2022-2023学年广东省广州市协和学校高二上学期11月月考数学试题（解析版）

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2022-2023学年广东省广州市协和学校高二上学期11月月考数学试题一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先化简集合，再求交集运算即可.【详解】由，可得或.所以.故选：A2．设，若复数的虚部与复数的虚部相等，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知条件求得的值，利用复数的乘法化简可得结果.【详解】因为复数的虚部与复数的虚部相等，则，则，因此，.故选：D.3．双曲线的渐近线方程为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】令即可求渐近线方程.【详解】令得即双曲线的渐近线方程为故选：A.4．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，分子分母同除以，即可求出结果.【详解】因为，又，所以，故选：A.5．已知向量，，，若，则实数（    ）A．－2 B．2 C．1 D．－1【答案】B【分析】由向量坐标运算求出，根据，得，计算可得.【详解】，因为，所以，所以，所以2.故选：B6．已知函数的图象如图所示.则（    ）A．0 B． C． D．【答案】A【分析】由相邻零点与对称轴间的距离为周期的四分之一，求得周期，进而求得，由最低点的坐标求得的值，进而计算得解.【详解】由图象可得的最小正周期，∴，由，解得，由得，∴，∴，故选：A7．已知圆，直线过点交圆于两点，则弦长的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先得到圆心坐标与半径，即可判断点在圆内，即可求出弦长最大、最小值，即可得解.【详解】解：圆的圆心，半径，又，所以点在圆内，当直线过圆心时，弦长取最大值，当直线时，圆心到直线的距离最大，最大值为，此时弦长取最小值；故选：D.8．在棱长为1的正方体中，是棱的中点，点在侧面内，若，则的面积的最小值是( )A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，利用向量的坐标运算求得，进而结合二次函数性质求得，利用三角形面积公式，即可求得答案.【详解】以点为空间直角坐标系的原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，则点，，所以．因为，，所以,因为，所以，所以．因为，所以，所以,因为，所以当时，．因为正方体中，平面，平面,故，所以，故选：B．二、多选题9．如图某池塘中的浮萍蔓延后的面积与时间（月）的关系：（且），以下叙述中正确的是（    ）A．这个指数函数的底数是2 B．第5个月时，浮萍的面积就会超过C．浮萍从蔓延到需要经过2个月 D．浮萍每个月增加的面积都相等【答案】AC【解析】由图像中的数据可求出函数关系式，然后逐个分析判断即可【详解】解：将点代入中，得，所以，所以A正确，当时，，所以B错误；当时，，当时，，所以浮萍从蔓延到需要经过2个月，所以C正确；由指数函数的性质可得浮萍每个月增加的面积不相等，所以D错误，故选：AC10．的内角，，的对边分别为，，.下面四个结论正确的是（    ）A．，，则的外接圆半径是2 B．若，则C．若，则一定是锐角三角形 D．若，则【答案】ABD【分析】根据正余弦定理及其应用，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对：由正弦定理知，所以外接圆半径是2，故正确；对：由正弦定理及可得，，即，由，知，故B正确；对：因为，所以为锐角，但不确定，故C错误；对：若，，所以由正弦定理得，故D正确.、故选：ABD.11．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，，，，下列结论中正确的是（    ）A．AP⊥AB B．存在实数λ，使C．是平面ABCD的法向量 D．四边形ABCD的面积为【答案】ACD【分析】根据题意，结合线面位置关系的向量判断方法，一一判断即可．【详解】因为，所以，故A正确；与不平行，故B错误．因为，且与不平行，所以是平面ABCD的法向量，故C正确；由故四边形ABCD的面积为，D正确；故选：ACD．12．已知点为抛物线的焦点，直线过点交抛物线于，两点，.设为坐标原点，，直线与轴分别交于两点，则以下选项正确的是（    ）A．B．若，则C．若，则面积的最小值为D．四点共圆【答案】ACD【分析】由抛物线焦半径公式可直接构造方程求得，知A正确；设，与抛物线方程联立可得，由向量数量积的坐标运算可知B错误；由可知C正确；表示出直线方程后，可求得点坐标，进而得到，知，同理可得，由此可知D正确.【详解】对于A，由抛物线焦半径公式得：，解得：，A正确；对于B，由题意知：直线斜率存在，设，由得：，；由得：，则，，B错误；对于C，若，则，不妨设，则（当且仅当时取等号），即面积的最小值为，C正确；对于D，直线的斜率为，直线的方程为，令得：，点的横坐标为，即，则直线的斜率，，，同理可得：，四点共圆，D正确．故选：ACD．【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用的问题，本题D选项中，证明四点共圆的基本思路是能够通过说明两条直线斜率乘积为，得到两条直线互相垂直，进而得到四边形对角互补，得到四点共圆.三、填空题13．斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为______________．【答案】2x＋y－4＝0【分析】设直线系方程，然后通过斜率确定参数即可.【详解】设所求直线方程为3x－y＋4＋λ(x＋y－4)＝0，即(3＋λ)x＋(λ－1)y＋4－4λ＝0，所以k＝＝－2，解得λ＝5∴所求直线方程为2x＋y－4＝0．14．已知一组数据1，2，2，，5，10的平均数是4，则该组数据的第25百分位数为______．【答案】2【分析】根据平均数求出，然后将这组数据按照从小到大的顺序排列，再根据第百分位数的定义即可得出答案.【详解】解：因为一组数据1，2，2，，5，10的平均数是4，所以，解得，将这组数据按照从小到大的顺序排列，得：1，2，2，4，5，10共6个数据，由，所以该组数据的第25百分位数为第2项，即2.故答案为：2.15．已知为双曲线的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两点，且，若直线的斜率为，则的离心率为______.【答案】##【分析】由题意可知四边形为矩形，结合直线的斜率为，推得，，结合双曲线定义即可求得答案.【详解】不妨设点P在第一象限内，因为为上关于坐标原点对称的两点，则线段与相互平分，所以四边形为矩形，若直线的斜率为，且，则，则，又 ，故，由定义可知：，可得，故答案为：16．在三棱柱，四边形与四边形都是菱形，是等边三角形，平面平面，分别的中点，则异面直线与所成角的余弦值是__________．【答案】【解析】如图，取AC的中点，连接，则以为原点，以的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，根据空间向量的数量积，由即可求解.【详解】如图，取AC的中点，连接．四边形是菱形，且平面平面，可得平面ABC，，则以为原点，以的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，设，则，从而，故，即异面直线与所成角的余弦值是.故答案为：四、解答题17．已知函数.(1)求的最小正周期；(2)求在上的值域.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用倍角公式及辅助角公式化简函数，进而可得周期；（2）利用正弦函数的性质可得函数的值域.【详解】（1）∵，∴，∴的最小正周期；（2）由，得，所以，∴，所以在上的值域为.18．已知圆经过两点，且圆心在轴上.(1)求圆的标准方程；(2)已知直线与直线平行，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意设出圆的标准方程，运用待定系数法列方程组求解；（2）先用斜截式设直线方程，然后根据点到直线距离公式，弦长公式进行求解即可.【详解】（1）设圆的标准方程为，其中，半径为，圆经过点，解得，圆的标准方程为；（2）由题意可得：，所以直线的斜率为，设的方程为，圆心到直线的距离为，直线与圆相交所得弦长为，解得或经检验知，当时，直线与直线重合，舍去所以的方程为.19．为进一步增强疫情防控期间群众的防控意识，使广大群众充分了解新冠肺炎疫情防护知识，提高预防能力，做到科学防护，科学预防.某组织通过网络进行新冠肺炎疫情防控科普知识问答.共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成，，，，，这六组，制成如图所示的频率分布直方图.(1)求图中a的值，并估计这100人问答成绩的中位数和平均数；（同一组数据用该组数据的中点值代替）(2)用分层随机抽样的方法从问答成绩在内的人中抽取一个容量为5的样本，再从样本中任意抽取2人，求这2人的问答成绩均在内的概率.【答案】(1)，中位数为，平均数为72(2)【分析】（1）根据频率分布直方图的性质以及中位数和平均数的概念，进行计算即可得解；（2）根据分层抽样在[60，70）内的有人，分别记为A，B；问答成绩在[70，80）内的有人分别记为a，b，C，从中任意抽取2人，列出实验的样本空间，再利用概率公式，进行计算即可得解.【详解】（1）由图可知，，解得.设中位数为x，则，所以.这100人问答成绩的平均数约为.（2）用分层随机抽样的方法从问答成绩在[60，80）内的人中抽取一个容量为5的样本，则问答成绩在[60，70）内的有人，分别记为A，B；问答成绩在[70，80）内的有人分别记为a，b，C.从中任意抽取2人，则实验的样本空间{（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），（a，b），（a，c），（b，c）}，共有10个样本点.设事件A为2人的问答成绩均在[70，80）内的概率，则，所以这2人的间答成绩均在[70，80）内的概率.20．已知椭圆与椭圆有相同的离心率，短半轴长为1.(1)求的方程；(2)过点的直线与交于两点，且为钝角（为坐标原点），求的斜率的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由条件可得、，然后可得答案；（2）设，然后联立直线与椭圆的方程消元，然后韦达定理得到，然后由为钝角可得、，据此可解出答案.【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以，因为椭圆的短半轴长为1，所以，所以可得，所以的方程为，（2）直线的方程为，由可得，由可得，设，则，因为为钝角，所以，且三点不共线，所以，所以，解得，综上可得：的取值范围为.21．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为菱形，且，平面ABCD，E为BC的中点，F为棱PC上一点．(1)求证：平面平面PAD；(2)若G为PD的中点，，是否存在点F，使得直线EG与平面AEF所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在；或【分析】（1）根据底面菱形的特点得到，再由线面垂直得到，平面，进而得到面面垂直；（2）建立空间坐标系得到线面角的表达式，求解即可.【详解】（1）证明：连接，因为底面为菱形，，所以是正三角形，是的中点，，又， 平面，平面，又平面，又平面，所以平面平面．（2）由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以为坐标原点，直线AE，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，所以，，．设平面的法向量，则即令，得平面的一个法向量．设与平面所成的角为，则，解得或，即存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，且或．22．如图，空间直角坐标系中，四棱锥的底面是边长为的正方形，底面OABC在xOy平面内，且抛物线Q：经过O、A、C三点．点B在y轴正半轴上，平面OABC，侧棱OP与底面所成角为．(1)求m的值；(2)若是抛物线Q上的动点，M是棱OP上的一个定点，它到平面OABC的距离为，写出M、N两点之间的距离，并求的最小值；(3)是否存在一个实数，使得当取得最小值时，异面直线MN与OB互相垂直？请说明理由．【答案】(1)(2)(3)不存在，理由见解析【分析】（1）根据题意，求出点的坐标，代入抛物线方程，即可得出的值；（2）根据题意可求得点的坐标，根据两点间的距离公式，利用二次函数的基本性质，即可得出函数的最小值；（3）由（2）可知，当时，当取得最小值时，求得，由异面直线与垂直时，可得，从而可得出结论.【详解】（1）解：由四棱锥是底面边长为的正方形，则，则，所以；（2）解：因为平面OABC，所以即为直线与平面所成角的平面角，即，因为点到平面OABC的距离为，则点，由是抛物线Q上的动点，则，即，则，令，设，对称轴为直线，①当时，即当时，函数在上单调递增，则，此时；②当时，即当时，此时函数在取得最小值，即，此时，综上；（3）解：当时，此时点与原点重合，则直线与为相交直线，不符；当时，则当取最小值时，，不妨设，则，，则，当异面直线与垂直时，，即，无解，综上所述，不存在一个实数，使得异面直线与垂直.