2022-2023学年重庆市缙云教育联盟高二上学期11月质量检测数学试题 （解析版）

这是一份2022-2023学年重庆市缙云教育联盟高二上学期11月质量检测数学试题 （解析版），共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，单空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
重庆缙云教育联盟2021-2022学年（上）11月月度考试
高二数学
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1. 下列结论中正确的个数为（ ）
（1）是直线：和直线：垂直的充要条件；
（2）在线性回归方程中，相关系数越大，变量间的相关性越强；
（3）已知随机变量，若，则；
（4）若命题：，，则：，使.
A. 4 B. 0 C. 3 D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】（1）涉及直线与直线垂直的充要条件的应用，利用两直线垂直系数关系求解即可判断真假；
（2）考查相关系数与相关性关系的应用，可直接判断真假；
（3）考查正态分布曲线的应用，通过曲线性质可求解，进而可判断真假；
（4）由全称量词命题的否定，可判断真假.
【详解】对于（1），若直线：和直线：垂直，则，解得，或，所以是直线：和直线：垂直的充分不必要条件，故（1）错误；
对于（2），在线性回归方程中，相关系数越大，变量间的相关性越强，故（2）错误；
对于（3），随机变量，若，，由对称性可得，，故（3）正确；
对于（4），：，故（4）错误．
所以正确的只有（3）．
故选：D.
2. 已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】令，求出单调性和奇偶性，将不等式转化为求解即可．
【详解】解：令，则，
因为当时，，所以在上单调递增．
不等式可变形为，即．
因为是偶函数，所以也是偶函数．
等价于，
原不等式等价于，即，
解得
故选：D.
3. 已知向量，且，若实数均为正数，则的最小值是（ ）
A. 24 B. C. D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量共线得等量关系，再根据基本不等式求最值.
【详解】
所以
当且仅当时取等号,
故选：D
【点睛】本题考查根据向量共线得关系式以及利用基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
4. 若为虚数单位，复数在复平面中对应的点为，则的值是（ ）
A. 1 B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】由题意得的，根据，即可得到结果.
【详解】∵复数在复平面中对应的点为，
∴，又，
∴，
故选D.
【点睛】本题考查复数的几何意义与乘方运算，考查计算能力，属于常考题型.
5. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段事件内没有发生大规模群体感染的标志是“连续日，每天新增疑似病例不超过人”．过去日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：
甲地：总体平均数为，中位数为；       
乙地：总体平均数为，总体方差大于；
丙地：中位数为，众数为；                 
丁地：总体平均数为，总体方差为．
则甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（       ）
A. 甲地 B. 乙地 C. 丙地 D. 丁地
【答案】D
【解析】
【分析】通过反例可知甲乙丙三地均不符合没有发生大规模群体感染的标志，假设丁地某天数据为，结合平均数可知方差必大于，由此知丁地没有发生大规模群体感染.
【详解】对于甲地，若连续日的数据为，则满足平均数为，中位数为，但不符合没有发生大规模群体感染的标志，A错误；
对于乙地，若连续日的数据为，则满足平均数为，方差大于，但不符合没有发生大规模群体感染的标志，B错误；
对于丙地，若连续日的数据为，则满足中位数为，众数为，但不符合没有发生大规模群体感染的标志，C错误；
对于丁地，若总体平均数为，假设有一天数据为人，则方差，不可能总体方差为，则不可能有一天数据超过人，符合没有发生大规模群体感染的标志，D正确.
故选：D.
6. 如图所示的多面体，底面ABCD为长方形，DF⊥平面ABCD，DFCC1BE，AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1，则点C到平面AEC1F的距离为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，计算平面AEC1F的法向量，利用点到面距离的向量公式即得解
【详解】以D为原点，分别以DA，DC，DF所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，

则D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.
∴=（-2，4，3），=（0，4，1）.
设为平面AEC1F的法向量，=（x，y，z），
由，得，
令z=1，∴，即=（1，-，1）.
又=（0，0，3），
∴点C到平面AEC1F的距离d=.
故选：D
7. 已知是空间的一个基底，若，则下列可以为空间一个基底的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间向量共面定理和基底的概念，逐项检验，即可得到正确结果.
【详解】由于，可知共面，所以选项A不能作为空间的一个基底；
由于，可知共面，所以选项B不能作为空间的一个基底；
由于，可知共面，所以选项C不能作为空间的一个基底；
假设不是空间的一组基底，即向量共面，则存在实数使得，即，
所以,
因为是空间的一组基底，所以的值不存在，即可向量不共面，所以是空间的一组基底，所以选项D正确；
故选:D.
8. 过椭圆的右焦点作轴的垂线，交于A，B两点，直线过的左焦点和上顶点.若以为直径的圆与存在公共点，则的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线过的左焦点和上顶点写出直线的方程，再根据过椭圆的右焦点的直线与轴垂直，交于A，B两点，得到以为直径的圆的圆心和半径为，然后再根据为直径的圆与存在公共点，由圆心到直线的距离不大于半径求解.
【详解】由题意得：左焦点上顶点，
所以直线l的方程为，即，
因为过椭圆的右焦点的直线与轴垂直，交于A，B两点，
所以以为直径的圆的圆心为右焦点，半径为，
因为以为直径的圆与存在公共点，
所以圆心到直线的距离不大于半径，
即，即，
所以，
所以，
故选：A
【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质和直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
9. 双曲线的左右焦点分别为，，倾斜角为的直线过双曲线的右焦点，与双曲线右支交于两点，且，则（ ）
A. 双曲线的离心率为 B. 与内切圆半径比为
C. 与周长之比为 D. 与面积之比为
【答案】BD
【解析】
【分析】设设，则，则，，在和中由余弦定理可得，即可得离心率可判断A；将代入可得，进而可得与周长可判断C；由可得与面积之比可判断D；由三角形的面积等于乘以三角形的周长再乘半径结合周长之比可得内切圆的半径之比，可判断B，进而可得正确选项.
【详解】设，则，
由双曲线的定义可得：，，
在中，由余弦定理可得：，
即，所以
在中，由余弦定理可得：，
即，所以，
可得，所以，所以离心率，故选项A不正确；
设点到直线的距离为，则，故选项D正确；
将代入可得：，
所以的周长为，
的周长为，
所以与周长之比为，故选项C不正确；
设与内切圆半径分别为，，
的面积与的面积之比为，
所以，故选项B正确；
故选：BD.
10. 已知圆：，过点作圆的两条切线，切点分别为，，直线与交于点，则下列结论正确的是（ ）
A. 点为轴上一个动点，四边形周长的最小值为
B. 若，则三角形的面积为
C. 若，则
D. 点为轴上一个动点，的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】A.设，利用切线长定理得到，得到四边形周长为求解判断；B. 由，利用两点间距离公式和切线长公式求得，再由求解判断；C. 由，利用两点间距离公式和切线长公式求得，再由求解判断；D.由，得到求解判断.
【详解】如图所示：

A.设，因为，所以，
则四边形周长为，
因为，所以四边形周长的最小值为，故A正确；
B. 因为，所以，则，
，所以，所以，故正确；
C. 因为，所以，，则，，所以，故错误；
D.因为，所以，因为，所以，故正确,
故选：ABD
11. 下列命题中，正确的有（ ）
A. 空间任意向量都是共面向量
B. 已知，，，四点共面，对空间任意一点，若，则
C. 四面体中，若，，则
D. 若向量是空间一组基底，则也是空间的一组基底
【答案】ACD
【解析】
分析】利用空间向量共面定理及数量积运算，逐一分析判断即可．
【详解】解：对于，空间任意向量都是共面向量，所以A正确
对于B，已知，，，四点共面，对空间任意一点，若
则，解得，所以B错误
对于C，在四面体中，若，，
则
，所以C正确
对于D，因为向量是空间一组基底，则对于空间任一向量，都存在实数，，，
使得，
即，所以也是空间的一组基底，所以D正确．
故选：ACD．
12. 有一道数学难题，学生甲解出的概率为，学生乙解出的概率为，学生丙解出的概率为.若甲，乙，丙三人独立去解答此题，则（ ）
A. 恰有一人解出的概率为
B. 没有人能解出的概率为
C. 至多一人解出的概率为
D. 至少两个人解出的概率为
【答案】AC
【解析】
【分析】利用独立事件的乘法公式、互斥事件的加法公式，求各选项对应事件的概率即可.
【详解】A：恰有一人解出的概率为，正确；
B：没有人能解出的概率为，错误；
C：由A、B知：至多一人解出的概率为，正确；
D：至少两个人解出的概率为，错误；
故选：AC
三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知A、B、P为双曲线上不同三点，且满足为坐标原点），直线PA、PB的斜率记为，则的最小值为_____
【答案】
【解析】
【分析】可得A，B关于原点对称，设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），P（x0，y0），则mn4，再利用不等式求解．
【详解】∵满足（O为坐标原点），∴A，B关于原点对称，
设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），P（x0，y0），则，，
直线PA，PB的斜率记为m，n，满足mn4，
则，
即的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
14. 若直线与曲线有且只有一个公共点，则实数的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可知，曲线为圆的右半圆，作出直线与曲线的图象，可知直线是过点且斜率为的直线，求出当直线与曲线相切时k的值，利用数形结合思想可得出当直线与曲线有一个公共点时实数的取值范围.
【详解】对于直线，则直线是过点且斜率为的直线，
对于曲线，则，
曲线的方程两边平方并整理得，
则曲线为圆的右半圆，如下图所示：

当直线与曲线相切时，，且有，解得，
当直线过点时，则有，解得,
当直线过点时，则有，解得,
结合图象可知，当时，直线与曲线有一个交点.
故答案为：.
15. 在正四面体P-ABC中，棱长为1，且E是棱AB中点，则的值为___________．
【答案】－1
【解析】
【分析】在正四面体中，根据向量的数量积的运算，即可求解.
【详解】如图所示，

由正四面体的性质可得，PA⊥BC，
可得，
∵E棱AB中点，
∴

=－1，
故答案为：－1．
16. 若指数函数的图象过点，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】设且，把点代入求出的值，可得函数解析式．
详解】解：由题意，设且，
由函数的图象过点得：，则，

故答案为：.
四、解答题（本大题共7小题，共84.0分）
17. 已知.
（1）若，求的取值范围；
（2）设的三边分别是，，，周长为2，若，求面积的最大值.
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）先根据二倍角公式以及两角差的正弦公式化简，即可求出的取值范围；
（2）由可求出角，再由余弦定理找到关系，利用消元，然后利用基本不等式可求出的最大值，即可得到面积的最大值．
【详解】（1）
，又，所以，
，故的取值范围为．
（2）由可得，，而，所以，解得．由于，又，所以，化简可得，，
而，即，所以，当且仅当时取等号，解得（舍去）或，即有，
故面积的最大值为．
18. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若的周长为，求面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在中，利用余弦定理化角为边，可得，再结合，即得解；
（2）由余弦定理以及可得，再利用面积公式即得解
【小问1详解】
由余弦定理，得，
即，则，
所以
又，所以．
【小问2详解】
由题意，，
根据余弦定理，得，
则，
所以，
当且仅当时取“＝”．
所以，面积，
故面积的最大值为．
19. 在三棱锥中，底面与侧面均为正三角形，，为的中点．

（1）证明：平面平面；
（2）为线段上一点，且，求二面角的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）证明平面，则平面平面即得证；
（2）以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，利用已知求出，再利用向量法求出二面角的大小．
【详解】解：（1）因为 是边长为的正三角形，为的中点，
所以，，同理，，
又，因为，所以，
又，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面．
（2）因为 是正三角形，为的中点，所以，
又，，
故以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，
因为平面，平面，所以.
在中，
设，则
又，，由得
由(1)(2)得
设面的法向量为， ，
取
设面的法向量为， ，
取-
设二面角的大小为，则
所以，即二面角的大小为.

20. 某公司生产某种产品，从生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差（质量差＝生产的产品质量－标准质量，单位mg）的样本数据统计如下：

（1）求样本数据的80%分位数；
（2）公司从生产的正品中按产品质量差进行分拣，若质量差在范围内的产品为一等品，其余为二等品．其中分别为样本平均数和样本标准差，计算可得s≈10（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
①若产品的质量差为62mg，试判断该产品是否属于一等品；
②假如公司包装时要求，3件一等品和2件二等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出2件产品进行检验，求摸出2件产品中至少有1件一等品的概率．
【答案】（1）78.5；（2）①属于；②.
【解析】
【分析】（1）由于前3组的频率和为，前4组的频率和为，所以可知80%分位数一定位于[76，86）内，从而可求得答案；
（2）①先求出平均数，可得，从而可得结论；
②方法一：利用列举法求解，方法二：利用对立事件的概率的关系求解
【详解】解：（1）因为频率，
，
所以，80%分位数一定位于[76，86）内，
所以
．
所以估计样本数据的80%分位数约为78.5
（2）①
所以，又62∈（60，80）
可知该产品属于一等品．
②记三件一等品为A，B，C，两件二等品为a，b，
这是古典概型，摸出两件产品总基本事件共10个，分别为：
，
方法一：
记A：摸出两件产品中至少有一个一等品，A包含的基本事件共9个，分别是
，
所以
方法二：
记事件A：摸出两件产品中至少有一个一等品，A包含的基本事件共9个，
：摸出两个产品，没有一个一等品，基本事件共一个（a，b）．
所以
21. 已知抛物线：，点在的焦点的右侧．且到的准线的距离是到距离的倍，经过点的直线与抛物线交于不同的、两点，直线与直线交于点，经过点且与直线垂直的直线交轴于点．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）判断直线与直线的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2）直线，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由到的准线的距离是与距离的倍可得值，从而得到抛物线的方程和的坐标；
（2）方法一：设直线的方程为，对分类讨论，分别计算二者的斜率，即可作出判断方法二：先考虑直线的斜率不存在时，在考虑直线的斜率存在，设直线的方程为，，联立求点坐标，利用两点斜率公式求出，即可得出结论．
【小问1详解】
抛物线的准线方程为，焦点坐标为，
所以有，解得，
所以抛物线方程为，焦点坐标为．
【小问2详解】
直线，
方法一：
设，，
设直线的方程为
联立方程
消元得，，
所以，  ，
，
显然，
直线的方程为  ，
令，则，则，
因为，所以   ，
直线的方程为，
令，则，则
①当时，直线的斜率不存在，，可知，
直线的斜率不存在，则，
②当时，，，
则
综上所述，；
方法二：
直线，
（i）若直线的斜率不存在，根据对称性，不妨设，
直线的方程为，则
直线的方程为，即，
令，则，则直线的斜率不存在，因此，
（ii）设，，
当直线的斜率存在，设直线的方程为，，
联立方程，
消元得，，
整理得，，
由韦达定理，可得，，
，因为，可得．
显然，
直线的方程为，
令，则，则，
因为，所以，
直线的方程为，
令，则，则，
，则，
综上所述，．
22. 最近国际局势波云诡谲，我国在某地区进行军事演练，如图，，，是三个军事基地，为一个军事要塞，在线段上．已知，，到，的距离分别为，，以点为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示．

（1）求两个军事基地的长；
（2）若要塞正北方向距离要塞处有一处正在进行爆破试验，爆炸波生成时的半径为（参数为大于零的常数），爆炸波开始生成时，一飞行器以的速度自基地开往基地，问参数控制在什么范围内时，爆炸波不会波及到飞行器的飞行．
【答案】（1）
（2）当时，爆炸波不会波及飞行器的飞行
【解析】
【分析】（1）利用直线与圆相切求出点坐标，联立直线方程求出点坐标，利用两点的距离公式即可求解
（2）由题意得对恒成立，即对恒成立，然后对进行分类讨论，利用基本不等式即可求解．
【小问1详解】
则由题设得：，直线的方程为，，
由，及解得，所以．
所以直线的方程为，即，
由得，，即，
所以，
即基地的长为．
【小问2详解】
设爆炸产生的爆炸波圆，
由题意可得，生成小时时，飞行在线段上的点处，
则，，所以．
爆炸波不会波及卡车的通行，即对恒成立．
所以，
即．
当时，上式恒成立，
当即时，，
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以，在时，恒最立，亦即爆炸波不会波及飞行的通行．
答：当时，爆炸波不会波及飞行器的飞行．
23. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知双曲线：的右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为．

（1）求双曲线的方程；
（2）如图，过圆：上一点作圆的切线与双曲线的左右两支分别交于，两点，以为直径的圆经过双曲线的右顶点，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用双曲线的性质即可求出双曲线的标准方程；
（2）由已知直线的斜率存在，设：，联立双曲线 与直线 的方程，由根与系数的关系得，由，即可求出与的关系，由与圆：相切，则，联立求出值即可．
【小问1详解】
由题可得的方程：
【小问2详解】
由已知直线的斜率存在，设：，
与圆：相切，则， 
联立双曲线 与直线 的方程：
设直线与双曲线的左右两支交于两点，
所以，可得，
所以  ，
又，以，为直径的圆经过双曲线的右顶点，
所以，，
又
，
即
或，
①当时，点与右顶点重合，不合题意舍去；
②当时，代入，得，，满足条件，
所以直线的方程为或