2022-2023学年河南省安阳市第三十九中学高二上学期第二次加密考试数学试题（解析版）

2022-2023学年河南省安阳市第三十九中学高二上学期第二次加密考试数学试题

一、单选题

1．以点为圆心且与直线相切的圆的方程是

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：由题意，因此圆方程为．

【解析】圆的标准方程．

2．已知直线：与：互相垂直，其垂足为，则的值为（    ）

A．4 B． C．0 D．20

【答案】C

【分析】由求出，将代入求出，进而得到.

【详解】因为：与：互相垂直，所以，，：，即，将代入得，即，将代入得，所以.

故选：C

3．“”是“直线：与直线：平行”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据两直线平行的判定与性质结合充分条件、必要条件判定即可.

【详解】若直线：与直线：平行，则，可得.

当时，直线：，直线：，两直线重合，不符合题意.

所以“直线：与直线：平行”等价于“”.

所以“”是“直线：与直线：平行”的充要条件.

故选：C

4．设等差数列的前项和为，若，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用等差数列通项和求和公式化简已知等式可求得，由可得结果.

【详解】设等差数列的公差为，

，，解得：，

，解得：，，

.

故选：A.

5．在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言” ．题意是把996斤绵分给8个儿子做盘缠，依次每人分到的比前一人多分17斤绵，则第八个儿子分到的绵是（    ）

A．65斤 B．82斤 C．167斤 D．184斤

【答案】D

【分析】根据等差数列的通项公式以及前项和公式即可求解.

【详解】设8个儿子依次分绵斤，斤，斤，…，斤，

则数列是公差为17的等差数列，

因为绵的总重量为996斤，

所以，

解得，

则第八个儿子分到的绵．

故选：D．

6．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ）

A．13 B．12 C．9 D．6

【答案】C

【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．

【详解】由题，，则，

所以（当且仅当时，等号成立）．

故选：C．

【点睛】7．设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（    ）

A． B．3 C． D．2

【答案】B

【分析】由是以P为直角直角三角形得到，再利用双曲线的定义得到，联立即可得到，代入中计算即可.

【详解】由已知，不妨设，

则，因为，

所以点在以为直径的圆上，

即是以P为直角顶点的直角三角形，

故，

即，又，

所以，

解得，所以

故选：B

【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.

8．当曲线与直线有两个不同的交点时，实数k的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】作曲线与直线的图象，计算出直线与曲线相切时对应的实数的值，数形结合可得结果.

【详解】对方程变形得，即，

所以曲线表示圆的上半圆，

对直线方程变形得，该直线过定点，且斜率为，如下图所示：

当直线与半圆相切时，则有，解得，

当直线过点时，，解得.

由图形可知，当曲线与直线有两个相异的交点时，.

故选：C

二、多选题

9．圆和圆的交点为，，则有（    ）

A．公共弦所在直线方程为

B．线段中垂线方程为

C．公共弦的长为

D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为

【答案】ABD

【分析】两圆方程作差即可求解公共弦AB所在直线方程，可判断A；由公共弦所在直线的斜率以及其中圆的圆心即可线段AB中垂线方程，可判断B；求出圆心到公共弦所在的直线方程的距离，利用几何法即可求出弦长，可判断C；求出圆心到公共弦AB所在直线方程的距离，加上半径即可判断D.

【详解】解：对于A，由圆与圆的交点为A，B，

两式作差可得，即公共弦AB所在直线方程为，故A正确；

对于B，圆的圆心为，，

则线段AB中垂线斜率为，

即线段AB中垂线方程为：，整理可得，故B正确；

对于C，圆，圆心到的距离为，半径，所以，故C不正确；

对于D，P为圆上一动点，圆心到的距离为，半径，即P到直线AB距离的最大值为，故D正确.

故选：ABD

10．已知直线的方程为（为常数），点在直线上，过点作圆： 的一条切线，为切点，若的面积的最小值为，此时（    ）

A．

B．

C．直线上的动点与圆上动点的距离的最小值为

D．直线上的动点与圆上的动点的距离的最大值为

【答案】ACD

【分析】求出圆心坐标和半径，由的面积的最小值为，可得可判断A；再由点到直线的距离公式求出的值可判断B；由的值可得直线的方程，求出圆心到直线的距离再减半径可得最小值，加半径可得最大值，即可判断CD，进而可得正确选项.

【详解】由可得，

圆：的圆心，半径，

，

又因为，

所以当取得最小值时，取最小值，

此时，可得，，

所以，整理可得：，

解得：或，故选项A正确，选项B不正确；

当时，直线的方程为，

则直线上的动点与圆上动点的距离最小值为

直线上的动点与圆上动点的距离最大值为，

当时，直线的方程为，

则直线上的动点与圆上动点的距离最小值为，

直线上的动点与圆上动点的距离最大值为，

故选项C、D正确，

故选：ACD.

11．已知数列满足，，记数列的前项和为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】根据递推公式求出、、，即可找到规律得到数列是以为周期的周期数列，即可判断A、B、D，再根据递推公式表示出，即可得到，从而判断C.

【详解】解：因为，，

所以，故A错误；

，，所以数列是以为周期的周期数列，

所以，故B错误；

因为，，

所以，故C正确；

，故D正确；

故选：CD

12．如图，已知抛物线，从直线上一点向抛物线引两条切线，切点分别为.直线过线段的中点，则点到直线的距离可以为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】BCD

【分析】设切点，，设，利用切点写出切线方程，由切线都过点（点坐标代入）得切点弦直线方程，此直线方程与抛物线方程联立消元应用韦达定理得出中点坐标，由中点坐标求得参数，再由点到直线距离公式求得距离，得距离的取值范围，得正确选项．

【详解】设，，设，，

过点的切线方程是，

由得，，，

，，

切线方程为，，，

即，同理过点的切线方程是，

两条切线都过点，

所以，由此可知过两点的直线方程是，

由得，，

设中点为，则，，

点在直线上，所以，，

点到直线的距离为．

故选：BCD．

三、填空题

13．直线恒过一定点，则该定点坐标为_______

【答案】

【分析】直线方程可化为，令，即可得出答案.

【详解】解：直线方程可化为，

令，解得，

所以直线过定点.

故答案为：

14．是双曲线的上焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与该双曲线下支交于两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为_______．

【答案】

【分析】连接，根据圆和正三角形性质可知，为含有的，再利用双曲线定义得到的关系，可求出双曲线离心率.

【详解】如图连接，

是圆的直径，，，

又是等边三角形，，

在中：，，

由双曲线的定义得

双曲线的离心率为．

故答案为：

15．在棱长为的正四面体中，是中点，则和所成角的余弦值是________

【答案】

【分析】利用数量积的定义计算的值，再计算、，再由平面向量夹角公式即可求解.

【详解】棱长为的正四面体中，是中点，

，

，，

所以和所成角的余弦值是，

故答案为：.

16．在前项和为的数列中，，，对所有正整数均有，则__________.

【答案】1

【分析】根据递推公式求出前若干项，观察其周期性，然后利用周期性可得.

【详解】由题意有，可求得，，，可得数列是一个周期为3的数列，且，有.

故答案为：1

四、解答题

17．已知点，，，向量.

(1)若，求实数的值；

(2)求向量在向量上上的投影向量.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由计算可得；

（2）根据投影的定义计算出投影，再乘以同向的单位向量即可得．

【详解】（1），，

即，得；

（2），，向量在上的投影为，

与同向单位向量为，

则向量在向量上上的投影向量为.

18．已知数列的前项和为，

(1)求数列的通项公式；

(2)设，试判断是否为等差数列，并说明理由．

【答案】(1)

(2)不能是等差数列，理由见解析

【分析】（1）当，可得答案；

（2）利用等差中项判断可得答案.

【详解】（1）当时，，

当，，

当时，，综上.

（2）依题意有，，，

，知不能是等差数列．

19．如图，点A是抛物线y2＝2px（p＞0）上的动点，过点M（2，1）的直线AM与抛物线交于另一点B．

(1)当A的坐标为（1，2）时，求点B的坐标；

(2)已知点P（2，0），若M为线段AB的中点，求△PAB面积的最大值．

【答案】(1)B(9，﹣6)

(2)2

【分析】（1）由A点坐标求得抛物线方程和直线AM的方程，然后由直线方程和抛物线方程联立可得；

（2）设直线方程，由弦长公式和点到直线的距离公式表示出面积，再由韦达定理和中点坐标公式得到参数关系代入面积公式，利用二次函数性质可得.

【详解】（1）当A的坐标为（1，2）时，则22＝2p•1，所以2p＝4，所以抛物线的方程为：y2＝4x，

由题意可得直线AM的方程为：y﹣2（x﹣1），

即x＝﹣y+3，代入抛物线的方程可得y2+4y﹣12＝0，解得y＝﹣6或2，

代入抛物线的方程可得或，所以B（9，﹣6）；

（2）易知直线AB的斜率存在且不等于0，

设直线AB的方程：x＝my+n，因为M在直线AB上，所以m+n＝2，

P到直线AB的距离d，设A（x1，y1），B（x2，y2），

由M（2，1）是AB的中点可得，y1+y2＝2×1＝2，联立，整理可得：y2﹣2pmy﹣2pn＝0，

所以y1+y2＝2pm＝2，即pm＝1，y1y2＝﹣2pn，

|AB||y1﹣y1|•，

所以S△PAB|AB|•d•••，

将pm＝1，代入，S△PAB2，所以当m＝2时，取等号，

所以△PAB面积的最大值为2．

20．如图，四棱锥的底面ABCD为矩形，，，平面平面ABCD，E是AB的中点．

(1)证明：平面PAC；

(2)若，且二面角余弦值为，求直线PA与平面PBD所成的角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）证得，结合面面垂直的性质即可证出结果；

（2）作出辅助线，证得两两垂直，建立空间直角坐标系，结合已知条件求出的长度，进而可求出结果.

【详解】（1）因为，，， E是AB的中点，在中，，所以,故，所以，又因为平面平面ABCD，且平面平面ABCD，故平面PAC；

（2）

设交于，连接，取的中点，连接,

因为四边形为矩形，所以是的中点，因为，所以，又因为平面平面ABCD，且平面平面ABCD，所以平面ABCD，

因此两两垂直，故以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，

则

则，设平面的法向量为，

则，则平面的一个法向量为，

则，设平面的法向量为，

则，则平面的一个法向量为，

由题意可知，即，解得，

因此，设直线PA与平面PBD所成的角为，

则所以直线PA与平面PBD所成的角的正弦值为.

21．已知数列的前n项和为

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和的公式．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用求解通项公式即可；

（2）分别讨论当及时两种情况下与的关系，进而求得与的关系，综合两种情况，从而得出的前项和的公式.

【详解】（1）当n＝1时，；

当时，，

显然时也满足上式，

所以.

（2）由（1）知，

所以当时，；当时，，

①当时，，

则，

此时

②当时，，

=

.

综上可得：.

22．如图，在直角中， ，角，，所对的边长分别为，，.

边的中线所在直线方程为；边的中线所在直线方程为.

(1)若点坐标为，求外接圆的方程；

(2)若，求的面积.

【答案】(1)

(2)100

【分析】（1）设点坐标为，则坐标为代入可得点的坐标，同理可得点的坐标，求出的中点坐标即为外接圆圆心，计算，即可得外接圆的方程;

（2）利用重心的性质得到，，，用平面向量的数量积得到：，用到角公式求出，进而得到，，再利用面积公式得到，最终求得

【详解】（1）因为点在直线上，设点坐标为，

因为点坐标为，是的中点，所以点坐标为，

因为点在直线上，

所以，解得：，所以，

设点，则，

所以，解得：，

所以点的坐标为，

因为，所以线段是外接圆的直径，

的中点坐标为，半径，

所以外接圆的方程为：.

（2）设与相交于点G，则联立方程：，解得：，

所以，点G是的重心，则有，

则

因为，

故

因为，所以，故

因为，所以

所以

设直线的斜率为，直线的斜率为

则由到角公式得：

因为点G在圆的内部，所以∠BGC为钝角

则，

解得：

所以

所以

【点睛】平面直角坐标系下的解三角形，要充分利用题干中的条件，比如重心的性质，到角公式尤为重要，可以很好的由直线的斜率转化为角的正切值，再结合平面向量，正弦定理，余弦定理和面积公式等参与运算，最后求出结果.