2022-2023学年广东省广州市第九十七中学高二上学期12月阶段训练数学试题（解析版）

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2022-2023学年广东省广州市第九十七中学高二上学期12月阶段训练数学试题一、单选题1．下列说法正确的是（    ）①数列1，3，5，7与数列7，3，5，1是同一数列；②数列0，1，2，3...的一个通项公式为；③数列0，1，0，1…没有通项公式；④数列是递增数列A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④【答案】B【分析】根据数列的概念即可判断A项；代入可判断B项；根据数列中前几项的特点写出通项可说明C项错误；作差法求与0的关系可判断D项.【详解】数列有顺序，①错误；逐个代入检验，可知数列前几项满足通项公式，②正确；就是③的一个通项公式，③错误；设，则，所以，，所以④正确.故选：B.2．在等差数列中，，是方程的两根，则数列的前11项和等于A．66 B．132 C．-66 D．-132【答案】D【解析】利用韦达定理得，进而，再利用求和公式求解即可【详解】因为，是方程的两根，所以，又，所以，，故选D.【点睛】本题考查等差数列的性质及求和公式，考查方程思想，是基础题3．如图，已知在平行六面体中，，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意得，进而根据空间向量求模即可.【详解】由题意可知，因为，所以，所以．故选：A．4．已知为抛物线上的任意一点，为抛物线的焦点，点坐标为，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出图形，过点作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义得，从而得出，再由、、三点共线时，取最小值得解.【详解】如下图所示：过点作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义得，，当且仅当、、三点共线时，等号成立，因此，的最小值为.故选：A.【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中等题．5．斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致．如下图是重庆千厮门嘉陵江大桥，共有对永久拉索，在索塔两侧对称排列．已知拉索上端相邻两个锚的间距均为，拉索下端相邻两个锚的间距均为．最短拉索的锚，满足，，则最长拉索所在直线的斜率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意利用已知长度可分别计算，，再利用斜率的定义可解.【详解】根据题意，最短拉索的锚，满足，，且均为，拉索下端相邻两个锚的间距均为，则，即点，同理，又，即点，所以，，故选：C.6．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（    ）A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0【答案】C【分析】两圆公共弦的垂直平分线的方程即为两圆圆心所在直线的方程，求出两圆的圆心，从而可得答案.【详解】解：AB的垂直平分线的方程即为两圆圆心所在直线的方程，圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心为，圆x2＋y2－6x＝0的圆心为，则两圆圆心所在直线的方程为，即3x－y－9＝0.故选：C.7．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点，且法向量为的直线（点法式）方程为：，化简得.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面的方程为（　）A． B．C． D．【答案】A【分析】类比平面中求动点轨迹方程的方法，在空间任取一点P（x，y，z），则（x﹣1，y﹣2，z﹣3），利用平面法向量为（﹣1，﹣2，1），即可求得结论．【详解】类比平面中求动点轨迹方程的方法，在空间任取一点P（x，y，z），则（x﹣1，y﹣2，z﹣3）∵平面法向量为（﹣1，﹣2，1），∴﹣（x﹣1）﹣2×（y﹣2）+1×（z﹣3）＝0∴x+2y﹣z﹣2＝0，故选A．【点睛】本题考查了类比推理，考查了空间向量数量积的坐标运算，由于平面向量与空间向量的运算性质相似，利用求平面曲线方程的办法，构造向量，利用向量的性质解决空间内平面方程的求解问题，属于中档题．8．已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点，，点使两曲线的一个公共点，且，若椭圆离心率，则双曲线的离心率（    ）A． B．2 C． D．3【答案】C【分析】设，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得s，t，由余弦定理，可得a，m与c的关系，结合离心率公式，可得e1，e2的关系，计算可得所求值．【详解】设，P为第一象限的交点，由椭圆和双曲线的定义可得，解得，中，，可得，即，可得，即，由，可得，故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆和双曲线的定义和性质，主要是离心率，余弦定理，考查了化简整理的运算能力，属于中档题．二、多选题9．已知直线：，则（    ）A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为C．直线的一个法向量为 D．直线的一个方向向量为【答案】BD【分析】将直线方程化简为一般式得到，截距为，的一个方向向量为，D正确，计算得到C错误，得到答案.【详解】直线：，则，，，故，A错误，直线在轴上的截距为，B正确.，故直线的一个方向向量为，D正确；，C错误.故选：BD.10．下列说法中，正确的有（    ）A．数列的通项，则中最大项为第项；B．已知数列中，，那么是这个数列的第项C．已知等差数列的前项和为，，，则；D．已知，则数列是递增数列．【答案】BCD【分析】对于A，算出即可判断；对于B，令，计算出，即可判断；对于C，利用等差数列前项和的性质即可判断；对于D，由，即可判断【详解】对于A，因为，，故中最大项不是第项，故错误；对于B，令，解得，故是的第项，故正确；对于C，已知等差数列的前n项和为，则成等差数列，所以,即，解得，故正确；对于D，由可得，即，所以数列为递增数列，故正确，故选：BCD11．设正方体的棱长为2，下列命题正确的有（    ）A．B．二面角的正切值为C．若，则正方体内的M点所形成的面积为D．设P为上的动点，则三棱锥的体积为【答案】BCD【分析】根据正方体建立空间直角坐标系，利用坐标运算可以验证选项A，B；利用四点共面确定M点区域，即可求解面积，验证选项C；利用三棱锥体积转换，求解三棱锥的体积，验证D选项.【详解】解：如图，因为正方体，建立空间直角坐标系则对于选项A，，故，选项A错误；对于选项B，由于正方体中有平面，所以可以作为平面的一个法向量又所以所以则是平面的一个法向量设二面角的大小为，且为锐角所以，故，则，故B选项正确；对于选项C，若，则若四点共面则正方体内的M点所形成区域为三角形，且则，故C选项正确；对于选项D，设P为上的动点，则三棱锥的体积，故D选项正确.故选：BCD.12．已知圆的半径为定长，A是圆所在平面内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点.当点在圆上运动时，下列判断正确的是（    ）A．点的轨迹可能是椭圆 B．点的轨迹可能是双曲线的一支C．点的轨迹可能是抛物线 D．点的轨迹可能是一个定点【答案】ABD【分析】根据点A的位置分类讨论其轨迹.【详解】①当点A在圆内时，且不为圆心连接，由已知得.∴.又∵点在圆内，∴，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆，故A正确；②当点A在圆上时，点与圆心重合，轨迹为定点，故D正确；③点在圆外时，连接QA，由已知得.∴|，又∵A在圆外，∴|，根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，为实轴长的双曲线的一支(靠近O)，故B正确；④当点与圆心重合时，点的轨迹为圆；故选：ABD.三、填空题13．直线的方向向量是，平面的法向量，若直线平面，则______．【答案】2【分析】线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，即它们的数量积为零，根据数量积的坐标表示列出方程求解即可.【详解】解：若直线平面，则，，解得，故答案为：2.14．数列的前项和为，，则通项公式______．【答案】【分析】利用公式进行求解.【详解】由题知，当时，，当时，  ①又   ②由②减去①有：，当不满足上式，所以.故答案为：.15．从点发出的光线经过直线反射，反射光线刚好通过坐标原点，则反射光线所在直线的方程为_________．【答案】【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，可求出反射光线的斜率，进而可求得反射光线所在直线的方程.【详解】设点关于直线的对称点为，则线段的中点在直线上，则，①因为直线的斜率为，直线与直线垂直，则，②联立①②可得，即点，因为反射光线过原点，所以，反射光线所在直线的斜率为，所以反射光线所在直线的方程为，即．故答案为：．16．我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心（简称“地心”）为一个焦点的椭圆，已知它的近地点（离地面最近的点）距地面，远地点（离地面最远的点）距地面，是椭圆的长轴，地球半径为，则卫星运行的椭圆轨道的长轴的长为______．【答案】15565【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，进而根据题意列出关系式即可求出.【详解】根据题意，以中点为坐标原点，，A，B所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设卫星运行的轨道的椭圆方程为，则由题知，解得，所以，卫星运行的椭圆轨道的长轴的长为.故答案为：15565.四、解答题17．记为等差数列的前项和，已知，.（1）求公差及的通项公式；（2）求，并求的最小值.【答案】（1），；（2），最小值为.【解析】（1）设的公差为，由题意得，再由可得，从而可求出的通项公式；（2）由（1）得，从而可求出其最小值【详解】（1）设的公差为，由题意得.由得.所以的通项公式为.（2）由（1）得.所以时，取得最小值，最小值为18．已知双曲线的渐近线方程为，且双曲线C过点.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线与双曲线C只有一个公共点，求实数k的值.【答案】(1)(2)或【分析】（1）由题意得，解方程组求出，从而可求得双曲线C的方程，（2）将直线方程代入双曲线方程中化简，然后二次项系数为零和二次项系数不为零，两种情况求解即可【详解】（1）由题意得，解得所以双曲线方程为.（2）由，得，由题意得，解得.当，即时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线l与双曲线C只有一个公共点，所以或.19．已知过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于，两点.（1）证明：为定值.（2）若，O为坐标原点，求的面积与的面积的比值.【答案】（1）证明见解析 （2）4【解析】（1）根据抛物线的性质得出，设出直线AB的方程，并代入抛物线方程利用韦达定理即可证明；（2）由抛物线的定义结合抛物线方程，得出，，由（1）得出，根据三角形面积公式计算即可得出结论.【详解】（1）证明：，设直线AB的方程为， 联立，得， 故. （2）解：由抛物线的定义，得，得， 则，所以. 由（1）知 故.【点睛】本题主要考查了韦达定理的应用以及抛物线中的三角形面积问题，属于中档题.20．如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．(1)证明：；(2)若为棱上一点，且满足，求平面与平面所成角的余弦值．【答案】(1)证明见详解(2)【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可证明． （2）根据为棱上一点，，求出的坐标，进而求出平面的一个法向量.又平面，所以即为平面的一个法向量.进而根据法向量可求得结果.【详解】（1）∵底面，，所以两两垂直.以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，∵，，点为棱的中点.∴，，，，，∵，，，即，∴.（2）由（1）可得，，，. 则，故，由得，，即，解得，即，设平面的法向量为，由，得，令，则，因为底面，底面，所以.又，平面，平面，，所以平面.所以，即为平面的一个法向量，，则，故平面与平面夹角的余弦值为.21．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:，且圆C被直线截得的弦长为2.(1)求圆C的标准方程；(2)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求切线的方程.【答案】(1)(2)，，，.【分析】（1）将一般方程转化标准方程，再求出弦心距，从而可求半径，故可得标准方程.（2）就直线是否过原点分类讨论后可求切线的方程.【详解】（1）圆C:即为，故，故到直线的距离为，故，故.故圆的标准方程为：.（2）若直线过原点，则其方程为：，故，故，故.故此时直线方程为：，.若直线不过原点，则可设其方程为，故，故，解得或.故此时直线方程为：，.过直线的方程为: ，，，.22．已知：点是离心率为的椭圆：上的一点．斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？（Ⅲ）求证：直线AB、AD的斜率之和为定值．【答案】（1）；（2）见解析.【详解】试题分析：（1）根据题意列出关于 、 、的方程组，结合性质   ，求出 、 、，即可得结果；；（2）设直线BD的方程为，直线与曲线联立，根据韦达定理、弦长公式点到直线的距离公式及三角形面积公式将的面积用 表示，进而可得结果；（3）将直线AB、AD的斜率之和用 表示，消去即可.试题解析：（Ⅰ） ，  ， ，，        …（Ⅱ）设直线BD的方程为 ----①    -----②设为点到直线BD：的距离， ，当且仅当时取等号.因为 ，所以当时，的面积最大，最大值为  （Ⅲ）设，，直线、的斜率分别为： 、，则 = ------*   将（Ⅱ）中①、②式代入*式整理得=0，即0.【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程方程、圆锥曲线的定值问题以及，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.