质点平衡位置间距不等于半波长的奇数倍，可知两质点的运动方向不总是相反的，D错误。
解决波的多解问题的一般思路
(1)分析出造成多解的原因。
①波的图像的周期性，如由x＝kλ＋Δx，t＝kT＋Δt，求v＝出现多解。
②波传播方向的双向性。
(2)由λ＝vT进行计算，若有限定条件，再进行讨论。
[变式3－1] (多选)如图所示，一列振幅为10 cm的简谐横波，其传播方向上有两个质点P和Q，两者的平衡位置相距3 m。某时刻两质点均在平衡位置且二者之间只有一个波谷，再经过0.3 s，Q第一次到达波峰。则下列说法正确的是( )
A．波长可能为2 m
B．周期可能为0.24 s
C．波速可能为15 m/s
D．0.3 s内质点P的位移大小为10 cm
答案 ACD
解析 某时刻P、Q两质点均在平衡位置且二者之间只有一个波谷，故存在以下四种情况：
当P、Q之间的波的形式如图c所示时，则有＝3 m，故有λ＝2 m，故A正确；质点Q第一次到达波峰可能经历＝0.3 s或＝0.3 s，故周期T＝1.2 s 或T＝0.4 s，故B错误；图a、b、c、d的波长分别为λa＝λb＝3 m、λc＝2 m、λd＝6 m，当周期T＝1.2 s时，波速va＝vb＝2.5 m/s、vc＝ m/s、vd＝5 m/s；当T＝0.4 s时，波速va′＝vb′＝7.5 m/s、vc′＝5 m/s、vd′＝15 m/s，故C正确；经过0.3 s，当质点Q到达波峰时，图a、b中质点P到达波峰，图c质点P到达波谷，图d质点P到达波谷，故0.3 s内质点P的位移大小为10 cm，D正确。
[变式3－2] (2020·吉林省吉林市第四次调研考试)在xOy坐标平面内有一列简谐横波沿x轴正方向传播，在x轴上有相距Δs＝1.0 m的P、Q两个质点，在t＝0时刻，P质点正好位于波峰，Q质点恰在平衡位置且向y轴负方向振动，波长λ>0.5 m。试求：
(1)该简谐波的波长；
(2)若该波的频率为f＝21 Hz，则其波速v的大小。
答案 (1)见解析 (2)见解析
解析 (1)波沿x轴正方向传播，在t＝0时刻，P位于波峰处，而Q位于平衡位置且向y轴负方向振动，则有
Δs＝λ(n＝0,1,2…)
又知λ>0.5 m，解得：n<，
所以n取0或1，
当n＝0时λ1＝ m，
当n＝1时，λ2＝ m。
(2)由v＝λf知，当λ1＝ m时，v1＝28 m/s
当λ2＝ m时，v2＝12 m/s。
考点 4 波的干涉、衍射、多普勒效应
1.波的干涉中加强点与减弱点的比较
项目
区域
振幅
振动能量
加强点
A1＋A2
最大
减弱点
|A1－A2|
最小
2．波的干涉中加强点和减弱点的判断方法
(1)图像法：在某时刻的波形图上，波峰与波峰(或波谷与波谷)的交点是加强点，波峰与波谷的交点是减弱点。加强点或减弱点各自连接形成加强线和减弱线，以两波源为中心向外辐射，两种线互相间隔，这就是干涉图样，如图所示。加强点与减弱点之间各质点的振幅介于加强点与减弱点的振幅之间。
(2)公式法
①当两个相干波源的振动步调一致时，到两个波源的距离之差Δx＝nλ(n＝0,1,2，…)处是加强区，Δx＝(2n＋1)(n＝0,1,2，…)处是减弱区。
②当两个相干波源的振动步调相反时，到两个波源的距离之差Δx＝(2n＋1)(n＝0,1,2，…)处是加强区，Δx＝nλ(n＝0,1,2，…)处是减弱区。
3．多普勒效应的成因分析
(1)观测频率：观察者观测到的频率，等于观察者在单位时间内接收到的完全波的个数。
(2)当波源与观察者相互靠近时，观察者观测到的频率变大；当波源与观察者相互远离时，观察者观测到的频率变小。
例4 (2020·宁夏银川市一模改编)(多选)如图所示，水面上波源S1的振动方程为x＝20sin100πt(cm)，水面上波源S2的振动方程为x＝10sin100πt(cm)，实线与虚线分别表示S1和S2形成的两列波的波峰和波谷。此刻，M是波峰与波峰的相遇点，不考虑水波的衰减，下列说法中正确的是( )
A．这两列波的频率均为50 Hz
B．P、N两质点始终处在振动减弱位置
C．从该时刻起，经过四分之一周期，M处的质点到达平衡位置，此时位移为零
D．O、M连线的中点是振动减弱点，其振幅为10 cm
(1)两列频率相同的波相遇叠加时减弱点是否始终是减弱点？
提示：是。
(2)加强点始终在波峰或者波谷吗？
提示：不是，位移也随时间改变，位移可以为零。
尝试解答 选ABC。
由振动方程知对于两列波均有ω＝100π rad/s，则这两列波的频率均为f＝＝50 Hz，故A正确；由图可知，P、N两点均为波峰与波谷相遇位置，即为振动减弱点，则P、N两质点始终处在振动减弱位置，故B正确；题图所示时刻质点M处于波峰处，经过四分之一周期，质点M回到平衡位置，位移为0，故C正确；O、M连线的中点是振动加强点，其振幅为30 cm，故D错误。
波的干涉问题的分析
(1)在稳定的干涉区域内，振动加强点始终加强；振动减弱点始终减弱。两列相干波的波峰与波峰(或波谷与波谷)相遇处是振动最强的地方，若用一条平滑的线将以上加强点连接起来，则这条平滑的线上的点都是加强点；而波峰与波谷(或波谷与波峰)相遇处是振动最弱的地方，把以上减弱点用一条平滑的线连接起来，则这条平滑的线上的点都是减弱点。
(2)不论是振动加强的质点还是振动减弱的质点，都仍在其平衡位置附近振动。某点的振动加强，是指这个质点以较大的振幅振动；而某点的振动减弱，是指这个质点以较小的振幅振动，因此，振动加强点的位移不是始终等于振幅，它的位移的大小和方向随时间在发生周期性的变化。
[变式4－1] (2020·甘肃省兰州市诊断性考试改编)(多选)如图所示，波速均为2.0 m/s的两列简谐波分别从波源x＝0和x＝12 m处沿x轴相向传播，t＝0时的波形如图所示，则以下说法正确的是( )
A．两列波的频率均为0.25 Hz
B．t＝1.0 s时两波相遇
C．两波相遇过程中x＝5 m处和x＝7 m处的质点振动减弱
D．t＝1.5 s时，x＝6 m处质点的位移为最大值
答案 BCD
解析 由题图可知，两列波的波长均为λ＝4 m，则频率均为f＝＝ Hz＝0.5 Hz，A错误。两波相遇时需要的时间为t＝＝ s＝1 s，即t＝1.0 s时两波相遇，B正确。x＝5 m处和x＝7 m处质点到两波源的距离之差均等于2 m，为半波长的奇数倍，而两波源振动步调一致，则两处的质点振动减弱，C正确。波的周期为T＝2 s，x＝6 m处为振动加强点，在t＝1 s时，两列波在x＝6 m处相遇，此后x＝6 m处质点经过0.5 s到达负向最大位置，则t＝1.5 s时，x＝6 m处质点的位移为负向最大值，D正确。
[变式4－2] (2020·北京市东城区一模)机械波和电磁波都能产生多普勒效应。下列现象中不属于利用多普勒效应的是( )
A．交通警察利用测速仪向行进中的车辆发射频率已知的超声波，根据反射波的频率变化判断车速
B．医生向人体内发射频率已知的超声波，根据接收到的被血管中的血流反射后的超声波的频率变化，判断血流的速度是否正常
C．发生雷电时，人们利用看见闪电与听见雷声的时间间隔来估算自己与雷电发生处之间的距离
D．天文学上通过对比某些元素在遥远天体上的发光频率与其静止在地球上的发光频率，判断天体相对于地球的运动速度
答案 C
解析 交通警察利用测速仪向行进中的车辆发射频率已知的超声波，根据反射波的频率变化判断车速，利用了声波多普勒效应的原理，A不符合题意；医生向人体内发射频率已知的超声波，根据接收到的被血管中的血流反射后的超声波的频率变化，判断血流的速度是否正常，也属于声波多普勒效应的应用，B也不符合题意；发生雷电时，人们利用看见闪电与听见雷声的时间间隔来估算自己与雷电发生处之间的距离是利用了光速远大于声速，用这个时间间隔乘声速来估算的，故它不属于多普勒效应的应用，C符合题意；天文学上通过对比某些元素在遥远天体上的发光频率与其静止在地球上的发光频率，判断天体相对于地球的运动速度是属于光波的多普勒效应的原理应用，D不符合题意。
[变式4－3] (2020·广西柳州高级中学4月线上测试)下图为某一报告厅主席台的平面图，AB是讲台，S1、S2是与讲台上话筒等高的喇叭，它们之间的相互位置和尺寸如图所示。报告者的声音放大后经喇叭传回话筒再次放大时可能会产生啸叫。为了避免啸叫，话筒最好摆放在讲台上适当的位置，在这些位置上两个喇叭传来的声音因干涉而相消。已知空气中声速为340 m/s，若报告人声音的频率为136 Hz，问讲台上这样的位置有多少个？
答案 4个
解析 声音频率为f＝136 Hz的声波在空气中传播时的波长是：λ＝＝ m＝2.5 m，
如图所示，O是AB的中点，P是OB上任一点。－＝k·，式中k为实数，
当k＝0,2,4…时，从两个喇叭传来的声波因干涉而相互加强；
当k＝1,3,5…时，从两个喇叭传来的声波因干涉而相消。由此可知，O是干涉加强点；
根据几何知识可得：＝20 m，＝15 m，则对于B点，－＝20 m－15 m＝4·，因而O、B之间有两个干涉相消点，由对称性可知，AB上有4个干涉相消点，故讲台上这样的位置有4个。
1．(2020·全国卷Ⅰ)(多选)在下列现象中，可以用多普勒效应解释的有( )
A．雷雨天看到闪电后，稍过一会儿才能听到雷声
B．超声波被血管中的血流反射后，探测器接收到的超声波频率发生变化
C．观察者听到远去的列车发出的汽笛声，音调会变低
D．同一声源发出的声波，在空气和水中传播的速度不同
E．天文学上观察到双星(相距较近、均绕它们连线上某点做圆周运动的两颗恒星)光谱随时间的周期性变化
答案 BCE
解析 多普勒效应是指：波源与观察者互相靠近或者互相远离时，观察者接收到的波的频率会发生变化的现象。雷雨天先看到闪电后听到雷声，是因为在空气中声音的传播速度比光的传播速度慢，与多普勒效应无关，A错误；流动的血液与探测器的距离在不断变化，由多普勒效应可知，探测器接收到的血流反射的超声波频率发生变化，B正确；列车远离观察者时，由多普勒效应可知，观察者接收到的列车发出汽笛声的声波频率变低，即听到汽笛声的音调变低，C正确；同一声源发出的声波，在空气和水中传播的速度不同，是因为声波从一种介质进入另一种介质时，波长发生了变化，与多普勒效应无关，D错误；双星做圆周运动的过程中，到地球的距离随时间周期性变化，由多普勒效应可知，在地球上接收到的双星上某些元素发出的光波频率随时间周期性变化，即观察到双星光谱随时间周期性变化，E正确。
2．(2020·山东高考)一列简谐横波在均匀介质中沿x轴负方向传播，已知x＝λ处质点的振动方程为y＝Acos，则t＝T时刻的波形图正确的是( )
答案 D
解析 根据题意可知，t＝T时刻，x＝λ＝λ＋λ处质点处于y＝Acos＝Acos＝Acos＝0，即此时该质点位于平衡位置，且向y轴正方向运动，又因为横波沿x轴负方向传播，根据同侧法判断可知，A、B、C错误，D正确。
3．(2020·北京高考)一列简谐横波某时刻波形如图甲所示。由该时刻开始计时，质点L的振动情况如图乙所示。下列说法正确的是( )
A．该横波沿x轴负方向传播
B．质点N该时刻向y轴负方向运动
C．质点L经半个周期将沿x轴正方向移动到N点
D．该时刻质点K与M的速度、加速度都相同
答案 B
解析 由图乙可知，该时刻即t＝0时刻质点L向y轴正方向运动，结合图甲利用“上下坡法”或者“微平移法”可知，该列横波沿x轴正方向传播，所以质点N该时刻向y轴负方向运动，故A错误，B正确；对于该简谐横波，质点L只在其平衡位置附近沿y轴方向上下振动，不会沿x轴方向移动，故C错误；该时刻质点K与M的速度均为零，质点K的加速度沿y轴负方向，质点M的加速度沿y轴正方向，所以加速度不同，故D错误。
4．(2020·天津高考) 一列简谐横波沿x轴正方向传播，周期为T，t＝0时的波形如图所示。t＝时( )
A．质点a速度方向沿y轴负方向
B．质点b沿x轴正方向迁移了1 m
C．质点c的加速度为零
D．质点d的位移为－5 cm
答案 C
解析 经过，波沿x轴正方向传播的距离为，则t＝时的波形如图所示。由图可知，质点a恰好运动到平衡位置且速度沿y轴正方向，A错误；质点b只在y轴方向上运动，不会随波沿x轴正方向迁移，B错误；质点c恰好运动到平衡位置，速度最大，加速度为零，C正确；质点d恰好运动到正向最大位移处，位移为5 cm，D错误。
5．(2020·浙江7月选考)(多选)如图所示，x轴上－2 m、12 m处有两个振动周期均为4 s、振幅均为1 cm的相同的波源S1、S2，t＝0时刻同时开始竖直向下振动，产生波长均为4 m沿x轴传播的简谐横波。P、M、Q分别是x轴上2 m、5 m和8.5 m的三个点，下列说法正确的是( )
A．6.0 s时P、M、Q三点均已振动
B．8.0 s后M点的位移始终是2 cm
C．10.0 s后P点的位移始终是0
D．10.5 s时Q点的振动方向竖直向下
答案 CD
解析 波速为v＝＝ m/s＝1 m/s，在6.0 s内两列波传播了6 m，则6.0 s时P、Q两点已振动，但是M点还未振动，A错误。因M点到两个波源的距离相等，则M点是振动加强点，振幅为2 cm，但两波相遇后，即＝ s＝7 s后，M点的位移不是始终为2 cm，B错误。P点到两波源的距离差为6 m＝1λ，则P点为振动减弱点，振幅为零，即＝ s＝10.0 s后P点的位移始终为零，C正确。波源S1的振动传到Q点所用的时间为t1＝＝ s＝10.5 s，则10.5 s时Q点由S1引起的振动在平衡位置且速度向下；波源S2的振动传到Q点所用的时间为t2＝＝ s＝3.5 s，则10.5 s时Q点由S2引起的振动已经振动了7 s＝1T，此时Q点由S2引起的振动在最高点且速度为零，由波的叠加原理知，10.5 s时Q点的振动方向竖直向下，D正确。
6．(2019·全国卷Ⅲ)(多选)水槽中，与水面接触的两根相同细杆固定在同一个振动片上。振动片做简谐振动时，两根细杆周期性触动水面形成两个波源。两波源发出的波在水面上相遇，在重叠区域发生干涉并形成了干涉图样。关于两列波重叠区域内水面上振动的质点，下列说法正确的是( )
A．不同质点的振幅都相同
B．不同质点振动的频率都相同
C．不同质点振动的相位都相同
D．不同质点振动的周期都与振动片的周期相同
E．同一质点处，两列波的相位差不随时间变化
答案 BDE
解析 两列波相遇叠加产生干涉，一些质点的振动加强，一些质点的振动减弱，即振幅不同，A错误；各质点的振动频率、周期都与振动片相同，B、D正确；不同质点振动的相位不同(不是同时到达正的最大位移处)，C错误；两列波频率相同，在同一质点处的相位差恒定，E正确。
7．(2019·天津高考)(多选)一列简谐横波沿x轴传播，已知x轴上x1＝1 m和x2＝7 m处质点的振动图象分别如图1、图2所示，则此列波的传播速率可能是( )
A．7 m/s B.2 m/s
C.1.2 m/s D.1 m/s
答案 BC
解析 由振动图象可知周期T＝4 s，零时刻x1处质点在平衡位置且向下振动，而x2处质点在正的最大位移处。①若波沿x轴正方向传播，其波形如图甲所示，x2处质点的平衡位置可能在A1或A2或A3……
则有：x2－x1＝λ(n＝0、1、2…)，
得波速v＝＝＝ m/s(n＝0、1、2…)，
当n＝0时，v＝6 m/s，当n＝1时，v＝1.2 m/s，
当n＝2时，v＝ m/s，C正确。
②若波沿x轴负方向传播，其波形如图乙所示，x2处质点的平衡位置可能在A1或A2或A3……
则有x2－x1＝λ(n＝0、1、2…)，
得波速v＝＝＝ m/s(n＝0、1、2…)，
当n＝0时，v＝2 m/s，当n＝1时，v≈0.86 m/s，B正确。
8. (2018·全国卷Ⅲ)(多选)一列简谐横波沿x轴正方向传播，在t＝0和t＝0.20 s时的波形分别如图中实线和虚线所示。已知该波的周期T>0.20 s。下列说法正确的是( )
A．波速为0.40 m/s
B．波长为0.08 m
C．x＝0.08 m的质点在t＝0.70 s时位于波谷
D．x＝0.08 m的质点在t＝0.12 s时位于波谷
E．若此波传入另一介质中其波速变为0.80 m/s，则它在该介质中的波长为0.32 m
答案 ACE
解析 根据波形图可知，波长λ＝16 cm＝0.16 m，B错误；根据t＝0时刻和t＝0.20 s时刻的波形图可知T＝0.2 s，T＝ s(n＝0,1,2,3，…)，而已知该波的周期T>0.20 s，故该波的周期T＝0.40 s，波速v＝＝0.40 m/s，A正确；简谐横波沿x轴正方向传播，x＝0.08 m的质点在t＝0时刻沿y轴正方向运动，在t＝0.70 s＝1T时位于波谷，在t＝0.12 s＝T时位于y>0的某位置(不是位于波谷)，C正确，D错误；若此波传入另一介质中，周期T不变，其波速变为v′＝0.80 m/s，由λ′＝v′T可得它在该介质中的波长为λ′＝0.80×0.4 m＝0.32 m，E正确。
9．(2016·全国卷Ⅲ)(多选)由波源S形成的简谐横波在均匀介质中向左、右传播。波源振动的频率为20 Hz，波速为16 m/s。已知介质中P、Q两质点位于波源S的两侧，且P、Q和S的平衡位置在一条直线上，P、Q的平衡位置到S的平衡位置之间的距离分别为15.8 m、14.6 m。P、Q开始振动后，下列判断正确的是( )
A．P、Q两质点运动的方向始终相同
B．P、Q两质点运动的方向始终相反
C．当S恰好通过平衡位置时，P、Q两点也正好通过平衡位置
D．当S恰好通过平衡位置向上运动时，P在波峰
E．当S恰好通过平衡位置向下运动时，Q在波峰
答案 BDE
解析 由波速公式v＝λf得λ＝＝0.8 m，LSP＝λ＝19λ，LSQ＝λ＝18λ，由波动的周期性，采用“去整留零”的方法，可在波形图上标出S、P、Q三点的位置，如图所示，由图可知，P、Q两点的运动方向始终相反，A项错误，B项正确；S在平衡位置时，P、Q一个在波峰，一个在波谷，C项错误；当S恰通过平衡位置向上运动时，P在波峰，Q在波谷，反之则相反，故D、E两项正确。
10．(2020·全国卷Ⅲ)如图，一列简谐横波平行于x轴传播，图中的实线和虚线分别为t＝0和t＝0.1 s时的波形图。已知平衡位置在x＝6 m处的质点，在0到0.1 s时间内运动方向不变。这列简谐波的周期为________ s，波速为________ m/s，传播方向沿x轴________(填“正方向”或“负方向”)。
答案 0.4 10 负方向
解析 因为x＝6 m处的质点在0～0.1 s内运动方向不变，所以该处质点从正向最大位移处经过四分之一个周期向下运动至平衡位置处，即T＝0.1 s，解得周期为T＝0.4 s；所以波速为v＝＝＝10 m/s；由以上分析可知，在t＝0.1 s时(虚线波形)，x＝6 m处的质点向下运动，根据同侧法可知，波沿x轴负方向传播。
11．(2018·全国卷Ⅱ)声波在空气中的传播速度为340 m/s，在钢铁中的传播速度为4900 m/s。一平直桥由钢铁制成，某同学用锤子敲击一铁桥的一端而发出声音，分别经空气和桥传到另一端的时间之差为1.00 s。桥的长度为________ m，若该波在空气中的波长为λ，则它在钢铁中波长为λ的________倍。
答案 365
解析 设桥的长度为s，则声音在钢铁中传播的时间
t＝＝，
声音在空气中的传播时间为t′＝＝，
根据题意Δt＝t′－t＝－＝1 s，
解得：s＝365 m。
声音在不同介质中的频率是不会改变的，
由公式λ＝可知＝，
解得λ钢＝λ空＝λ＝λ。
12．(2020·全国卷Ⅰ) 一振动片以频率f做简谐振动时，固定在振动片上的两根细杆同步周期性地触动水面上a、b两点，两波源发出的波在水面上形成稳定的干涉图样。c是水面上的一点，a、b、c间的距离均为l，如图所示。已知除c点外，在ac连线上还有其他振幅极大的点，其中距c最近的点到c的距离为l。求
(1)波的波长；
(2)波的传播速度。
答案 (1)l (2)fl
解析 (1)如图，设在ac连线上距c点最近的振幅极大的点为d点，a与d的距离为r1，b与d的距离为r2，波的波长为λ，则
r2－r1＝λ ①
由几何关系有
r1＝l－l ②
r＝(r1sin60°)2＋(l－r1cos60°)2 ③
联立①②③式可得
λ＝l。 ④
(2)波的频率为f，设波的传播速度为v，则有
v＝fλ ⑤
联立④⑤式可得
v＝fl。 ⑥
13．(2018·全国卷Ⅰ)一列简谐横波在t＝ s时的波形图如图a所示，P、Q是介质中的两个质点。图b是质点Q的振动图象。求：
(1)波速及波的传播方向；
(2)质点Q的平衡位置的x坐标。
答案 (1)18 cm/s 波沿x轴负方向传播 (2)9 cm
解析 (1)由题图a可以看出，该波的波长为λ＝36 cm ①
由题图b可以看出，周期为T＝2 s ②
波速为v＝＝18 cm/s ③
由题图b知，当t＝ s时，Q点向上运动，结合题图a可得，波沿x轴负方向传播。
(2)设质点P、Q平衡位置的x坐标分别为xP、xQ。
由图a知，x＝0处y＝－＝Asin(－30°)，
因此xP＝λ＝3 cm ④
由图b知，在t＝0时Q点处于平衡位置，经Δt＝ s，其振动状态向x轴负方向传播至P点处，
由此及③式有xQ－xP＝vΔt＝6 cm ⑤
由④⑤式得，质点Q的平衡位置的x坐标为xQ＝9 cm。
时间：60分钟 满分：100分
一、选择题(本题共10小题，每小题7分，共70分。其中1～6题为单选，7～10题为多选)
1．(2020·山东省菏泽市第一中学高三4月线上模拟)关于机械波的特性，下列说法正确的是( )
A．只有波长比障碍物的尺寸小或相差不多的时候才会发生明显的衍射现象
B．火车鸣笛时向我们驶来，听到的笛声频率将比声源发出的频率低
C．只要是性质相同的波，都可以发生干涉
D．向人体内发射频率已知的超声波被血管中的血液反射后又被仪器接收，测出反射波的频率变化就能知道血液的速度，这种方法应用的是多普勒效应
答案 D
解析 只有波长比障碍物的尺寸大或相差不多的时候才会发生明显的衍射现象，故A错误；火车鸣笛向我们驶来时，声源与我们之间的间距变小，则我们听到的笛声频率将比声源发出的频率高，故B错误；产生干涉的两个必要条件是：两列波的频率相同，两个波源的相位差保持不变，故C错误；向人体发射频率已知的超声波，超声波被血管中的血流反射后又被仪器接收，测出反射波的频率变化就能知道血液的速度，这种方法应用的是多普勒效应，故D正确。
2. (2019·北京高考)一列简谐横波某时刻的波形如图所示，比较介质中的三个质点a、b、c，则( )
A．此刻a的加速度最小
B．此刻b的速度最小
C．若波沿x轴正方向传播，此刻b向y轴正方向运动
D．若波沿x轴负方向传播，a比c先回到平衡位置
答案 C
解析 此刻a在位移最大处，由a＝－知，此刻a的加速度最大，A错误；此刻b位于平衡位置，其速度最大，B错误；若波沿x轴正方向传播，根据“带动法”知，此刻b左侧的质点带动b向y轴正方向运动，C正确；若波沿x轴负方向传播，则c向y轴正方向运动，故c比a先回到平衡位置，D错误。
3．(2018·北京高考) 如图所示，一列简谐横波向右传播，P、Q两质点平衡位置相距0.15 m。当P运动到上方最大位移处时，Q刚好运动到下方最大位移处，则这列波的波长可能是( )
A．0.60 m B.0.30 m
C.0.20 m D.0.15 m
答案 B
解析 可以画出PQ之间的最简单的波形，如图所示，同时由于PQ可以含有多个完整的波形，则xPQ＝λ(n＝0,1,2，…)，整理可以得到λ＝(n＝0,1,2，…)，当n＝0时，λ＝0.30 m，当n＝1时，λ＝0.10 m，故B正确，A、C、D错误。
4．(2021·北京市昌平区高三上期末质量抽测)一根粗细均匀的绳子，右端固定，S点上下振动，产生向右传播的机械波，某时刻的波形如图所示。下列说法中正确的是( )
A．波源振动的频率逐渐增大
B．波的传播速度逐渐减小
C．各处的波长相等
D．此时刻质点P的速度方向向上
答案 A
解析 波向右传播，由波形图可知，由振源振动形成的机械波的波长逐渐减小，由于机械波在同一种介质中的波速不变，根据f＝可知波源振动的频率逐渐变大，A正确，B、C错误；波向右传播，由波形图可知，此时刻质点P的速度方向向下，D错误。
5．(2021·八省联考湖北卷)一列简谐横波沿x轴正方向传播，其波速为10 m/s，t＝0时刻的波形如图所示。下列说法正确的是( )
A．0～0.6 s时间内，质点P运动的路程为18 cm
B．t＝0.6 s时刻，质点P相对平衡位置的位移是6 cm
C．t＝1.2 s时刻，质点Q加速度最大
D．t＝1.4 s时刻，质点M沿y轴负方向运动
答案 A
解析 该机械波的周期为T＝＝0.8 s,0～0.6 s时间内，质点P运动了个周期，其路程为3A＝18 cm，A正确；t＝0.6 s时刻，质点P到达平衡位置，则此时相对平衡位置的位移是零，B错误；因为t＝1.2 s＝1T，则t＝1.2 s时刻，质点Q运动到平衡位置，加速度为零，C错误；经过1.4 s波向前传播x＝vt＝14 m＝1λ，则t＝1.4 s时刻，质点M在平衡位置以下沿y轴正方向运动，D错误。
6. (2021·八省联考辽宁卷)如图所示，在xOy平面内有两个沿z轴方向(垂直xOy平面)做简谐运动的点波源S1(1,0)和S2(4,0)，振动方程分别为zS1＝Asin、zS2＝Asin。两列波的波速均为1 m/s。两列波在点B(2.5,3)和点C(4,4)相遇时，分别引起B、C处质点的振动总是相互( )
A．加强、加强 B.减弱、减弱
C．加强、减弱 D.减弱、加强
答案 D
解析 因为B点距两波源距离相同，而两波源的振动步调相反，所以两列波在B处的叠加总是相互减弱。由振动方程可知，周期为T＝ s＝2 s，波长为λ＝vT＝2 m，根据几何关系，C距两波源的距离差为Δs＝1 m＝λ，而两波源的振动步调相反，所以两列波在C点的叠加总是相互加强。故选D。
7．(2020·贵州省贵阳市高三下学期开学调研)一列简谐横波沿x轴正方向传播，t时刻波形图如图中的实线所示，此时波刚好传到P点，t＋0.6 s时刻的波形如图中的虚线所示，a、b、c、P、Q是介质中的质点，则以下说法正确的是( )
A．这列波的波速可能为50 m/s
B．质点a在这段时间内通过的路程一定小于30 cm
C．若有另一周期为0.16 s的简谐横波与此波相遇，可能产生稳定的干涉现象
D．若T＝0.8 s，t＋0.5 s时刻，质点b、P的位移相同
答案 ACD
解析 由图可知，波的波长为40 m，且0.6 s＝T，故周期T＝ s，波速为：v＝＝×(4n＋3) m/s＝ m/s，(n＝0,1,2…)，当n＝0时v＝50 m/s，故A正确；质点a在平衡位置上下振动，振动的最少时间为T，故路程最小为3A即30 cm，故B错误；当n＝3时，T＝0.16 s，故若有另一周期为0.16 s的简谐波与此波相遇，可能产生稳定的干涉现象，C正确；若T＝0.8 s，因波沿x轴正方向传播，所以在t时刻质点P向上振动，t＋0.5 s时，经过T，P正在平衡位置下方向下运动，位移为－5 cm，而质点b正在平衡位置下方并向上运动，位移为－5 cm，两个质点的位移相同，故D正确。
8．(2020·河北省保定市二模改编)某介质中两个波源A、B同时开始振动，它们的振动图像如图乙所示。已知A、B、C在一条直线上，AB＝2 m，BC＝3 m，两波源引起的机械波在介质中传播的速度均为10 m/s。下列说法中正确的是( )
A．两列波在介质中传播的叠加区域内可能会发生干涉现象
B．A波的波长为4 m
C．B波的波长为6 m
D．t＝1.2 s时在C位置的质点的位移为－3 m
答案 BCD
解析 由题图乙可知，波源A、B的周期分别为TA＝0.4 s，TB＝0.6 s，波源振动周期不同，不会发生干涉，故A错误。λA＝vTA＝4 m/s，λB＝vTB＝6 m/s，故B、C正确。波源A引起的机械波经0.5 s传递到C点，起振方向向上，振幅为3 cm，再经过0.7 s即TA，振动位移为－3 cm；波源B引起的机械波经0.3 s传递到C点，起振方向向下，振幅为4 cm，再经过0.9 s即TB，振动位移为0 cm，两列波叠加后C点振动位移为－3 cm，故D正确。
9．(2021·天津南开区高三上期末)在均匀介质中有一位于坐标原点O处的波源做简谐振动，其振动图像如图甲所示，波源形成的简谐横波沿x轴正方向传播，t＝t1时刻的波形图如图乙所示，此时x＝8 m处的质点刚好振动了2 s。则( )
A．该波沿x轴方向传播的波速为2 m/s
B．该波源开始振动的方向沿y轴负方向
C．t1时刻x＝8 m处质点的振动方向沿y轴正方向
D．t1时刻之后再经过10 s，平衡位置为x＝32 m处的质点开始振动
答案 AD
解析 由甲、乙两图可知v＝＝ m/s＝2 m/s，故A正确；由图甲可知，波源起振方向沿y轴正方向，故B错误；由波形图可知，t1时刻x＝8 m处质点的振动方向沿y轴负方向，故C错误；经过10 s波传播的距离为x＝vt＝20 m，则t1时刻之后再经过10 s，x＝12 m处的振动形式刚好传到x＝32 m处，即x＝32 m处的质点开始振动，故D正确。
10．(2020·河南省六市第二次联合调研改编)有一列沿x轴传播的简谐横波，从某时刻开始，介质中位置在x＝0处的质点a和在x＝6 m处的质点b的振动图线分别如图甲、乙所示。则下列说法正确的是( )
A．质点a处在波谷时，质点b一定处在平衡位置且向y轴正方向振动
B．质点a的振动方程为y＝2sin cm
C．若波的传播速度为0.2 m/s，则这列波沿x轴正方向传播
D．若波沿x轴负方向传播，这列波最大波长为24 m
答案 ACD
解析 根据图像知，质点b相位比质点a相位超前，所以质点a处在波谷时，质点b一定处在平衡位置且向y轴正方向振动，故A正确；由图甲可知，质点a的振动周期为T＝8 s，可得ω＝＝rad/s，振幅为A＝4 cm，质点a的振动方程为y＝Asin＝4sin，故B错误；若波的传播速度为0.2 m/s，则λ＝vT＝1.6 m，质点a、b之间的距离为6 m＝3λ，由题图甲、乙可知，该波只能沿x轴正方向传播，故C正确；由图甲、乙知，若该波沿x轴负方向传播，则有xab＝λ＋kλ＝6 m(k＝0,1,2…)，解得λ＝ m，当k＝0时，波长最长，为λm＝24 m，故D正确。
二、非选择题(本题共3小题，共30分)
11．(2020·安徽省皖南八校临门一卷)(10分)如图所示，一列简谐横波沿x轴传播，t＝0.2 s时刻的波形如下图中实线所示，t＝0.5 s时刻的波形如图中虚线所示，t＝0时刻，x＝2 m处的质点正处在波谷，周期T＞0.5 s，求：
(1)这列波传播的方向及传播的速度；
(2)从t＝0时刻开始，波传播3 s后，x＝2 m处的质点运动的路程为3 m，求该质点的振幅和t＝2.5 s时的位移。
答案 (1)沿x轴正方向传播 10 m/s
(2)0.2 m － m
解析 (1)周期T＞0.5 s，因此波从实线位置到虚线位置的时间间隔Δt＝0.3 s
解得T＝0.48 s＜0.5 s，因此假设不成立，则这列波沿x轴正方向传播，则T＝0.3 s
解得T＝0.8 s
波传播的速度v＝＝10 m/s。
(2)由题有3 s＝3T
x＝2 m处的质点运动的路程s＝3×4A＝3 m
解得A＝0.2 m
该质点的振动方程为y＝－0.2cost(m)
则当t＝2.5 s时，该质点的位移为y＝－ m。
12．(2020·广东省深圳市第二次调研)(10分)如图，在平静的湖面上相距12 m的B、C处分别有一片小树叶，将一枚小石子投到B、C连线左侧的O点，OB＝6 m，经过24 s，第1个波峰传到B处树叶时，第13个波峰刚好在O点形成。求：
(1)这列水波的波长和水波的频率；
(2)从第1个波峰传到B处树叶算起，需要多长时间C处树叶开始振动。
答案 (1)0.5 m Hz (2) s
解析 (1)由题意可知，水波的波长为λ＝＝0.5 m
解法一：石子入水引起的振动是先向下，故第1个波峰传到B处树叶时，在B右侧还有个波长，即24 s内波源O共产生并传播出12个波长，水波的频率为：
f＝ Hz＝ Hz。
解法二：波速为v＝＝ m/s＝ m/s
频率为f＝＝ Hz。
(2)振动从波源O传到C处树叶所用时间
tO C＝＝＝ s
故从第1个波峰传到B处树叶算起，到C处树叶开始振动需要的时间为t＝tO C－24 s＝ s。
13．(2020·河南省洛阳市第三次统一考试)(10分)在某介质中形成一列简谐波，t＝0时刻的波形如图中的实线所示。若波向右传播，t＝0时刻刚好传到A点，且再经过0.6 s，P点也开始起振，求：
(1)该列波的周期T为多少？
(2)从t＝0时起到P点第一次达到波峰时止，O点相对平衡位置的位移y0及其所经过的路程s0各为多少？
答案 (1)0.2 s (2)－0.02 m 0.3 m
解析 (1)波速v＝＝ m/s＝10 m/s，
由v＝
得T＝＝0.2 s。
(2)由t＝0至P点第一次到达波峰，
经历的时间Δt2＝Δt1＋T＝0.75 s＝T
而t＝0时O点的振动方向沿y轴正方向，
故经时间Δt2，O点振动到波谷，即y0＝－2 cm＝－0.02 m，s0＝×4A＝0.3 m。
第2讲 机械波
知识点 机械波 横波和纵波 Ⅰ
1．机械波的形成和传播
(1)产生条件
①有波源；
②有介质，如空气、水、绳子等。
(2)传播特点
①传播振动形式、能量和信息；
②介质中质点不随波迁移；
③介质中各质点振动频率、起振方向都与波源相同。
2．机械波的分类
分类
质点振动方向和波
的传播方向的关系
形状
举例
横波
垂直
凹凸相间；有波峰、波谷
绳波等
纵波
在同一条直线上
疏密相间；有密部、疏部
弹簧波、声波等
知识点 机械波的图像 Ⅱ
1．坐标轴：横坐标x表示在波的传播方向上各质点的平衡位置，纵坐标y表示某一时刻各质点偏离平衡位置的位移。
2．意义：表示介质中的“各个质点”在“某一时刻”的位移。
3．图像(以简谐波为例)
4．应用
(1)可直接读取振幅A、波长λ，以及该时刻各质点偏离平衡位置的位移。
(2)可确定该时刻各质点加速度的方向，并能比较该时刻不同质点速度或加速度的大小。
(3)可结合波的传播方向确定各质点的振动方向，或结合某个质点的振动方向确定波的传播方向。
知识点 波速、波长、频率(周期)及其关系 Ⅰ
1．波长λ：在波的传播方向上，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离。
2．波速v：波在介质中的传播速度，由介质本身的性质决定。
3．频率f：由波源决定，等于波源的“各个质点”；与周期的关系为f＝。
4．波长、波速、频率和周期的关系：v＝fλ＝。
知识点 波的反射、折射 Ⅰ
1．理论和实践证明，水波、声波等一切波都会发生反射和折射现象。
(1)声波、水波等一切波遇到挡板时会发生反射。
(2)与光的折射类似，机械波从一种介质向另一种介质传播时，在交界面处将发生折射。
2．波的入射方向、反射方向、折射方向都可以用一条射线表示，分别叫作：入射线、反射线、折射线。
3．波的反射规律：反射线、法线与入射线在同一平面内，反射线与入射线分居法线两侧，反射角等于入射角。
知识点 波的干涉和衍射 Ⅰ
1．波的独立传播原理
两列波相遇后彼此穿过，仍然保持各自的运动特征，即各自的波长、频率等保持不变，继续传播，就像没有跟另一列波相遇一样。
2．波的叠加
几列波相遇时能够保持各自的运动特征，即各自的波长、频率等保持不变，继续传播，在它们重叠的区域里，介质的质点同时参与这几列波引起的振动，质点的位移(速度、加速度)等于这几列波单独传播时引起的位移(速度、加速度)的矢量和。
3．波的干涉和衍射的比较
内容
波的衍射
波的干涉
定义
波可以绕过障碍物继续传播的现象
频率相同、相位差恒定、振动方向相同的两列波叠加时，某些区域的振动总是加强、某些区域的振动总是减弱的现象
现象
波偏离直线而传播到直线以外的空间
两列波叠加区域形成相互间隔的稳定的振动加强区和振动减弱区，产生稳定的干涉图样
条件
明显发生的条件：缝、孔的宽度或障碍物的尺寸跟波长相差不多，或者比波长更小
充分条件：两列波的频率相同，相位差恒定，振动方向相同
相同点
干涉和衍射是波特有的现象
知识点 多普勒效应 Ⅰ
1．定义：波源与观察者相互靠近或者相互远离时，观察者接收到的波的频率发生变化的现象叫作多普勒效应。
2．规律：波源的频率不变，只是观测到的波的频率发生变化。如果二者相互靠近，观测到的频率变大；如果二者相互远离，观测到的频率变小。
3．应用：利用声波的多普勒效应可以测定车辆行驶的速度；利用光波的多普勒效应可以判断遥远天体相对地球的运行速度。
一 堵点疏通
1．在水平方向传播的波为横波。( )
2．在机械波中各质点不随波的传播而迁移。( )
3．通过波的图像可以找出任一质点在任意时刻的位移。( )
4．机械波在传播过程中，各质点振动的周期、起振方向都相同。( )
5．机械波在一个周期内传播的距离是振幅的4倍。( )
6．波速表示介质中质点振动的快慢。( )
7．两列波在介质中叠加，一定产生干涉现象。( )
8．一切波都能发生衍射现象。( )
9．多普勒效应说明波源的频率发生变化。( )
10．机械波在介质中传播的速度由介质本身决定。( )
答案 1.× 2.√ 3.× 4.√ 5.× 6.× 7.×
8．√ 9.× 10.√
二 对点激活
1. (人教版选择性必修第一册·P65·T2改编)(多选)简谐横波某时刻的波形如图所示。P为介质中的一个质点，波沿x轴的正方向传播。以下说法正确的是( )
A．质点P此时刻的速度沿x轴的正方向
B．质点P此时刻的加速度沿y轴的正方向
C．再过半个周期时，质点P的位移为负值
D．经过一个周期，质点P通过的路程为4a
答案 CD
解析 波沿x轴正方向传播，由同侧法知，P此刻的速度沿y轴正方向，故A错误；P此刻的加速度沿y轴负方向，故B错误；再经过半个周期，质点P的位移为负值，故C正确；经过一个周期，质点P通过的路程为4a，故D正确。
2．(人教版选择性必修第一册·P65·T4改编)一列横波在t＝0时刻的波形如图甲所示，图乙表示介质中某质点的振动图像，若波沿x轴的正方向传播，则图乙为哪点的振动图像( )
A．K点 B.L点
C.M点 D.N点
答案 B
解析 由题图乙知t＝0时刻该点位移为零，所以排除K、M两点，t＝T时刻该点位移为正的最大值，所以t＝0时刻，该点的振动方向向上，波沿x轴正方向传播，由同侧法知L点振动方向向上，故B正确。
3．(2020·辽宁省部分重点中学协作体模拟改编)(多选)如图所示为一列简谐横波在t0时刻的波形图，已知波速为0.2 m/s，以下说法正确的是( )
A．波源的振动周期为0.6 s
B．经过0.1 s，质点a通过的路程为10 cm
C．经过0.1 s，波沿传播方向前进2 cm
D．若质点a比质点b先回到平衡位置，则波沿x轴负方向传播
答案 CD
解析 由图知，波长λ＝8 cm＝0.08 m，由v＝得，该波的周期T＝＝0.4 s，故A错误；t＝0.1 s＝，由于t0时刻质点a不在平衡位置和最大位移处，所以经过0.1 s，质点a通过的路程不是一个振幅10 cm，故B错误；由公式s＝vt可得s＝0.2×0.1 m＝0.02 m＝2 cm，故C正确；若质点a比质点b先回到平衡位置，说明t0时刻质点a向上运动，由波形平移法知波沿x轴负方向传播，故D正确。
4．(多选)以下关于波的衍射的说法，正确的是( )
A．波遇到障碍物时，一定会发生明显的衍射现象
B．当障碍物的尺寸比波长大得多时，会发生明显的衍射现象
C．当孔的大小比波长小时，会发生明显的衍射现象
D．通常讲话产生的声波，经过尺寸为1 m左右的障碍物时会发生明显的衍射现象
答案 CD
解析 波发生明显衍射的条件是：孔、缝的宽度或障碍物的尺寸与波长相比差不多或者比波长更小，A、B错误，C正确；通常讲话产生的声波的波长与1 m相差不多，故D正确。
5．根据多普勒效应，下列说法中正确的是( )
A．多普勒效应只适用于声波
B．当波源和观察者同向运动时，观察者接收到的频率一定比波源发出的频率低
C．当波源和观察者相向运动时，观察者接收到的频率一定比波源发出的频率高
D．当波源和观察者反向运动时，观察者接收到的频率一定比波源发出的频率高
答案 C
解析 多普勒效应适用于各种波，A错误；由于波源和观察者同向运动的快慢不确定，接收频率可能变高、不变、变低，B错误；两者相向运动时，接收频率变高，C正确；两者反向运动时，接收频率变低，D错误。
考点 1 机械波的形成与传播
1．波速与振速的区别
(1)波速：波源振动几个周期，波形就向外平移性延伸几个波长，这个比值就表示了波形向外平移性延伸(或振动能量向外传播)的速度，即波速。波速的大小与介质有关，与波源的振动频率无关，波在同一均匀介质中的传播是匀速的。
(2)振速：质点的振动速度，即为振速。波动中各质点都在平衡位置附近做周期性振动，即做变速运动，振速周期性变化。振速与质点偏离平衡位置的位移有关。
2．机械振动与机械波的区别和联系
名称
项目
机械振动
机械波
区别
运动
特点
机械振动是单个质点以平衡位置为中心所做的往复运动
机械波是介质中大量质点依次发生受迫振动而形成的“集体运动”
产生
原因
机械振动是质点受到回复力作用的结果
机械波是从波源处开始，由近及远，介质中质点依次施力带动相邻质点发生受迫振动形成的
能量
变化
情况
机械振动过程中，动能和势能不断地相互转化，总机械能守恒
波源将能量传递给相邻质点，相邻质点再将能量传递给它的相邻质点，由近及远，每个质点在不断地吸收和放出能量，从而把波源的能量传播出去，是一个能量的传播过程
联系
(1)机械波是机械振动在介质中传播形成的
(2)机械波的周期等于介质中质点机械振动的周期
(3)有机械振动不一定有机械波，但有机械波一定有机械振动
(4)波源停止振动后，介质中的机械振动并不立即停止传播，而是继续向远处传播，直到振动能量全部损耗完
3．波的传播过程中的特点
(1)波源经过一个周期T完成一次全振动，波恰好向前传播一个波长的距离，所以有v＝＝λf。
(2)质点振动nT(波传播nλ)时，波形不变。
(3)在波的传播方向上，当两质点平衡位置间的距离为nλ(n＝1,2,3，…)时，它们的振动步调总相同；当两质点平衡位置间的距离为(2n＋1)(n＝0,1,2,3，…)时，它们的振动步调总相反。
(4)波源质点的起振方向决定了它后面的质点的起振方向，各质点的起振方向与波源的起振方向相同。
4．波的传播方向与质点振动方向的互判方法
方法解读
图像演示
“上下坡”法
沿波的传播方向，“上坡”时质点向下振动，“下坡”时质点向上振动
“同侧”法
波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧
“微平移”法
将波形沿传播方向进行微小的平移，再由对应同一x坐标的两波形曲线上的点来判断振动方向
例1 (2020·四川省内江市第三次模拟改编)(多选)一列简谐横波沿x轴正方向传播，O为波源。如图所示是波源开始振动后0.1 s时的波形图，则下列判断正确的是( )
A．这列波的周期为0.4 s，振幅为20 cm
B．这列波的波速为40 m/s，波长为8 m
C．再经过0.15 s时，x＝6 m处质点的位置坐标为(x＝6 m，y＝0 cm)
D．再经过0.55 s时，x＝24 m处的质点第一次到达波峰
(1)如何确定波速？
提示：由v＝或v＝计算。
(2)如何确定一段时间后某质点的位置？
提示：先计算经多长时间振动传到这个点，再结合周期和起振方向确定质点位置。
尝试解答 选BCD。
由图可知，波源振动半个周期用时0.1 s，则波的周期为0.2 s；振幅为偏离平衡位置的最大距离，为10 cm，故A错误。波速v＝＝＝40 m/s，波长λ＝4 m×2＝8 m，故B正确。在接下来的0.15 s内，经过前面Δt1＝ s＝0.05 s，波刚好传播到x＝6 m处质点，剩下的0.1 s恰好为半个周期，x＝6 m处质点刚好振动半个周期回到平衡位置，故C正确。在接下来的0.55 s内，经过前面Δt2＝ s＝0.5 s，波刚好传播到x＝24 m处质点，剩下的0.05 s恰好为个周期，x＝24 m处质点刚好振动个周期到达波峰位置，故D正确。
机械波的特点及各物理量之间的关系
(1)介质依存性：机械波离不开介质。
(2)能量信息性：机械波传播的是振动的形式、能量和信息。
(3)传播不移性：在传播方向上，各质点只在各自平衡位置附近振动，并不随波迁移。
(4)时空重复性：机械波传播时，介质中的质点不断地重复着波源的振动形式。
(5)周期、频率同源性：介质中各质点的振动周期、频率均等于波源的振动周期、频率，且在传播中保持不变。
(6)起振同向性：介质中各质点开始振动的方向与波源开始振动的方向相同。
(7)波长、波速和频率的关系：v＝λf，f由波源决定，v由介质决定。
[变式1－1] (多选)位于坐标原点的波源在t＝0时刻开始沿y轴做简谐运动，它激起的横波沿x轴正方向传播，经一小段时间停止振动。当t＝0.15 s时，波的图像如图所示，此时波恰好传到P点，则下列说法正确的是( )
A．P点的振动频率是5 Hz
B．波长是0.4 m
C．此时P点沿y轴正方向运动
D．P点振动的总时间为0.015 s
答案 BCD
解析 据题意，该波在t＝0.15 s时间内传播的距离x＝3 m，则波速v＝＝20 m/s，由图知＝3 m－2.8 m，则波长λ＝0.4 m，由v＝λf得频率f＝＝ Hz＝50 Hz，故A错误，B正确；该简谐波向右传播，根据波形的平移法得知，此时P点沿y轴正方向运动，故C正确；周期T＝＝0.02 s，P点振动的总时间为T＝0.015 s，故D正确。
[变式1－2] (2020·陕西省渭南市教学质量检测改编)(多选)如图所示，O点为简谐横波的波源。振幅为5 cm的波从O点分别沿x轴向正方向和负方向传播，Oa＝3 m，Ob＝4 m，Oc＝6 m。t＝0时，波源O由平衡位置开始竖直向下振动；t＝6 s时，质点a第一次到达最高点，同时质点c刚好开始振动。则下列说法中正确的是( )
A．该波的周期为4 s
B．该波的波速为0.75 m/s
C．t＝6 s时质点b经过平衡位置向上运动
D．当质点c向下运动时，质点a一定向上运动
答案 AC
解析 t＝0时，波源O由平衡位置开始竖直向下振动，则每一质点开始振动时都由平衡位置竖直向下振动。根据t＝6 s时，质点a第一次到达最高点，同时质点c刚好开始振动，Oa＝3 m，Oc＝6 m，可知波速v＝＝1 m/s，t＝6 s时质点a振动了t－＝3 s＝T，则T＝4 s，故A正确，B错误；经＝4 s质点b开始振动，质点b开始振动时，从平衡位置向下振动，t＝6 s时质点b振动了＝0.5T，所以t＝6 s时质点b经过平衡位置向上运动，故C正确；质点c比质点a晚振动了个周期，当质点c向下运动时，质点a可能向上运动，也可能向下运动，故D错误。
考点 2 波动图像和振动图像的综合应用
波动图像和振动图像的比较
振动图像
波动图像
研究
对象
一振动质点
沿波传播方向的所有质点
研究
内容
一质点的位移随时间的变化规律
某时刻介质中所有质点的空间分布规律
图像
物理
意义
表示同一质点在各时刻偏离平衡位置的位移
表示介质中的各个质点在某一时刻偏离平衡位置的位移
图像
信息
(1)质点振动周期
(2)质点振幅
(3)某一质点在各时刻偏离平衡位置的位移
(4)某一质点在各时刻速度、加速度的方向
(1)波长、振幅
(2)任意一质点在该时刻偏离平衡位置的位移
(3)任意一质点在该时刻的加速度方向
(4)已知波的传播方向，可判断介质中各质点的振动方向；已知介质中某一质点的振动方向，可判断波的传播方向
图像
变化
随时间推移，图像延续，但已有形状不变
随时间推移，波形沿传播方向平移
连续重复的最短完整曲线占横坐标的距离
表示一个周期
表示一个波长
例2 (2020·东北三省三校第三次联合模拟改编)(多选)一列简谐横波，某时刻的波形如图甲所示，从该时刻开始计时，波上A质点的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是( )
A．该波沿x轴正向传播
B．该波的波速大小为1 m/s
C．经过0.3 s，A质点通过的路程为0.3 m
D．A、B两点的速度有可能相同且不为零
(1)如何确定波的传播方向？
提示：根据A在该时刻的振动方向和同侧法确定波的传播方向。
(2)如何确定A、B两点的速度是否相同？
提示：A、B两点间距为半个波长，振动情况始终相反。
尝试解答 选ABC。
由A质点的振动图像读出该时刻A质点的振动方向沿y轴负方向，由质点的振动方向与波传播方向的关系，可知波沿x轴正向传播，故A正确；由题图甲可知波长为λ＝0.4 m，由题图乙可知周期为T＝0.4 s，则波速为v＝＝1 m/s，故B正确；经过0.3 s＝T，A质点通过的路程为s＝3A＝0.3 m，故C正确；A、B两点间距为半个波长，振动情况始终相反，速度不可能相同且不为零，故D错误。
求解波动图像与振动图像综合类问题可采用“一分、一看、二找”的方法
[变式2－1] (2021·八省联考江苏卷)渔船上的声呐利用超声波来探测远方鱼群的方位。某渔船发出的一列超声波在t＝0时的波动图像如图1所示，图2为质点P的振动图像，则( )
A．该波的波速为1.5 m/s
B．该波沿x轴负方向传播
C．0～1 s时间内，质点P沿x轴运动了1.5 m
D．0～1 s时间内，质点P运动的路程为2 m
答案 D
解析 由图1可知，该波的波长λ＝1.5×10－2 m，由图2可知周期T＝1×10－5 s，则该波的波速v＝＝ m/s＝1.5×103 m/s，A错误；由图2可得，在t＝0时刻，质点P沿y轴正方向振动，由波的传播特点可知该波沿x轴正方向传播，B错误；质点P只在平衡位置附近振动，不沿x轴运动，C错误；质点P的振幅是5×10－6 m，在0～1 s时间内共振动了＝105个周期，运动的路程是s＝4×5×10－6×105 m＝2 m，D正确。
[变式2－2] (2019·全国卷Ⅰ)(多选)一简谐横波沿x轴正方向传播，在t＝时刻，该波的波形图如图a所示，P、Q是介质中的两个质点。图b表示介质中某质点的振动图象。下列说法正确的是( )
A．质点Q的振动图象与图b相同
B．在t＝0时刻，质点P的速率比质点Q的大
C．在t＝0时刻，质点P的加速度的大小比质点Q的大
D．平衡位置在坐标原点的质点的振动图象如图b所示
E．在t＝0时刻，质点P与其平衡位置的距离比质点Q的大
答案 CDE
解析 t＝时刻，质点Q在平衡位置，向上振动，对应的振动图象与图b不符，A错误；t＝0时刻的波形图如图所示(图a的波形图左移半个波长即可得到)，质点P在最低点，质点Q在平衡位置，质点Q的速率比质点P的大，质点P的加速度大小比质点Q的大，质点P此时所在位置与其平衡位置的距离为振幅，质点Q在平衡位置，与其平衡位置的距离为0，故B错误，C、E正确；t＝时刻，平衡位置在坐标原点的质点经过平衡位置向下振动，对应的振动图象与图b吻合，D正确。
考点 3 波的多解问题
一、造成波的多解问题的主要因素
1．周期性
(1)时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确。
(2)空间周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确。
2．双向性
(1)传播方向双向性：波的传播方向不确定。
(2)振动方向双向性：质点振动方向不确定。
如：①只知道质点达到最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能。
②只知道质点由平衡位置开始振动，则起振方向有向上、向下(或向左、向右)两种可能。
③只告诉波速而未说明波的传播方向，则波传播的方向有两种情形，即沿x轴正方向或沿x轴负方向传播。
二、解决波的多解问题的思路
一般采用从特殊到一般的思维方法，即先找出一个周期内满足条件的关系Δt或Δx，若此关系为时间，则t＝nT＋Δt(n＝0,1,2…)；若此关系为距离，则x＝nλ＋Δx(n＝0,1,2…)。对于双向性问题，则两个方向对应的情形都要分别考虑。
例3 (2020·四川省宜宾市三诊改编)(多选)一列简谐横波沿x轴负方向传播，t＝0时刻的波形如图中实线所示，t＝0.7 s时刻的波形如图中的虚线所示，则下列叙述正确的是( )
A．波的周期可能为0.4 s
B．波的传播速度可能为30 m/s
C．质点P在t＝0.7 s时刻向下运动
D．x＝4 m与x＝6 m两质点的运动方向总是相反
(1)如何确定波的周期？
提示：波沿x轴负方向传播，由题意可知nT＋T＝0.7 s(n＝0,1,2,3…)。
(2)x＝4 m与x＝6 m两质点的平衡位置相距多少个波长？
提示：x＝4 m与x＝6 m两质点平衡位置的间距等于波长。
尝试解答 选AC。
由题意可知nT＋T＝0.7 s(n＝0,1,2,3…)，当n＝1时，T＝0.4 s，即波的周期可能为0.4 s，A正确；由波形图可知，该波的波长为λ＝8 m，波的传播速度v＝＝ m/s＝(4n＋3) m/s(n＝0,1,2,3…)，则当v＝30 m/s时，n不是整数，B错误；根据“上下坡法”可知，质点P在t＝0.7 s时刻向下运动，C正确；x＝4 m与x＝6 m两质点平衡位置间距不等于半波长的奇数倍，可知两质点的运动方向不总是相反的，D错误。
解决波的多解问题的一般思路
(1)分析出造成多解的原因。
①波的图像的周期性，如由x＝kλ＋Δx，t＝kT＋Δt，求v＝出现多解。
②波传播方向的双向性。
(2)由λ＝vT进行计算，若有限定条件，再进行讨论。
[变式3－1] (多选)如图所示，一列振幅为10 cm的简谐横波，其传播方向上有两个质点P和Q，两者的平衡位置相距3 m。某时刻两质点均在平衡位置且二者之间只有一个波谷，再经过0.3 s，Q第一次到达波峰。则下列说法正确的是( )
A．波长可能为2 m
B．周期可能为0.24 s
C．波速可能为15 m/s
D．0.3 s内质点P的位移大小为10 cm
答案 ACD
解析 某时刻P、Q两质点均在平衡位置且二者之间只有一个波谷，故存在以下四种情况：
当P、Q之间的波的形式如图c所示时，则有＝3 m，故有λ＝2 m，故A正确；质点Q第一次到达波峰可能经历＝0.3 s或＝0.3 s，故周期T＝1.2 s 或T＝0.4 s，故B错误；图a、b、c、d的波长分别为λa＝λb＝3 m、λc＝2 m、λd＝6 m，当周期T＝1.2 s时，波速va＝vb＝2.5 m/s、vc＝ m/s、vd＝5 m/s；当T＝0.4 s时，波速va′＝vb′＝7.5 m/s、vc′＝5 m/s、vd′＝15 m/s，故C正确；经过0.3 s，当质点Q到达波峰时，图a、b中质点P到达波峰，图c质点P到达波谷，图d质点P到达波谷，故0.3 s内质点P的位移大小为10 cm，D正确。
[变式3－2] (2020·吉林省吉林市第四次调研考试)在xOy坐标平面内有一列简谐横波沿x轴正方向传播，在x轴上有相距Δs＝1.0 m的P、Q两个质点，在t＝0时刻，P质点正好位于波峰，Q质点恰在平衡位置且向y轴负方向振动，波长λ>0.5 m。试求：
(1)该简谐波的波长；
(2)若该波的频率为f＝21 Hz，则其波速v的大小。
答案 (1)见解析 (2)见解析
解析 (1)波沿x轴正方向传播，在t＝0时刻，P位于波峰处，而Q位于平衡位置且向y轴负方向振动，则有
Δs＝λ(n＝0,1,2…)
又知λ>0.5 m，解得：n<，
所以n取0或1，
当n＝0时λ1＝ m，
当n＝1时，λ2＝ m。
(2)由v＝λf知，当λ1＝ m时，v1＝28 m/s
当λ2＝ m时，v2＝12 m/s。
考点 4 波的干涉、衍射、多普勒效应
1.波的干涉中加强点与减弱点的比较
项目
区域
振幅
振动能量
加强点
A1＋A2
最大
减弱点
|A1－A2|
最小
2．波的干涉中加强点和减弱点的判断方法
(1)图像法：在某时刻的波形图上，波峰与波峰(或波谷与波谷)的交点是加强点，波峰与波谷的交点是减弱点。加强点或减弱点各自连接形成加强线和减弱线，以两波源为中心向外辐射，两种线互相间隔，这就是干涉图样，如图所示。加强点与减弱点之间各质点的振幅介于加强点与减弱点的振幅之间。
(2)公式法
①当两个相干波源的振动步调一致时，到两个波源的距离之差Δx＝nλ(n＝0,1,2，…)处是加强区，Δx＝(2n＋1)(n＝0,1,2，…)处是减弱区。
②当两个相干波源的振动步调相反时，到两个波源的距离之差Δx＝(2n＋1)(n＝0,1,2，…)处是加强区，Δx＝nλ(n＝0,1,2，…)处是减弱区。
3．多普勒效应的成因分析
(1)观测频率：观察者观测到的频率，等于观察者在单位时间内接收到的完全波的个数。
(2)当波源与观察者相互靠近时，观察者观测到的频率变大；当波源与观察者相互远离时，观察者观测到的频率变小。
例4 (2020·宁夏银川市一模改编)(多选)如图所示，水面上波源S1的振动方程为x＝20sin100πt(cm)，水面上波源S2的振动方程为x＝10sin100πt(cm)，实线与虚线分别表示S1和S2形成的两列波的波峰和波谷。此刻，M是波峰与波峰的相遇点，不考虑水波的衰减，下列说法中正确的是( )
A．这两列波的频率均为50 Hz
B．P、N两质点始终处在振动减弱位置
C．从该时刻起，经过四分之一周期，M处的质点到达平衡位置，此时位移为零
D．O、M连线的中点是振动减弱点，其振幅为10 cm
(1)两列频率相同的波相遇叠加时减弱点是否始终是减弱点？
提示：是。
(2)加强点始终在波峰或者波谷吗？
提示：不是，位移也随时间改变，位移可以为零。
尝试解答 选ABC。
由振动方程知对于两列波均有ω＝100π rad/s，则这两列波的频率均为f＝＝50 Hz，故A正确；由图可知，P、N两点均为波峰与波谷相遇位置，即为振动减弱点，则P、N两质点始终处在振动减弱位置，故B正确；题图所示时刻质点M处于波峰处，经过四分之一周期，质点M回到平衡位置，位移为0，故C正确；O、M连线的中点是振动加强点，其振幅为30 cm，故D错误。
波的干涉问题的分析
(1)在稳定的干涉区域内，振动加强点始终加强；振动减弱点始终减弱。两列相干波的波峰与波峰(或波谷与波谷)相遇处是振动最强的地方，若用一条平滑的线将以上加强点连接起来，则这条平滑的线上的点都是加强点；而波峰与波谷(或波谷与波峰)相遇处是振动最弱的地方，把以上减弱点用一条平滑的线连接起来，则这条平滑的线上的点都是减弱点。
(2)不论是振动加强的质点还是振动减弱的质点，都仍在其平衡位置附近振动。某点的振动加强，是指这个质点以较大的振幅振动；而某点的振动减弱，是指这个质点以较小的振幅振动，因此，振动加强点的位移不是始终等于振幅，它的位移的大小和方向随时间在发生周期性的变化。
[变式4－1] (2020·甘肃省兰州市诊断性考试改编)(多选)如图所示，波速均为2.0 m/s的两列简谐波分别从波源x＝0和x＝12 m处沿x轴相向传播，t＝0时的波形如图所示，则以下说法正确的是( )
A．两列波的频率均为0.25 Hz
B．t＝1.0 s时两波相遇
C．两波相遇过程中x＝5 m处和x＝7 m处的质点振动减弱
D．t＝1.5 s时，x＝6 m处质点的位移为最大值
答案 BCD
解析 由题图可知，两列波的波长均为λ＝4 m，则频率均为f＝＝ Hz＝0.5 Hz，A错误。两波相遇时需要的时间为t＝＝ s＝1 s，即t＝1.0 s时两波相遇，B正确。x＝5 m处和x＝7 m处质点到两波源的距离之差均等于2 m，为半波长的奇数倍，而两波源振动步调一致，则两处的质点振动减弱，C正确。波的周期为T＝2 s，x＝6 m处为振动加强点，在t＝1 s时，两列波在x＝6 m处相遇，此后x＝6 m处质点经过0.5 s到达负向最大位置，则t＝1.5 s时，x＝6 m处质点的位移为负向最大值，D正确。
[变式4－2] (2020·北京市东城区一模)机械波和电磁波都能产生多普勒效应。下列现象中不属于利用多普勒效应的是( )
A．交通警察利用测速仪向行进中的车辆发射频率已知的超声波，根据反射波的频率变化判断车速
B．医生向人体内发射频率已知的超声波，根据接收到的被血管中的血流反射后的超声波的频率变化，判断血流的速度是否正常
C．发生雷电时，人们利用看见闪电与听见雷声的时间间隔来估算自己与雷电发生处之间的距离
D．天文学上通过对比某些元素在遥远天体上的发光频率与其静止在地球上的发光频率，判断天体相对于地球的运动速度
答案 C
解析 交通警察利用测速仪向行进中的车辆发射频率已知的超声波，根据反射波的频率变化判断车速，利用了声波多普勒效应的原理，A不符合题意；医生向人体内发射频率已知的超声波，根据接收到的被血管中的血流反射后的超声波的频率变化，判断血流的速度是否正常，也属于声波多普勒效应的应用，B也不符合题意；发生雷电时，人们利用看见闪电与听见雷声的时间间隔来估算自己与雷电发生处之间的距离是利用了光速远大于声速，用这个时间间隔乘声速来估算的，故它不属于多普勒效应的应用，C符合题意；天文学上通过对比某些元素在遥远天体上的发光频率与其静止在地球上的发光频率，判断天体相对于地球的运动速度是属于光波的多普勒效应的原理应用，D不符合题意。
[变式4－3] (2020·广西柳州高级中学4月线上测试)下图为某一报告厅主席台的平面图，AB是讲台，S1、S2是与讲台上话筒等高的喇叭，它们之间的相互位置和尺寸如图所示。报告者的声音放大后经喇叭传回话筒再次放大时可能会产生啸叫。为了避免啸叫，话筒最好摆放在讲台上适当的位置，在这些位置上两个喇叭传来的声音因干涉而相消。已知空气中声速为340 m/s，若报告人声音的频率为136 Hz，问讲台上这样的位置有多少个？
答案 4个
解析 声音频率为f＝136 Hz的声波在空气中传播时的波长是：λ＝＝ m＝2.5 m，
如图所示，O是AB的中点，P是OB上任一点。－＝k·，式中k为实数，
当k＝0,2,4…时，从两个喇叭传来的声波因干涉而相互加强；
当k＝1,3,5…时，从两个喇叭传来的声波因干涉而相消。由此可知，O是干涉加强点；
根据几何知识可得：＝20 m，＝15 m，则对于B点，－＝20 m－15 m＝4·，因而O、B之间有两个干涉相消点，由对称性可知，AB上有4个干涉相消点，故讲台上这样的位置有4个。
1．(2020·全国卷Ⅰ)(多选)在下列现象中，可以用多普勒效应解释的有( )
A．雷雨天看到闪电后，稍过一会儿才能听到雷声
B．超声波被血管中的血流反射后，探测器接收到的超声波频率发生变化
C．观察者听到远去的列车发出的汽笛声，音调会变低
D．同一声源发出的声波，在空气和水中传播的速度不同
E．天文学上观察到双星(相距较近、均绕它们连线上某点做圆周运动的两颗恒星)光谱随时间的周期性变化
答案 BCE
解析 多普勒效应是指：波源与观察者互相靠近或者互相远离时，观察者接收到的波的频率会发生变化的现象。雷雨天先看到闪电后听到雷声，是因为在空气中声音的传播速度比光的传播速度慢，与多普勒效应无关，A错误；流动的血液与探测器的距离在不断变化，由多普勒效应可知，探测器接收到的血流反射的超声波频率发生变化，B正确；列车远离观察者时，由多普勒效应可知，观察者接收到的列车发出汽笛声的声波频率变低，即听到汽笛声的音调变低，C正确；同一声源发出的声波，在空气和水中传播的速度不同，是因为声波从一种介质进入另一种介质时，波长发生了变化，与多普勒效应无关，D错误；双星做圆周运动的过程中，到地球的距离随时间周期性变化，由多普勒效应可知，在地球上接收到的双星上某些元素发出的光波频率随时间周期性变化，即观察到双星光谱随时间周期性变化，E正确。
2．(2020·山东高考)一列简谐横波在均匀介质中沿x轴负方向传播，已知x＝λ处质点的振动方程为y＝Acos，则t＝T时刻的波形图正确的是( )
答案 D
解析 根据题意可知，t＝T时刻，x＝λ＝λ＋λ处质点处于y＝Acos＝Acos＝Acos＝0，即此时该质点位于平衡位置，且向y轴正方向运动，又因为横波沿x轴负方向传播，根据同侧法判断可知，A、B、C错误，D正确。
3．(2020·北京高考)一列简谐横波某时刻波形如图甲所示。由该时刻开始计时，质点L的振动情况如图乙所示。下列说法正确的是( )
A．该横波沿x轴负方向传播
B．质点N该时刻向y轴负方向运动
C．质点L经半个周期将沿x轴正方向移动到N点
D．该时刻质点K与M的速度、加速度都相同
答案 B
解析 由图乙可知，该时刻即t＝0时刻质点L向y轴正方向运动，结合图甲利用“上下坡法”或者“微平移法”可知，该列横波沿x轴正方向传播，所以质点N该时刻向y轴负方向运动，故A错误，B正确；对于该简谐横波，质点L只在其平衡位置附近沿y轴方向上下振动，不会沿x轴方向移动，故C错误；该时刻质点K与M的速度均为零，质点K的加速度沿y轴负方向，质点M的加速度沿y轴正方向，所以加速度不同，故D错误。
4．(2020·天津高考) 一列简谐横波沿x轴正方向传播，周期为T，t＝0时的波形如图所示。t＝时( )
A．质点a速度方向沿y轴负方向
B．质点b沿x轴正方向迁移了1 m
C．质点c的加速度为零
D．质点d的位移为－5 cm
答案 C
解析 经过，波沿x轴正方向传播的距离为，则t＝时的波形如图所示。由图可知，质点a恰好运动到平衡位置且速度沿y轴正方向，A错误；质点b只在y轴方向上运动，不会随波沿x轴正方向迁移，B错误；质点c恰好运动到平衡位置，速度最大，加速度为零，C正确；质点d恰好运动到正向最大位移处，位移为5 cm，D错误。
5．(2020·浙江7月选考)(多选)如图所示，x轴上－2 m、12 m处有两个振动周期均为4 s、振幅均为1 cm的相同的波源S1、S2，t＝0时刻同时开始竖直向下振动，产生波长均为4 m沿x轴传播的简谐横波。P、M、Q分别是x轴上2 m、5 m和8.5 m的三个点，下列说法正确的是( )
A．6.0 s时P、M、Q三点均已振动
B．8.0 s后M点的位移始终是2 cm
C．10.0 s后P点的位移始终是0
D．10.5 s时Q点的振动方向竖直向下
答案 CD
解析 波速为v＝＝ m/s＝1 m/s，在6.0 s内两列波传播了6 m，则6.0 s时P、Q两点已振动，但是M点还未振动，A错误。因M点到两个波源的距离相等，则M点是振动加强点，振幅为2 cm，但两波相遇后，即＝ s＝7 s后，M点的位移不是始终为2 cm，B错误。P点到两波源的距离差为6 m＝1λ，则P点为振动减弱点，振幅为零，即＝ s＝10.0 s后P点的位移始终为零，C正确。波源S1的振动传到Q点所用的时间为t1＝＝ s＝10.5 s，则10.5 s时Q点由S1引起的振动在平衡位置且速度向下；波源S2的振动传到Q点所用的时间为t2＝＝ s＝3.5 s，则10.5 s时Q点由S2引起的振动已经振动了7 s＝1T，此时Q点由S2引起的振动在最高点且速度为零，由波的叠加原理知，10.5 s时Q点的振动方向竖直向下，D正确。
6．(2019·全国卷Ⅲ)(多选)水槽中，与水面接触的两根相同细杆固定在同一个振动片上。振动片做简谐振动时，两根细杆周期性触动水面形成两个波源。两波源发出的波在水面上相遇，在重叠区域发生干涉并形成了干涉图样。关于两列波重叠区域内水面上振动的质点，下列说法正确的是( )
A．不同质点的振幅都相同
B．不同质点振动的频率都相同
C．不同质点振动的相位都相同
D．不同质点振动的周期都与振动片的周期相同
E．同一质点处，两列波的相位差不随时间变化
答案 BDE
解析 两列波相遇叠加产生干涉，一些质点的振动加强，一些质点的振动减弱，即振幅不同，A错误；各质点的振动频率、周期都与振动片相同，B、D正确；不同质点振动的相位不同(不是同时到达正的最大位移处)，C错误；两列波频率相同，在同一质点处的相位差恒定，E正确。
7．(2019·天津高考)(多选)一列简谐横波沿x轴传播，已知x轴上x1＝1 m和x2＝7 m处质点的振动图象分别如图1、图2所示，则此列波的传播速率可能是( )
A．7 m/s B.2 m/s
C.1.2 m/s D.1 m/s
答案 BC
解析 由振动图象可知周期T＝4 s，零时刻x1处质点在平衡位置且向下振动，而x2处质点在正的最大位移处。①若波沿x轴正方向传播，其波形如图甲所示，x2处质点的平衡位置可能在A1或A2或A3……
则有：x2－x1＝λ(n＝0、1、2…)，
得波速v＝＝＝ m/s(n＝0、1、2…)，
当n＝0时，v＝6 m/s，当n＝1时，v＝1.2 m/s，
当n＝2时，v＝ m/s，C正确。
②若波沿x轴负方向传播，其波形如图乙所示，x2处质点的平衡位置可能在A1或A2或A3……
则有x2－x1＝λ(n＝0、1、2…)，
得波速v＝＝＝ m/s(n＝0、1、2…)，
当n＝0时，v＝2 m/s，当n＝1时，v≈0.86 m/s，B正确。
8. (2018·全国卷Ⅲ)(多选)一列简谐横波沿x轴正方向传播，在t＝0和t＝0.20 s时的波形分别如图中实线和虚线所示。已知该波的周期T>0.20 s。下列说法正确的是( )
A．波速为0.40 m/s
B．波长为0.08 m
C．x＝0.08 m的质点在t＝0.70 s时位于波谷
D．x＝0.08 m的质点在t＝0.12 s时位于波谷
E．若此波传入另一介质中其波速变为0.80 m/s，则它在该介质中的波长为0.32 m
答案 ACE
解析 根据波形图可知，波长λ＝16 cm＝0.16 m，B错误；根据t＝0时刻和t＝0.20 s时刻的波形图可知T＝0.2 s，T＝ s(n＝0,1,2,3，…)，而已知该波的周期T>0.20 s，故该波的周期T＝0.40 s，波速v＝＝0.40 m/s，A正确；简谐横波沿x轴正方向传播，x＝0.08 m的质点在t＝0时刻沿y轴正方向运动，在t＝0.70 s＝1T时位于波谷，在t＝0.12 s＝T时位于y>0的某位置(不是位于波谷)，C正确，D错误；若此波传入另一介质中，周期T不变，其波速变为v′＝0.80 m/s，由λ′＝v′T可得它在该介质中的波长为λ′＝0.80×0.4 m＝0.32 m，E正确。
9．(2016·全国卷Ⅲ)(多选)由波源S形成的简谐横波在均匀介质中向左、右传播。波源振动的频率为20 Hz，波速为16 m/s。已知介质中P、Q两质点位于波源S的两侧，且P、Q和S的平衡位置在一条直线上，P、Q的平衡位置到S的平衡位置之间的距离分别为15.8 m、14.6 m。P、Q开始振动后，下列判断正确的是( )
A．P、Q两质点运动的方向始终相同
B．P、Q两质点运动的方向始终相反
C．当S恰好通过平衡位置时，P、Q两点也正好通过平衡位置
D．当S恰好通过平衡位置向上运动时，P在波峰
E．当S恰好通过平衡位置向下运动时，Q在波峰
答案 BDE
解析 由波速公式v＝λf得λ＝＝0.8 m，LSP＝λ＝19λ，LSQ＝λ＝18λ，由波动的周期性，采用“去整留零”的方法，可在波形图上标出S、P、Q三点的位置，如图所示，由图可知，P、Q两点的运动方向始终相反，A项错误，B项正确；S在平衡位置时，P、Q一个在波峰，一个在波谷，C项错误；当S恰通过平衡位置向上运动时，P在波峰，Q在波谷，反之则相反，故D、E两项正确。
10．(2020·全国卷Ⅲ)如图，一列简谐横波平行于x轴传播，图中的实线和虚线分别为t＝0和t＝0.1 s时的波形图。已知平衡位置在x＝6 m处的质点，在0到0.1 s时间内运动方向不变。这列简谐波的周期为________ s，波速为________ m/s，传播方向沿x轴________(填“正方向”或“负方向”)。
答案 0.4 10 负方向
解析 因为x＝6 m处的质点在0～0.1 s内运动方向不变，所以该处质点从正向最大位移处经过四分之一个周期向下运动至平衡位置处，即T＝0.1 s，解得周期为T＝0.4 s；所以波速为v＝＝＝10 m/s；由以上分析可知，在t＝0.1 s时(虚线波形)，x＝6 m处的质点向下运动，根据同侧法可知，波沿x轴负方向传播。
11．(2018·全国卷Ⅱ)声波在空气中的传播速度为340 m/s，在钢铁中的传播速度为4900 m/s。一平直桥由钢铁制成，某同学用锤子敲击一铁桥的一端而发出声音，分别经空气和桥传到另一端的时间之差为1.00 s。桥的长度为________ m，若该波在空气中的波长为λ，则它在钢铁中波长为λ的________倍。
答案 365
解析 设桥的长度为s，则声音在钢铁中传播的时间
t＝＝，
声音在空气中的传播时间为t′＝＝，
根据题意Δt＝t′－t＝－＝1 s，
解得：s＝365 m。
声音在不同介质中的频率是不会改变的，
由公式λ＝可知＝，
解得λ钢＝λ空＝λ＝λ。
12．(2020·全国卷Ⅰ) 一振动片以频率f做简谐振动时，固定在振动片上的两根细杆同步周期性地触动水面上a、b两点，两波源发出的波在水面上形成稳定的干涉图样。c是水面上的一点，a、b、c间的距离均为l，如图所示。已知除c点外，在ac连线上还有其他振幅极大的点，其中距c最近的点到c的距离为l。求
(1)波的波长；
(2)波的传播速度。
答案 (1)l (2)fl
解析 (1)如图，设在ac连线上距c点最近的振幅极大的点为d点，a与d的距离为r1，b与d的距离为r2，波的波长为λ，则
r2－r1＝λ ①
由几何关系有
r1＝l－l ②
r＝(r1sin60°)2＋(l－r1cos60°)2 ③
联立①②③式可得
λ＝l。 ④
(2)波的频率为f，设波的传播速度为v，则有
v＝fλ ⑤
联立④⑤式可得
v＝fl。 ⑥
13．(2018·全国卷Ⅰ)一列简谐横波在t＝ s时的波形图如图a所示，P、Q是介质中的两个质点。图b是质点Q的振动图象。求：
(1)波速及波的传播方向；
(2)质点Q的平衡位置的x坐标。
答案 (1)18 cm/s 波沿x轴负方向传播 (2)9 cm
解析 (1)由题图a可以看出，该波的波长为λ＝36 cm ①
由题图b可以看出，周期为T＝2 s ②
波速为v＝＝18 cm/s ③
由题图b知，当t＝ s时，Q点向上运动，结合题图a可得，波沿x轴负方向传播。
(2)设质点P、Q平衡位置的x坐标分别为xP、xQ。
由图a知，x＝0处y＝－＝Asin(－30°)，
因此xP＝λ＝3 cm ④
由图b知，在t＝0时Q点处于平衡位置，经Δt＝ s，其振动状态向x轴负方向传播至P点处，
由此及③式有xQ－xP＝vΔt＝6 cm ⑤
由④⑤式得，质点Q的平衡位置的x坐标为xQ＝9 cm。
时间：60分钟 满分：100分
一、选择题(本题共10小题，每小题7分，共70分。其中1～6题为单选，7～10题为多选)
1．(2020·山东省菏泽市第一中学高三4月线上模拟)关于机械波的特性，下列说法正确的是( )
A．只有波长比障碍物的尺寸小或相差不多的时候才会发生明显的衍射现象
B．火车鸣笛时向我们驶来，听到的笛声频率将比声源发出的频率低
C．只要是性质相同的波，都可以发生干涉
D．向人体内发射频率已知的超声波被血管中的血液反射后又被仪器接收，测出反射波的频率变化就能知道血液的速度，这种方法应用的是多普勒效应
答案 D
解析 只有波长比障碍物的尺寸大或相差不多的时候才会发生明显的衍射现象，故A错误；火车鸣笛向我们驶来时，声源与我们之间的间距变小，则我们听到的笛声频率将比声源发出的频率高，故B错误；产生干涉的两个必要条件是：两列波的频率相同，两个波源的相位差保持不变，故C错误；向人体发射频率已知的超声波，超声波被血管中的血流反射后又被仪器接收，测出反射波的频率变化就能知道血液的速度，这种方法应用的是多普勒效应，故D正确。
2. (2019·北京高考)一列简谐横波某时刻的波形如图所示，比较介质中的三个质点a、b、c，则( )
A．此刻a的加速度最小
B．此刻b的速度最小
C．若波沿x轴正方向传播，此刻b向y轴正方向运动
D．若波沿x轴负方向传播，a比c先回到平衡位置
答案 C
解析 此刻a在位移最大处，由a＝－知，此刻a的加速度最大，A错误；此刻b位于平衡位置，其速度最大，B错误；若波沿x轴正方向传播，根据“带动法”知，此刻b左侧的质点带动b向y轴正方向运动，C正确；若波沿x轴负方向传播，则c向y轴正方向运动，故c比a先回到平衡位置，D错误。
3．(2018·北京高考) 如图所示，一列简谐横波向右传播，P、Q两质点平衡位置相距0.15 m。当P运动到上方最大位移处时，Q刚好运动到下方最大位移处，则这列波的波长可能是( )
A．0.60 m B.0.30 m
C.0.20 m D.0.15 m
答案 B
解析 可以画出PQ之间的最简单的波形，如图所示，同时由于PQ可以含有多个完整的波形，则xPQ＝λ(n＝0,1,2，…)，整理可以得到λ＝(n＝0,1,2，…)，当n＝0时，λ＝0.30 m，当n＝1时，λ＝0.10 m，故B正确，A、C、D错误。
4．(2021·北京市昌平区高三上期末质量抽测)一根粗细均匀的绳子，右端固定，S点上下振动，产生向右传播的机械波，某时刻的波形如图所示。下列说法中正确的是( )
A．波源振动的频率逐渐增大
B．波的传播速度逐渐减小
C．各处的波长相等
D．此时刻质点P的速度方向向上
答案 A
解析 波向右传播，由波形图可知，由振源振动形成的机械波的波长逐渐减小，由于机械波在同一种介质中的波速不变，根据f＝可知波源振动的频率逐渐变大，A正确，B、C错误；波向右传播，由波形图可知，此时刻质点P的速度方向向下，D错误。
5．(2021·八省联考湖北卷)一列简谐横波沿x轴正方向传播，其波速为10 m/s，t＝0时刻的波形如图所示。下列说法正确的是( )
A．0～0.6 s时间内，质点P运动的路程为18 cm
B．t＝0.6 s时刻，质点P相对平衡位置的位移是6 cm
C．t＝1.2 s时刻，质点Q加速度最大
D．t＝1.4 s时刻，质点M沿y轴负方向运动
答案 A
解析 该机械波的周期为T＝＝0.8 s,0～0.6 s时间内，质点P运动了个周期，其路程为3A＝18 cm，A正确；t＝0.6 s时刻，质点P到达平衡位置，则此时相对平衡位置的位移是零，B错误；因为t＝1.2 s＝1T，则t＝1.2 s时刻，质点Q运动到平衡位置，加速度为零，C错误；经过1.4 s波向前传播x＝vt＝14 m＝1λ，则t＝1.4 s时刻，质点M在平衡位置以下沿y轴正方向运动，D错误。
6. (2021·八省联考辽宁卷)如图所示，在xOy平面内有两个沿z轴方向(垂直xOy平面)做简谐运动的点波源S1(1,0)和S2(4,0)，振动方程分别为zS1＝Asin、zS2＝Asin。两列波的波速均为1 m/s。两列波在点B(2.5,3)和点C(4,4)相遇时，分别引起B、C处质点的振动总是相互( )
A．加强、加强 B.减弱、减弱
C．加强、减弱 D.减弱、加强
答案 D
解析 因为B点距两波源距离相同，而两波源的振动步调相反，所以两列波在B处的叠加总是相互减弱。由振动方程可知，周期为T＝ s＝2 s，波长为λ＝vT＝2 m，根据几何关系，C距两波源的距离差为Δs＝1 m＝λ，而两波源的振动步调相反，所以两列波在C点的叠加总是相互加强。故选D。
7．(2020·贵州省贵阳市高三下学期开学调研)一列简谐横波沿x轴正方向传播，t时刻波形图如图中的实线所示，此时波刚好传到P点，t＋0.6 s时刻的波形如图中的虚线所示，a、b、c、P、Q是介质中的质点，则以下说法正确的是( )
A．这列波的波速可能为50 m/s
B．质点a在这段时间内通过的路程一定小于30 cm
C．若有另一周期为0.16 s的简谐横波与此波相遇，可能产生稳定的干涉现象
D．若T＝0.8 s，t＋0.5 s时刻，质点b、P的位移相同
答案 ACD
解析 由图可知，波的波长为40 m，且0.6 s＝T，故周期T＝ s，波速为：v＝＝×(4n＋3) m/s＝ m/s，(n＝0,1,2…)，当n＝0时v＝50 m/s，故A正确；质点a在平衡位置上下振动，振动的最少时间为T，故路程最小为3A即30 cm，故B错误；当n＝3时，T＝0.16 s，故若有另一周期为0.16 s的简谐波与此波相遇，可能产生稳定的干涉现象，C正确；若T＝0.8 s，因波沿x轴正方向传播，所以在t时刻质点P向上振动，t＋0.5 s时，经过T，P正在平衡位置下方向下运动，位移为－5 cm，而质点b正在平衡位置下方并向上运动，位移为－5 cm，两个质点的位移相同，故D正确。
8．(2020·河北省保定市二模改编)某介质中两个波源A、B同时开始振动，它们的振动图像如图乙所示。已知A、B、C在一条直线上，AB＝2 m，BC＝3 m，两波源引起的机械波在介质中传播的速度均为10 m/s。下列说法中正确的是( )
A．两列波在介质中传播的叠加区域内可能会发生干涉现象
B．A波的波长为4 m
C．B波的波长为6 m
D．t＝1.2 s时在C位置的质点的位移为－3 m
答案 BCD
解析 由题图乙可知，波源A、B的周期分别为TA＝0.4 s，TB＝0.6 s，波源振动周期不同，不会发生干涉，故A错误。λA＝vTA＝4 m/s，λB＝vTB＝6 m/s，故B、C正确。波源A引起的机械波经0.5 s传递到C点，起振方向向上，振幅为3 cm，再经过0.7 s即TA，振动位移为－3 cm；波源B引起的机械波经0.3 s传递到C点，起振方向向下，振幅为4 cm，再经过0.9 s即TB，振动位移为0 cm，两列波叠加后C点振动位移为－3 cm，故D正确。
9．(2021·天津南开区高三上期末)在均匀介质中有一位于坐标原点O处的波源做简谐振动，其振动图像如图甲所示，波源形成的简谐横波沿x轴正方向传播，t＝t1时刻的波形图如图乙所示，此时x＝8 m处的质点刚好振动了2 s。则( )
A．该波沿x轴方向传播的波速为2 m/s
B．该波源开始振动的方向沿y轴负方向
C．t1时刻x＝8 m处质点的振动方向沿y轴正方向
D．t1时刻之后再经过10 s，平衡位置为x＝32 m处的质点开始振动
答案 AD
解析 由甲、乙两图可知v＝＝ m/s＝2 m/s，故A正确；由图甲可知，波源起振方向沿y轴正方向，故B错误；由波形图可知，t1时刻x＝8 m处质点的振动方向沿y轴负方向，故C错误；经过10 s波传播的距离为x＝vt＝20 m，则t1时刻之后再经过10 s，x＝12 m处的振动形式刚好传到x＝32 m处，即x＝32 m处的质点开始振动，故D正确。
10．(2020·河南省六市第二次联合调研改编)有一列沿x轴传播的简谐横波，从某时刻开始，介质中位置在x＝0处的质点a和在x＝6 m处的质点b的振动图线分别如图甲、乙所示。则下列说法正确的是( )
A．质点a处在波谷时，质点b一定处在平衡位置且向y轴正方向振动
B．质点a的振动方程为y＝2sin cm
C．若波的传播速度为0.2 m/s，则这列波沿x轴正方向传播
D．若波沿x轴负方向传播，这列波最大波长为24 m
答案 ACD
解析 根据图像知，质点b相位比质点a相位超前，所以质点a处在波谷时，质点b一定处在平衡位置且向y轴正方向振动，故A正确；由图甲可知，质点a的振动周期为T＝8 s，可得ω＝＝rad/s，振幅为A＝4 cm，质点a的振动方程为y＝Asin＝4sin，故B错误；若波的传播速度为0.2 m/s，则λ＝vT＝1.6 m，质点a、b之间的距离为6 m＝3λ，由题图甲、乙可知，该波只能沿x轴正方向传播，故C正确；由图甲、乙知，若该波沿x轴负方向传播，则有xab＝λ＋kλ＝6 m(k＝0,1,2…)，解得λ＝ m，当k＝0时，波长最长，为λm＝24 m，故D正确。
二、非选择题(本题共3小题，共30分)
11．(2020·安徽省皖南八校临门一卷)(10分)如图所示，一列简谐横波沿x轴传播，t＝0.2 s时刻的波形如下图中实线所示，t＝0.5 s时刻的波形如图中虚线所示，t＝0时刻，x＝2 m处的质点正处在波谷，周期T＞0.5 s，求：
(1)这列波传播的方向及传播的速度；
(2)从t＝0时刻开始，波传播3 s后，x＝2 m处的质点运动的路程为3 m，求该质点的振幅和t＝2.5 s时的位移。
答案 (1)沿x轴正方向传播 10 m/s
(2)0.2 m － m
解析 (1)周期T＞0.5 s，因此波从实线位置到虚线位置的时间间隔Δt＝0.3 s
解得T＝0.48 s＜0.5 s，因此假设不成立，则这列波沿x轴正方向传播，则T＝0.3 s
解得T＝0.8 s
波传播的速度v＝＝10 m/s。
(2)由题有3 s＝3T
x＝2 m处的质点运动的路程s＝3×4A＝3 m
解得A＝0.2 m
该质点的振动方程为y＝－0.2cost(m)
则当t＝2.5 s时，该质点的位移为y＝－ m。
12．(2020·广东省深圳市第二次调研)(10分)如图，在平静的湖面上相距12 m的B、C处分别有一片小树叶，将一枚小石子投到B、C连线左侧的O点，OB＝6 m，经过24 s，第1个波峰传到B处树叶时，第13个波峰刚好在O点形成。求：
(1)这列水波的波长和水波的频率；
(2)从第1个波峰传到B处树叶算起，需要多长时间C处树叶开始振动。
答案 (1)0.5 m Hz (2) s
解析 (1)由题意可知，水波的波长为λ＝＝0.5 m
解法一：石子入水引起的振动是先向下，故第1个波峰传到B处树叶时，在B右侧还有个波长，即24 s内波源O共产生并传播出12个波长，水波的频率为：
f＝ Hz＝ Hz。
解法二：波速为v＝＝ m/s＝ m/s
频率为f＝＝ Hz。
(2)振动从波源O传到C处树叶所用时间
tO C＝＝＝ s
故从第1个波峰传到B处树叶算起，到C处树叶开始振动需要的时间为t＝tO C－24 s＝ s。
13．(2020·河南省洛阳市第三次统一考试)(10分)在某介质中形成一列简谐波，t＝0时刻的波形如图中的实线所示。若波向右传播，t＝0时刻刚好传到A点，且再经过0.6 s，P点也开始起振，求：
(1)该列波的周期T为多少？
(2)从t＝0时起到P点第一次达到波峰时止，O点相对平衡位置的位移y0及其所经过的路程s0各为多少？
答案 (1)0.2 s (2)－0.02 m 0.3 m
解析 (1)波速v＝＝ m/s＝10 m/s，
由v＝
得T＝＝0.2 s。
(2)由t＝0至P点第一次到达波峰，
经历的时间Δt2＝Δt1＋T＝0.75 s＝T
而t＝0时O点的振动方向沿y轴正方向，
故经时间Δt2，O点振动到波谷，即y0＝－2 cm＝－0.02 m，s0＝×4A＝0.3 m。
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