2022-2023学年江苏省前黄高级中学、溧阳中学高二上学期第一次联合调研数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年江苏省前黄高级中学、溧阳中学高二上学期第一次联合调研数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省前黄高级中学、溧阳中学高二上学期第一次联合调研数学试题 一、单选题1．直线的倾斜角大小（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】化简得到，根据计算得到答案.【详解】直线，即，，，故.故选：.【点睛】本题考查了直线的倾斜角，意在考查学生的计算能力.2．正项等比数列中，，则（    ）A．4 B．8 C．32 D．64【答案】D【分析】利用等比数列的性质运算即可.【详解】因为是等比数列，所以.故选：D.3．若抛物线上的点到焦点的距离为，则它到轴的距离是（     ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义转化求解即可．【详解】抛物线的焦点，准线为，由M到焦点的距离为12，可知M到准线的距离也为12，故到M到轴的距离是8.故选：B．4．过点且被圆截得弦长最长的直线的方程是（     ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意可知点在圆外，要使截得弦长最长，则直线l必过圆心，由两点式即可求直线l方程.【详解】解：由题意可知，所以P是圆C外部一点，可得截得弦长最长的直线l是由P、C两点确定的直线圆C:x2+y2−2x+4y=0的圆心为C(1,−2)，当l过P的圆心C时，弦长最长，所以方程为：，化简得3x−y−5=0，故选：A.5．以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出双曲线焦点，顶点坐标.后可得椭圆方程.【详解】由题，双曲线的焦点坐标为：.顶点坐标为：.设椭圆方程为：，.由题有：.故椭圆方程为：.故选：D6．在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为A． B．C． D．【答案】C【分析】为单位圆上一点，而直线过点，则根据几何意义得的最大值为.【详解】为单位圆上一点，而直线过点，所以的最大值为，选C.【点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．7．已知函数，若等比数列满足，则（    ）A． B． C．2 D．2021【答案】D【分析】根据题意，由等比数列的性质可得,结合函数的解析式可得= ,进而分析可得答案.【详解】解：根据题意，等比数列满足，则有，若，则，则有，同理：，则（1）（1），则，故；故选：D．8．如图，已知，为双曲线：的左、右焦点，过点，分别作直线，交双曲线于，，，四点，使得四边形为平行四边形，且以为直径的圆过，，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用双曲线的定义，几何关系以及对称性，再利用平行四边形的特点，以及点在圆周上的向量垂直特点，列方程可解.【详解】设 ，则 ，由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知： ，连接 ，则有 ， 由于 在以AD为直径的圆周上， ，∵ABCD为平行四边形， ， ，在直角三角形 中，， ，解得： ， ；在直角三角形 中， ， ，得 ， ，故选：D. 二、多选题9．已知圆与圆交于A，B两点，则（    ）A．直线AB与直线互相垂直 B．直线AB的方程为C． D．线段AB的中垂线方程为【答案】ABD【分析】利用圆的几何特征，易证直线AB的中垂线即直线，根据过两个圆的公共点的圆系方程可求得公共弦AB所在直线方程，进而求出弦长.【详解】因为A，B是两个圆的公共点，所以，在线段AB的中垂线上，同理，也在线段AB的中垂线上，故A正确；所以直线即直线AB的中垂线，，，则直线的方程为，即，D正确；圆和圆的公共弦所在直线方程为，即，B正确；点到直线AB的距离为，则，C错误.故选：ABD.10．已知两点，若直线上存在点P，使，则称该直线为“B型直线”．下列直线中为“B型直线”的是（    ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】首先求得满足的轨迹方程，再转化为判断直线与双曲线右支有交点，即可求解.【详解】，所以点是以为焦点的双曲线的右支，此时，，，，所以双曲线方程是，，“B型直线”是指直线与双曲线，有交点，A. ，，，且，所以存在正根，即直线与双曲线右支有交点，所以是“型直线”，故A正确；B.是双曲线的渐近线，所以直线不会和双曲线有交点，所以不是“型直线”，故B正确；C.和双曲线，有交点，所以是“型直线”，故C正确；D.联立，代入解得，那么是“型直线”，故D正确.故选：ACD11．记为等差数列的前n项和，公差为d，若，则以下结论一定正确的是（    ）A． B． C． D．取得最大值时，【答案】AB【分析】对于A BC，根据等差数列的通项公式及前n项和公式化简求解；对于D，根据等差数列的通项公式及各项正负判断.【详解】由，得即，又，所以，选项A正确；由； ，得，选项B正确；由，得，又，所以，选项C错误；，令，得，解得，又，所以，即数列满足：当时， ，当时， ，所以取得最大值时，，选项D错误．故选：AB．12．设是无穷数列，若存在正整数，使得对任意，均有，则称是“间隔递增数列”，k是的“间隔数”，下列说法正确的是（    ）A．公比大于1的等比数列一定是“间隔递增数列”B．若，则是“间隔递增数列”C．若，则是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为rD．已知，若是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为3，则【答案】BCD【解析】利用新定义，逐项验证是否存在正整数，使得，即可判断正误.【详解】选项A中，设等比数列的公比是，则，其中，即，若，则，即，不符合定义，故A错误；选项B中，，当n是奇数时，，则存在时，成立，即对任意，均有，符合定义；当n是偶数时，，则存在时，成立，即对任意，均有，符合定义.综上，存在时，对任意，均有，符合定义，故B正确；选项C中，，令，开口向上，对称轴，故在时单调递增，令最小值，得，又，，，故存在时，成立，即对任意，均有，符合定义，“间隔数”的最小值为r，故C正确；选项D中，因为，是“间隔递增数列”，则，即，对任意成立，设，显然在上递增，故要使，只需成立，即.又“间隔数”的最小值为3，故存在，使成立，且存在，使成立，故且，故，故D正确.故选：BCD.【点睛】本题的解题关键在于读懂题中“间隔递增数列”的定义，判断是否存在正整数，使对于任意的恒成立，逐项突破难点即可. 三、填空题13．设为实数，若两条平行直线和之间的距离为2，则______.【答案】或【分析】根据平行线间距离公式进行求解即可．【详解】因为两条平行直线和之间的距离等于2，所以有或，故答案为：或．14．等差数列的前项之和为，若，，则______．【答案】90【分析】根据给定条件，结合等差数列性质求出，再利用等差数列前项和公式计算作答.【详解】由得：，整理得，由得：，整理得，而，即，于是得，所以.故答案为：9015．把正整数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列，若，则________.【答案】1033【分析】根据题意，结合图乙中第行有个数，且第行最后一个数为，再根据等差数列求和公式，即可求解.【详解】根据题意，可知图乙中第行有个数，且第行最后一个数为.由，，知出现在第45行倒数第3位，因此.故答案为：1033.16．已知，是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点. ，依次构成等差数列，且，则椭圆的离心率为____.【答案】【分析】首先设，，根据等差数列的性质，将等差数列的四个量分别用表示，再分别在和中分别用余弦定理表示，再求离心率.【详解】如图，设，，则,根据，成等差数列，所以，即，所以，，，，根据椭圆定义可知，，得，中，，中，，得，椭圆的离心率.故答案为： 四、解答题17．已知直线和的交点为P．(1)若直线l经过点P且与直线平行，求直线l的方程；(2)若直线m经过点P且与x轴，y轴分别交于A，B两点，为线段的中点，求△OAB的面积．（其中O为坐标原点）．【答案】(1)4x－3y－3＝0(2)30 【分析】（1）联立直线方程，求出交点坐标，根据直线平行，明确斜率，由点斜式方程可得答案；（2）由点斜式方程，设出直线方程，求得两点的坐标，根据中点坐标公式，求得斜率，根据三角形面积公式，可得答案.【详解】（1）由，求得，可得直线和的交点为P（－3，－5）．由于直线的斜率为，故过点P且与直线平行的直线l的方程为，即4x－3y－3＝0．（2）由题知：设直线m的斜率为kk≠0，则直线m的方程为，故，，且，且，求得，故、．故△OAB的面积为．18．已知等比数列{an}中，an > 0，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25， a3与a5的等比中项为2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和Sn.【答案】（1）an＝．（2）Sn＝．【分析】（1）利用等比数列通项公式、等比中项得到a3a5＝4，a3+a5＝5，从而a3，a5是方程x2﹣5x+4＝0的两个根，且a3＞a5，由此能求出数列{an}的通项公式．（2）推导出bn＝log2an5﹣n，由此能求出数列{bn}的前n项和．【详解】解：（1）∵在等比数列{an}中，，公比q∈（0，1），且a1a5+2a3a5+a2a8＝25，a3与a5的等比中项为2，∴(a3+a5)2＝25，，∴a3a5＝4，a3+a5＝5，即a3，a5是方程x2﹣5x+4＝0的两个根，且a3＞a5，解方程x2﹣5x+4＝0，得a3＝4，a5＝1，,,,∴数列{an}的通项公式an＝16×＝．（2）∵bn＝log2an5﹣n，∴数列{bn}的前n项和：Sn＝5n﹣（1+2+3+…+n）＝5n．19．已知正项数列的首项为1，其前项和为，满足.(1)求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；(2)若，是的前项和，已知对于都成立，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析，(2)或 【分析】（1）结合化简已知条件，求得，结合证得数列为等差数列，然后求得，进而求得.（2）先求得，然后求得的最大值，进而通过解一元二次不等式求得的取值范围.【详解】（1）∵，∴，∵∴，∴，∴，又由，∴是以1为首项，1为公差的等差数列；所以，∴，当时，，当时，，当时，上式也符合，所以.（2），时，，，，，，∴或5时，，∴或.20．已知点，圆，过点的动直线与圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点．（1）求的轨迹方程；（2）当时，求的方程及的面积． 【答案】（1）；（2）的方程为，的面积为.【分析】（1）由圆的方程求出圆心坐标和半径，设出坐标，由与数量积等于0列式得的轨迹方程；（2）设的轨迹的圆心为，由得到．求出所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到所在直线方程，由点到直线的距离公式求出到的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出的长度，代入三角形面积公式得答案．【详解】解：（1）由圆，即，圆的圆心坐标为，半径．设，则，．由题意可得，即．整理得．的轨迹方程是．（2）由（1）知的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，由于，故在线段的垂直平分线上，又在圆上，从而．，直线的斜率为．直线的方程为，即．则到直线的距离为．又到的距离为，．． 21．已知抛物线的焦点为．点在上， ．（1）求;（2）过作两条互相垂直的直线，与交于两点，与直线交于点，判断是否为定值?若是，求出其值；若不是，说明理由．【答案】(1) ；（2）是定值，.【分析】（1）由题知 ①，由焦半径公式得 ②，两式联立即可求得答案；（2）先讨论当直线与轴平行时得，再讨论当直线与轴不平行且斜率存在时，证明，再设方程，联立方程，利用向量方法求即可.【详解】解：（1）因为点在上，所以 ①，因为，所以由焦半径公式得 ②，由①②解得 所以. （2）由（1）知抛物线的方程为，焦点坐标为，当直线与轴平行时，此时的方程为，的方程为，，此时为等腰直角三角形且，故.当直线与轴不平行且斜率存在时，若为定值，则定值比为，下面证明.要证明，只需证明，只需证，即，设直线的斜率为，则直线的方程为，直线的方程为，联立方程得，设，则，所以，，联立方程得，所以，所以，所以，即，所以.综上，为定值，.22．如图，已知点分别是椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆C上不同的两点，且，连接，且交于点Q．(1)当时，求点B的横坐标；(2)若的面积为，试求的值．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）设出点A，B的坐标，利用给定条件列出方程组，求解方程组即可作答.（2）延长交椭圆C于D，可得，再结合图形将用的面积及表示，设出直线AD方程，与椭圆C的方程联立，借助韦达定理求出即可求解作答.【详解】（1）设，依题意，，由，得，即，由得，两式相减得，即有，则，即，由得，所以点B的横坐标为．（2）因，则，即有，记，，，则，即．同理，而，连并延长交椭圆C于D，连接，如图，则四边形为平行四边形，，有点D在直线上， 因此，，， 因此，即，设直线，点，有，即，则，由消去x并整理得：，有，，，则，于是得，解得，所以．【点睛】结论点睛：过定点的直线l：y=kx+b交圆锥曲线于点，，则面积；过定点直线l：x=ty+a交圆锥曲线于点，，则面积.