高中物理高考 第10讲 建模法-2021年高考物理解题方法大全（解析版）

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第10讲 建模法（解析版）—高中物理解题方法28法20讲江苏省特级教师 学科网特约金牌名师 戴儒京内容提要：最新的（2017版）课程标准强调科学素养。物理科学素养包括4个维度，其中一个是科学思维，科学思维有包括4个要素，其中一个是模型建构。在天体运动中，彼此相距很近、在相互间的万有引力作用下围绕同一点做匀速圆周运动的星体系统称为宇宙多星模型。宇宙多星模型常见的有双星模型、三星模型和四星模型。三星模型和四星模型又常见三角形和四边形构造。本文研究他们模型建构及具体的周期、角速度、线速度及轨道半径等问题。关键词：学科素养，科学思维，模型建构，宇宙多星模型，双星模型，三星模型、四星模型 最新的（2017版）课程标准强调科学素养。关于物理科学素养包括：1．物理观念  2．科学思维  3．科学探究  4．科学态度与责任“科学思维”是从物理学视角对客观事物的本质属性、内在规律及相互关系的认识方式；是基于经验事实建构物理模型的抽象概括过程；是分析综合、推理论证等方法在科学领域的具体运用；是基于事实证据和科学推理对不同观点和结论提出质疑和批判，进行检验和修正，进而提出创造性见解的能力与品格。“科学思维”主要包括模型建构、科学推理、科学论证、质疑创新等要素。本文谈一谈建构物理模型：宇宙多星模型。在天体运动中，彼此相距很近，在相互间的万有引力作用下，围绕同一点做匀速圆周运动的星体系统称为宇宙多星模型。在该类模型中，各星体所受的万有引力的合力提供向心力。要充分利用各星体运动的周期、角速度相等的特点，由几何关系找到各自的轨道半径。宇宙多星模型常见的有双星、三星和四星模型，常见于高考物理试题中。双星模型例题1.在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成在引力作用下都绕某点做匀速圆周运动；但在近似处理问题时，常常认为月球绕地心做圆周运动。我们把前一种假设叫“模型一”，后一种假设叫“模型二”。已知月球中心到地球中心的距离为L，月球运动的周期为T. 利用A. “模型一”可确定地球的质量B. “模型二”可确定地球的质量C. “模型一”可确定月球和地球的总质量D. “模型二”可确定月球和地球的总质量【解析】设地球的质量为M，月球的质量为m。在“模型一”（双星系统）中，设地球和月球圆周运动的轨道半径分别为、，则，根据万有引力提供向心力，有，所以质量分别为，，所以可以求出质量之和为，因为为已知，所以C正确；在“模型二”（月球绕地球圆周运动，可叫“单星模型”）中，则月球绕地球圆周运动的轨道半径为L，根据万有引力提供向心力，有，所以地球质量为，，因为为已知，所以B正确；【答案】BC 例题2．2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈，将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星A．质量之积  B．质量之和  C．速率之和   D．各自的自转角速度【解析】设两颗中子星相距为L，质量分别为、，轨道半径分别为、，根据万有引力提供向心力，有，因为，所以质量分别为，，所以可以求出质量之和为==1.4，其中=24（），，可求，B 正确。根据，得=9600=3.0m/s，可求。C正确；可以求出两颗中子星互相绕着运动的角速度，不可以求出各自的自转角速度，D错误。【答案】BC2.三星模型2.1三星在一条直线上例题3.如图所示，三个质量相等的星体，一个星体位于中心位置不动，另外两个星体围绕它做圆周运动。这三个星体始终位于同一直线上，中心星体受力平衡。求运转的星体的周期。【解析】运转的星体由其余两个星体的万有引力提供向心力解得2.2三星在等边三角形的三个顶点2．2．1两个星体质量相等，另一个不等例4. 由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况）。若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：（1）A星体所受合力大小FA；（2）B星体所受合力大小FB；（3）C星体的轨道半径RC；（4）三星体做圆周运动的周期T。【解析】（1）由万有引力定律，A星体所受B、C星体引力大小为则合力大小为（2）同上，B星体所受A、C星体引力大小分别为方向如图，则合力大小为。可得（3）通过分析可知，圆心O在中垂线AD的中点，（4）三星体运动周期相同，对C星体，由可得2.2.2三个星体质量皆不等例题5．在上题的基础上，三个星体的质量都不相等，设分别为mA=3m，mB=m，mC=2m，其他条件不变，求：（1）三个星体做圆周运动的轨道半径RA、RB、RC；（2）三个星体做圆周运动的周期T.【解法1】作图法 作图步骤：从A作AB、AC，夹角为600，且AB=AC=10，连接B、C，得等边三角形ABC；从A作平行四边形AC’O’B，使AC’=6，AB’=3，对角线AO’即为A所受B、C的万有引力的合力的方向；从B作平行四边形BA’O’’C’’，使BA’=3，BC’’=2，对角线BO’’即为B所受A、C的万有引力的合力的方向；BO’’的延长线与AO’相交于O，O点即为三星作圆周运动的共同的圆心。连接C、O。则OA=RA,OB=RB,OC=RC分别为三星作圆周运动的轨道半径。测量得OA=4.3，OB=7.4，OC=6.0，则OA=0.43a，OB=0.74a，OCB=0.60a，即为三星做圆周运动的轨道半径。以O为圆心，分别以OA、OB、OC为半径作圆，此3个圆分别为三星做圆周运动的轨迹。【解法2】公式法（1）                    求受万有引力的合力根据余弦定理，得A、B、C受的合力分别为;FA===3FB==FC===2(2)求半径之比根据FA=3mRA, FB=mRB, FC=2mRC, 将以上值代入得=, =(3)求RA及RB和RC在三角形ABO中，所以将=代入得解关于RA的一元二次方程，得RA=0.44a根据比例关系得RB=0.73aRC=0.69a(4)求周期T根据FA=3mRA得，从而。3.四星模型3.1四星在正方形4个顶点上例6.如图所示，4个质量相等的星体位于边长为L的正方形的4个顶点上，沿外接于正方形的圆轨道做匀速圆周运动。求运动周期、角速度和线速度。 【解析】对四星中的任意一星，其余3星对它的万有引力的合力提供向心力，有，其中解得周期角速度速度3.2三星在等边三角形三个顶点上，第4颗星在正三角形的中心例7.如图所示，3个质量相等皆为的星体位于边长为L的正三角形的3个顶点，另一颗质量为M的星体位于正三角形的中心O点，三颗星以O点为圆心绕正三角形的外接圆做匀速圆周运动，求运动周期及角速度、线速度。【解析】对四星中的任意一星，其余3星对它的万有引力的合力提供向心力，有，其中解得周期，角速度，线速度.总结：1. 最新的课程标准强调科学素养。物理科学素养包括：（1）物理观念  （2）科学思维  （3）科学探究  （4）科学态度与责任2. “科学思维”主要包括模型建构、科学推理、科学论证、质疑创新等要素。多星模型是远离其他星体的几个星体组成的星系。他们围绕同一点沿同一方向做匀速圆周运动的周期、角速度、线速度相等。每个星受其他星的万有引力的合力提供向心力，质量越大，其轨道半径越小。单星模型是其他星围绕一个中心星作圆周运动的模型。中心星对其卫星的万有引力提供向心力，这是一般的行星运动模型或卫星运动模型。 新题速递习题1. 2020年高考江苏省物理卷第16题空间存在两个垂直于平面的匀强磁场，y轴为两磁场的边界，磁感应强度分别为、。甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点O沿x轴正向射入磁场，速度均为v。甲第1次、第2次经过y轴的位置分别为P、Q，其轨迹如图所示。甲经过Q时，乙也恰好同时经过该点。已知甲的质量为m，电荷量为q。不考虑粒子间的相互作用和重力影响。求： (1)Q到O的距离d；(2)甲两次经过P点的时间间隔；(3)乙的比荷可能的最小值。【答案】(1)；(2)；(3)【标准答案】(1)甲粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设半径分别为r1、r2由半径得，,Q、O的距离为： =(2)甲粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设运动时间分别为t1、t2 由得，，　　且　　解得： (3)乙粒子周期性地先后在两磁场中做匀速圆周运动若经过两磁场的次数均为n，（n=1,2,3,…）相遇时，有,解得 根据题意，n=1舍去，当n=2时，有最小值，若先后经过右侧、左侧磁场的次数分别为（n+1）、n（n=0，1,2,3,…），经分析不可能相遇。综上分析，比荷的最小值为。以上的标准答案，只有“是什么”，没有“为什么”，只有“然”，没有“所以然”，所以看了后知其然不知其所以然，所以难懂。【我的解法1】作图法（形象地说明“为什么”）。（1）        用电脑Excel作的轨迹图如下：其中右圆半径为，左圆半径为，设，则右圆半径为，左圆半径为。本图R1=6，R2=4，即=12。从图得出：，本图d=4，换算得.作图方法：A列为角，取0-180（度），B列为x,（圆心在x=0，半径为R1，角度变弧度），C列为y,，（圆心在y=y1，半径为R1，角度变弧度）,本图圆心在（0，y1），半径R1=6，y1=R1=6，画出右半圆。P点是右半圆与y轴交点。角取180-360（度），，，本图半径R2=4，圆心（0，y2）,其中y2=2R1-R2=8，画出左半圆。Q点是左半圆与y轴交点。以下的图，以此类推，不再赘述。（2）作图如下从图可以看出，甲粒子第一次经过P点后，在左磁场中运动3个半圆（轨迹长度），在右磁场中运动2个半圆，第二次经过P点；也就是甲粒子第一次经过P点后，在左磁场中经过3个半周期（时间），在右磁场中经过2个半周期，第二次经过P点。因为右半周期的时间为，左半周期的时间为　　　且　　所以甲两次经过P点的时间间隔：.（3）作图如下：从上图可以看出：甲粒子经1个右半圆和1个左半圆从0点出发到达Q点（从左向右）。乙粒子经2个右半圆和2个左半圆从0点出发到达Q点（从左向右），两粒子在Q点相遇。甲粒子的时间为t=t1+t2=+=乙粒子的时间为t’=2t1’+2t2’=2+=所以有:=，得。为什么这个答案是最小值呢？因为如果乙粒子经3个（或以上）右半圆和3个左半圆（或以上）从0点出发到达Q点（从左向右），两粒子在Q点相遇。则t’=3t1’+3t2’=3+=（或更多）得（或更多）如果乙粒子和甲粒子一样经1个右半圆和1个左半圆从0点出发到达Q点（从左向右），两粒子在Q点相遇，则，不符合题意（甲、乙两种比荷不同的粒子）。那么为什么乙粒子不能从右向左与甲粒子相遇呢？（此问在标准答案中语焉不详）因为如果乙粒子从右向左与甲粒子相遇，则乙粒子的时间为,（n=0,1,2,3,…）而，有，解得，不是正整数。所以不可能。【我的解法2】建模：虫爬树法。假设一只虫从y=0沿y轴向上爬，每次向上爬3步向下退2步。（1）        甲虫爬一次，其位置Q的坐标d=3-2=1，因为3=2r1=，所以。（2）        甲虫向下爬3次，向上爬2次，就能两次经过P点，所以时间间隔为，因为,,所以=。（3）        乙虫2个周期，即乙虫向上爬2次，向下爬2次，甲虫1个周期，即甲虫向上爬1次，向下爬1次，二虫相遇。有,而，，解得。习题2. 2020年高考北京物理试题第20题某试验列车按照设定的直线运动模式，利用计算机控制制动装置，实现安全准确地进站停车。制动装置包括电气制动和机械制动两部分。图1所示为该列车在进站停车过程中设定的加速度大小随速度的变化曲线。(1)求列车速度从降至经过的时间t及行进的距离x。(2)有关列车电气制动，可以借助图2模型来理解。图中水平平行金属导轨处于竖直方向的匀强磁场中，回路中的电阻阻值为，不计金属棒及导轨的电阻。沿导轨向右运动的过程，对应列车的电气制动过程，可假设棒运动的速度与列车的速度、棒的加速度与列车电气制动产生的加速度成正比。列车开始制动时，其速度和电气制动产生的加速度大小对应图1中的点。论证电气制动产生的加速度大小随列车速度变化的关系，并在图1中画出图线。(3)制动过程中，除机械制动和电气制动外，列车还会受到随车速减小而减小的空气阻力。分析说明列车从减到的过程中，在哪个速度附近所需机械制动最强?(注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题时做必要的说明)【答案】. (1) ，；(2) 列车电气制动产生的加速度与列车的速度成正比，为过P点的正比例函数，论证过程见解析。画出的图线如下图所示：  (3) 【解析】（1）由图1可知，列车速度从降至的过程加速度为0.7m/s2的匀减速直线运动，由加速度的定义式得由速度位移公式得（2）由MN沿导轨向右运动切割磁场线产生感应电动势回路中感应电流MN受到的安培力加速度为结合上面几式得所以棒的加速度与棒的速度为正比例函数。又因为列车的电气制动过程，可假设MN棒运动的速度与列车的速度、棒的加速度与列车电气制动产生的加速度成正比，所以列车电气制动产生的加速度与列车的速度成正比，为过P点的正比例函数。画出的图线如下图所示。 (3)由（2）可知，列车速度越小，电气制动的加速度越小。由题设可知列车还会受到随车速减小而减小的空气阻力。所以电气制动和空气阻力产生的加速度都随速度的减小而减小。由图1 中，列车速度从降至的过程中加速度大小随速度v减小而增大，所以列车速度从降至的过程中所需的机械制动逐渐变强，所以列车速度为附近所需机械制动最强。（2020年9月23日 星期三）