2022-2023学年河北省廊坊市第一中学高二上学期11月月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年河北省廊坊市第一中学高二上学期11月月考数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河北省廊坊市第一中学高二上学期11月月考数学试题 一、单选题1．已知，向量，，若，则实数x的值等于 （       ）A．-1 B．1 C．-2 D．2【答案】D【分析】根据求解即可.【详解】因为，所以，解得.故选：D2．已知直线l经过点，，则直线l的倾斜角为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出直线的斜率，即可求出倾斜角；【详解】解：设直线l的倾斜角为，则，所以.故选：A.3．已知直线与直线平行，则的值为（    ）A． B．1 C． D．0【答案】A【分析】根据两直线平行的条件可直接求出的值.【详解】因为，所以，解得.故选：A .4．已知为原点，点，以为直径的圆的方程为(    )A． B．C． D．【答案】A【分析】求圆的圆心和半径，根据圆的标准方程即可求解﹒【详解】由题知圆心为，半径，∴圆的方程为﹒故选：A﹒5．已知抛物线C的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点F2重合，若抛物线C与该椭圆在第一象限的交点为P，椭圆的左焦点为F1，则|PF1|＝(　　)A． B． C． D．2【答案】B【详解】由椭圆的方程可得，∴，故椭圆的右焦点为，即抛物线的焦点为，∴，∴，∴，∴抛物线的方程为，联立，解得或，∵为第一象限的点，∴，∴，∴，故选B.6．椭圆与曲线有（    ）A．相同的离心率 B．相同的焦距C．相同的渐近线 D．相同的顶点【答案】B【分析】先求出的顶点，焦距，离心率，在分析不同的参数范围下，曲线的顶点，焦距，离心率，由于椭圆没有渐近线，该曲线也无需分析渐近线，对比选项分析可得结果.【详解】在椭圆中，，顶点坐标为，焦距是8，离心率是；对于曲线，当，曲线化为，表示焦点在轴上的双曲线，长轴长为，短轴长为，其焦距为8，而离心率，顶点坐标都跟取值有关；当，即，则曲线化为，表示焦点在轴上的椭圆，长轴长为，短轴长为，其焦距是8，而离心率，顶点都和取值有关.综上分析可知，且与椭圆有相等的焦距.结合选项可知B正确.故选：B7．若直线与双曲线的一条渐近线平行，则实数m的值为（    ）A． B．9 C． D．3【答案】A【分析】根据双曲线渐近线的求法，利用直线平行斜率相等即可求解.【详解】的渐近线方程满足，所以渐进线与平行，所以渐近线方程为，故故选：A8．已知椭圆的左、右焦点分别为、，长轴长，焦距为，过点的直线交椭圆于A，两点，则的周长为（     ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意画出图像，根据椭圆的定义即可求解．【详解】由题知，2a＝8，的周长为．故选：C．9．已知数列的前项和为，，且，，则当取得最大值时，A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】由题意，可得数列为等差数列，求得数列的通项公式为，进而得到当时，，当时，，即可得到答案.【详解】由题意，数列满足，即，所以数列为等差数列，设等差数列的公差为，则，所以数列的通项公式为，令，即，解得，所以当时，，当时，，所以数列中前项的和最大，故选C.【点睛】本题主要考查了等差数列的中项公式的应用，以及前n项和的最值问题，其中解答中根据等差数列的中项公式，得出数列为等差数列，得出等差数列的通项公式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.10．已知中心在原点，焦点在轴上，且离心率为的椭圆与经过点的直线交于两点，若点在椭圆内，的面积被轴分成两部分，且与的面积之比为，则面积的最大值为A． B． C． D．【答案】A【分析】设直线的方程，代入椭圆方程，由由与的面积之比为，可得，根据椭圆的离心率公式及韦达定理即可求得，利用三角形的面积公式及基本不等式的性质,即可求得面积的最大值.【详解】设椭圆的方程，设直线的方程为，联立，整理得，由椭圆的离心率，则，代入得整理，，①由与的面积之比为，则，②则，面积，当且仅当，即时取等号，故的面积的最大值为，故选A.【点睛】本题主要考查椭圆的方程与几何性质，以及直线与椭圆的位置关系，属于难题. 解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.11．已知抛物线：()的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于，两点，作，，垂足分别为，，若，，则（    ）A． B．4 C．5 D．【答案】D【解析】先设出直线的方程，联立直线与抛物线，得到：，，再由，，求出，再根据焦点弦公式即可求出.【详解】解：如图所示，由题意知：：，，设，，直线：，则，，由，得：，，，，，，解得：，设抛物线准线交轴于，则，在中，可得，，是等边三角形，，，.故选：D.【点睛】方法点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．12．已知点，圆，若在圆上存在唯一的点使得，则可以为（    ）A． B．68 C．2或或或 D．或或54【答案】C【分析】若在圆上存在唯一的点使得，存在几种情况：（1）圆内切于以为直径的圆；（2）以为直径的圆内切于圆时；（3）当点A在圆上；（4）点在圆上，每种情况分别求出的值即可.【详解】将圆化为标准方程，圆心，半径若在圆上存在唯一的点使得，当以为直径的圆和圆相切时，以为直径的圆的圆心，半径为，两圆的圆心距，①当圆内切于圆时，圆的半径，解得，②当圆内切于圆时，圆的半径，解得，当以为直径的圆和圆相交时，①当点A在圆上时，将代入中，解得：.②当点在圆上时，将代入中，解得.综上可得或或或，故选：C. 二、多选题13．下列说法正确的是（    ）A．过点且在x､y轴截距相等的直线方程为B．直线在y轴上的截距为C．直线的倾斜角为D．过点且垂直于直线的直线方程为【答案】BD【分析】A选项忽略了过原点的情况，错误，B选项计算截距得到正确，直线斜率为时，倾斜角为，C错误，根据垂直关系计算直线方程得到D正确，得到答案.【详解】过点且在x､y轴截距相等的直线方程为和，A错误；取，，则直线在y轴上的截距为，B正确；直线的斜率为，倾斜角为，C错误；垂直于直线的直线方程斜率为，过点的直线方程为，即，D正确.故选：BD.14．古希腊数学家阿波罗尼奥斯著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知，圆上有且仅有一个点满足，则的取值可以为（    ）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】AD【分析】设出动点的坐标，利用已知条件列出方程，化简可得点的轨迹方程，由点是圆上有且仅有的一点，可得两圆相切，分为外切，内切两种情况，进而可求得的值.【详解】设，由，得，整理得，又点是圆上有且仅有的一点，所以两圆相切，圆的圆心坐标为，半径为3，圆的圆心坐标为，半径为，故两圆的圆心距为5.当两圆外切时，，得，当两圆内切时，，得.故选：AD.15．等差数列的前项和为，若，公差，则（    ）A．若，则 B．若，则是中最大的项C．若，则 D．若，则【答案】BC【解析】根据等差数列二次函数的性质可判断A和B选项，然后根据题意判断出，得，判断的正负，即可可判断C和D选项.【详解】等差数列的前项和，又，，可得，所以是关于的开口向下的二次函数，若，则的对称轴，所以根据对称性可知；若，则对称轴为，所以是最大项；若，则，又，所以可得，故；不能判断正负，所以与不能比较大小.故选：BC.【点睛】关于等差数列前项和的最值问题，一般有两种求解方法：（1）利用的公式判断得是关于的二次函数，计算对称轴，即可求出最值；（2）利用的正负判断，当时，则在处取最大值，当时，则在处取最小值.16．已知双曲线，、分别为双曲线的左、右顶点，、为左、右焦点，，且，，成等比数列，点是双曲线的右支上异于点的任意一点，记，的斜率分别为，，则下列说法正确的是（    ）．A．当轴时，B．双曲线的离心率C．为定值D．若为的内心，满足，则【答案】BCD【分析】对于A求出点，再求的值即可判断；对于B由，解出e的值即可；对于C，写出，利用点 在双曲线上化简即可求解；对于D，设圆I的半径为r，可推出，再结合双曲线的定义，即可得解．【详解】∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，如图，对于A，当PF2⊥x轴时，点P为,，显然 ，即选项A错误；对于B，∴e2﹣e﹣1＝0，解得（舍负），即选项B正确；对于C,设，则，所以 ，由点在双曲线上可得，代入，故C正确；对于D，设圆I的半径为r，，即， 由双曲线的定义知，，即， 故选项D正确；故选：BCD．【点睛】关键点点睛：利用双曲线的定义与几何性质，圆的切线性质，根据数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，是解决本题的关键所在，属于中档题． 三、填空题17．已知直线过圆的圆心且与直线垂直.则的方程是__________．【答案】【分析】根据题意，求出圆的圆心，由直线垂直与斜率的关系可得直线的斜率，由直线的点斜式方程即可得答案．【详解】根据题意，因为，所以所以圆的圆心为，直线与直线垂直，则直线的斜率，则直线的方程为，变形可得；故答案为：．【点睛】、本题考查直线的点斜式方程以及圆的一般方程，注意分析圆的圆心，属于基础题．18．已知空间向量，则的最小值为_______.【答案】2【分析】利用空间向量减法和模长的坐标表示，可得，借助二次函数的性质，即得解最小值【详解】由题意，当时，则的最小值为故答案为：219．已知数列的前n项和，则数列的通项公式为______．【答案】【分析】利用与关系即得.【详解】因为，当时，，当时，，所以．故答案为：．20．椭圆的左焦点为，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点（点在第一象限），与轴交于点，若，则椭圆的离心率为_________.【答案】【解析】点斜式设出线的方程，与椭圆联立求解，用点差法计算得 关系可解.【详解】直线的方程为，设的中点为，则，由知，则为的中点，设，则，，两式相减，得，整理得，由中点公式得：，所以，得，所以.故答案为：【点睛】本题考查求椭圆离心率.求椭圆离心率的三种方法:(1)直接求出来求解通过已知条件列方程组，解出的值．(2)构造的齐次式，解出由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于离心率的一元二次方程求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．在解关于离心率的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率)进行根的取舍，否则将产生增根． 四、解答题21．已知等差数列的前n项和为，（1）求通项（2）若=210，求n【答案】（1），；（2）．【详解】（1）先分析，根据等差数列的通项公式用首项和公差表示，联立方程组即可求得；（2）根据等差数列的前n项和公式和通项公式即可求得．解：（1）设等差数列首项为，公差为d, 依题意可得，解之得 ∴（2）由（1）可知，即 =210 解之得 或 （舍去） ∴22．已知双曲线的左､右焦点分别为，点在C上，且.（1）求C的方程；（2）斜率为的直线l与C交于A，B两点，点B关于原点的对称点为D.若直线的斜率存在且分别为，证明：为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）由点的坐标求c,再根据双曲线定义求a,即可求解；（2）设直线l方程为，直接求出的斜率，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，化简即可求解.【详解】（1）设，，其中.因为，所以，解得或，又，故.所以，即.所以.所以C的方程为.（2）设，，则.设直线l方程为，与双曲线C方程联立，消去y得，.由，得.，.所以.所以.所以为定值.【点睛】关键点点睛：设直线l方程为，联立直线与双曲线方程，消元，由韦达定理可得，，计算斜率化简是解题关键，属于中档题.