2022-2023学年山东省枣庄市第三中学高二上学期12月质量检测数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省枣庄市第三中学高二上学期12月质量检测数学试题

一、单选题

1．已知空间向量，，且，则与的夹角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先根据得到，从而得到，再计算即可.

【详解】，

因为，解得，即.

所以.

故选：B

【点睛】本题主要考查空间向量的夹角计算，属于简单题.

2．已知直线和互相平行，则实数（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】C

【分析】根据题意，结合两直线的平行，得到且，即可求解.

【详解】由题意，直线和互相平行，

可得且，

即且，解得或.

故选：C.

3．已知抛物线，为其焦点，抛物线上两点、满足，则线段的中点到轴的距离等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出的中点纵坐标，求出线段的中点到轴的距离.

【详解】解：抛物线的焦点,准线方程，

设，

，

解得，

∴线段的中点横坐标为，

∴线段的中点到轴的距离为，

故选：B.

【点睛】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离，是基础题.

4．等差数列的前项和为，若，则（    ）

A．2020 B．1525 C．1515 D．2015

【答案】C

【分析】根据等差数列的下标和公式易得答案.

【详解】法一、

法二、（特值法）不妨设为常数列，令

故选：C

5．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.

详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以,

因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.

点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.

6．在直角坐标系中，，分别是双曲线：的左、右焦点，位于第一象限上的点是双曲线上的一点，满足，若点的纵坐标的取值范围是，则双曲线的离心率的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】利用以及求得，根据的取值范围求得的取值范围，由此求得的取值范围，进而求得双曲线的离心率的取值范围.

【详解】，由，可得，又，解得，由于，所以，，，，.

故选：D

【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的取值范围的求法，考查向量数量积的坐标表示，属于中档题.

7．过点的直线与圆C：交于A，B两点，当最小时，直线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】点在圆的内部，要使过点的直线交圆后所得的圆心角最小，则直线交圆所得的劣弧最短，也就是弦长最短，此时直线与过圆心及点的连线垂直，根据斜率之积等于求出直线的斜率，由点斜式可得所求的直线方程．

【详解】如图，把点代入圆的方程左边得：，

所以点在圆的内部，要使过的直线交圆后得到的最小，

也就是过的直线交圆，所截得的弦长最短，

即当时弦长最短，最小，设此时直线的斜率为，

，

由，得：，所以，．

的方程为：，即．

故选：C.

【点睛】本题考查圆的标准方程、直线和圆的位置关系，求解时注意过内一点作直线与交于、两点，则弦的长最短弦对的劣弧最短弦对的圆心角最小圆心到直线的距离最大弦的中点为．

8．已知圆和椭圆．直线与圆交于、两点，与椭圆交于、两点．若时，的取值范围是，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题设，根据圆与椭圆的对称性，假设在第一象限可得，结合已知有，进而求椭圆的离心率.

【详解】由题设，圆与椭圆的如下图示：

又时，的取值范围是，结合圆与椭圆的对称性，不妨假设在第一象限，

∴从0逐渐增大至无穷大时，，故，

∴.

故选：C.

二、多选题

9．已知点为圆锥曲线的焦点，则的方程可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【解析】分别计算四个选项中圆锥曲线的焦点，即可得正确选项.

【详解】对于选项A：中， ，所以，可得焦点坐标为，故选项A不正确；

对于选项B：由可得，所以 ，所以，可得焦点坐标为，故选项B正确；

对于选项C：，因为，所以，

所以原方程可化为表示焦点在轴上的双曲线，由，，

所以，所以焦点坐标为，所以为圆锥曲线的焦点，故选项C正确；

对于选项D：中，因为，所以，

原方程可化为：，

当即时，表示圆，没有焦点

当即时，表示焦点在轴上的椭圆，，，

，焦点为，不符合题意，

当即时，表示焦点在轴上的椭圆，，，，焦点为，不符合题意，

故选项D不正确；

故选：BC.

10．已知点是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于、两点，则下列结论正确的是（    ）

A．点到焦点的最小距离为1 B．若点的坐标为，则的最小值为

C．以为直径的圆与抛物线的准线相切 D．

【答案】BD

【分析】A由焦点弦的性质，结合抛物线上点到焦点距离的范围即可判断；B由抛物线定义知共线，最小；C由抛物线焦点弦的性质判断正误；D设直线方程，联立抛物线，应用韦达定理求.

【详解】如下图：且准线为，

A：过的直线交抛物线于、，则该直线斜率存在时不为0，由抛物线性质知：，即到焦点没有最小距离，错误；

B：如上图，抛物线准线，要使的最小，则共线，即，正确；

C：以为圆心，为半径的圆或以为直径的圆与抛物线的准线相切，而以为直径的圆不与抛物线的准线相切，错误；

D：令为，联立抛物线可得：，则，，

∴，.

由，正确.

故选：BD.

11．已知递减的等差数列的前项和为，，则（    ）

A． B．最大 C． D．

【答案】ABD

【解析】根据项的正负可判断AB，利用前项和与通项的关系可判断CD.

【详解】因为，故，所以，

因为等差数列为递减数列，故公差，

所以，故AB正确.

又，，故C错误，D正确.

故选：ABD.

12．如图，棱长为1的正方体中为线段上的动点（不含端点）则下列结论正确的是（    ）

A．直线与所成的角可能是

B．平面平面

C．三棱雉的体积为定值

D．平面截正方体所得的截面可能是直角三角形

【答案】BC

【分析】对于A选项， 建立坐标系，利用坐标法求解；对于B选项，由正方体的性质可知平面，进而可判断；对于C选项，利用等体积法求解即可判断；对于D选项，分别讨论所成的截面图形即可判断.

【详解】解：对于A选项，如图1，建立空间直角坐标系，

则，，

所以，

所以，令，

，

所以在区间上单调递减，

由于，，

所以，即直线与所成的角满足，

又因为，故，故直线与所成的角不可能是，故A选项错误；

对于B选项，由正方体的性质可知平面，所以平面平面，故B选项正确；

对于C选项，三棱雉的体积，是定值，故C选项正确；

对于D选项，设的中点为，当点在线段（不包含端点）上时，此时平面截正方体所得的截面为梯形，如图2；当点在点时，此时平面截正方体所得的截面正三角形；当点在线段（不包含端点）上时，此时平面截正方体所得的截面为等腰三角形，该三角形不可能为直角三角形，故D选项错误；

故选：BC

三、填空题

13．若圆和圆的公共弦所在的直线方程为，则______．

【答案】

【分析】由两圆公共弦方程，将两圆方程相减得到，结合已知列方程组求、，即可得答案.

【详解】由题设，两圆方程相减可得：，即为公共弦，

∴，可得，

∴.

故答案为：.

14．在数列中，若，，则________．

【答案】

【分析】根据题干递推关系可知数列为等差数列，由等差数列通项公式求出.

【详解】因为，即，

所以数列是公差为的等差数列，

又，

所以.

故答案为：.

【点睛】本题考查等差数列，属于基础题.

15．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为________.

【答案】

【解析】由于线段的垂直平分线过，所以有，再根据双曲线和椭圆的定义，求出的表达式，然后利用基本不等式求得最小值.

【详解】设椭圆对应的参数为，

双曲线对应的参数为，

由于线段的垂直平分线过，

所以有.

根据双曲线和椭圆的定义有，

两式相减得到，

即.

所以，

当且仅当取等号，

则的最小值为.

故答案为：.

【点睛】思路点睛：考查双曲线的定义和几何性质，考查椭圆的定义和几何性质.

由于椭圆和双曲线有公共的焦点，所以焦距相同，也就是有相同.对于两个曲线的公共交点来说，即满足椭圆的定义，又满足双曲线的定义，根据定义可列出方程.再利用基本不等式可得最小值.

16．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出.有抛物线（如图）一条平行轴的光线射向上一点点，经过的焦点射向上的点，再反射后沿平行轴的方向射出，若两平行线间的最小距离是9，则的方程是__________.

【答案】

【分析】审题会发现：两平行线之间的最小值即为抛物线的通径，可求出，进而得到抛物线方程.

【详解】

如图，为准线，分别作为的中位线，

根据抛物线定义有：当重合时取等号，此时PQ为平行线之间的距离，所以

故答案为：

四、解答题

17．已知等差数列{an}中，a1=1，a3=﹣3．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{an}的前k项和Sk=﹣35，求k的值．

【答案】（Ⅰ）an=1+（n﹣1）×（﹣2）=3﹣2n（Ⅱ）k=7

【详解】试题分析：（I）设出等差数列的公差为d，然后根据首项为1和第3项等于﹣3，利用等差数列的通项公式即可得到关于d的方程，求出方程的解即可得到公差d的值，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；

（II）根据等差数列的通项公式，由首项和公差表示出等差数列的前k项和的公式，当其等于﹣35得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，根据k为正整数得到满足题意的k的值．

解：（I）设等差数列{an}的公差为d，则an=a1+（n﹣1）d

由a1=1，a3=﹣3，可得1+2d=﹣3，解得d=﹣2，

从而，an=1+（n﹣1）×（﹣2）=3﹣2n；

（II）由（I）可知an=3﹣2n，

所以Sn==2n﹣n2，

进而由Sk=﹣35，可得2k﹣k2=﹣35，

即k2﹣2k﹣35=0，解得k=7或k=﹣5，

又k∈N+，故k=7为所求．

点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道基础题．

18．已知抛物线的焦点与曲线的右焦点重合.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）若抛物线上的点满足，求点的坐标.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】（1）求出双曲线的右焦点坐标，可求出的值，即可得出抛物线的标准方程；

（2）设点，由抛物线的定义求出的值，代入抛物线的方程可求得的值，即可得出点的坐标.

【详解】（1）由双曲线方程可得，，

所以，解得.

则曲线的右焦点为，所以，.

因此，抛物线的标准方程为；

（2）设，由抛物线的定义及已知可得，解得.

代入抛物线方程可得，解得，

所以点的坐标为或.

19．已知直线l经过两条直线2x﹣y﹣3＝0和4x﹣3y﹣5＝0的交点，且与直线x+y﹣2＝0垂直．

(1)求直线l的方程；

(2)若圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先求得直线和直线的交点坐标，再用点斜式求得直线的方程.

（2）设圆的标准方程为，根据已知条件列方程组，求得，由此求得圆的标准方程.

【详解】（1）.

直线的斜率为，所以直线的斜率为，

所以直线的方程为.

（2）设圆的标准方程为，

则，

所以圆的标准方程为.

20．已知数列的前n项和，求数列的前n项和.

【答案】.

【分析】分类讨论去掉数列的中的绝对值，即可利用等差数列求和公式去计算数列的前n项和..

【详解】，

当时，.

∵也符合上式，∴数列的通项公式为.

由，得，

即当时，；当时，.

当时，；

当时，

故

21．如图，在四棱锥中，平面，，，，，二面角为，为的中点，点在上，且

0

（1）求证：四边形为直角梯形；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】（1）通过证明，且可得四边形为直角梯形；

（2）过点作的垂线交于点，则，，以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出面和面的法向量，求出法向量的夹角即可得二面角的余弦值.

【详解】（1）证明：因为平面，，

所以

因为，且，

所以四边形为直角梯形；

（2）过点作的垂线交于点，则，，以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，

由（1）知，又，则为二面角的平面角，则，，

所以，，

所以，，，

所以，

，

设平面的法向量，则，即

令：，则，，所以，

又平面的法向量，

所以，

由题意知二面角为钝角，

所以二面角的余弦值为.

【点睛】本题考查线面垂直，线线垂直的性质，以及空间向量法求二面角，考查计算能力与空间想象能力，是基础题.

22．如图所示，椭圆的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于点，已知椭圆的离心率为，△的周长为8．

(1)求椭圆的方程；

(2)设点的坐标为．

①当，，成等差数列时，求点的坐标；

②若直线、分别与直线交于点、，以为直径的圆是否经过某定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．

【答案】(1)；

(2)①或；②过定点、，理由见解析.

【分析】（1）由焦点三角形的周长、离心率求椭圆参数，即可得椭圆方程.

（2）①由（1）可得，结合椭圆的定义求，即可确定的坐标；②由题设，求直线、的方程，进而求、坐标，即可得为直径的圆的方程，令求横坐标，即可得定点.

【详解】（1）由题设，易知：，可得，则，

∴椭圆.

（2）①由（1）知：，令，则，

∴，解得，故，此时或

②由（1），，，

∴可令直线：，直线：，

∴将代入直线可得：，，则圆心且半径为，

∴为直径的圆为，

当时，，又，

∴，可得或.

∴为直径的圆过定点、.

【点睛】关键点点睛：第二问，应用点斜式写出直线、的方程，再求、坐标，根据定义求为直径的圆的方程，最后令及在椭圆上求定点.