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高中物理高考 2023届高考物理一轮复习讲义 第04讲 共点力的平衡
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这是一份高中物理高考 2023届高考物理一轮复习讲义 第04讲 共点力的平衡，共45页。试卷主要包含了整体法的应用，整体法和隔离法的综合应用，静态平衡，现给A施以一水平力F，如图所示等内容，欢迎下载使用。
第04讲 共点力的平衡
知识图谱
受力分析中的整体法和隔离法
知识精讲
一．整体法和隔离法的基本思想
1． 选择研究的对象
选择研究对象是解决物理问题的首要环节。在很多物理问题中，研究对象的选择方案是多样的，研究对象的选取方法不同会影响求解的繁简程度。隔离法与整体法都是物理解题的基本方法。
2． 整体法
整体法就是对物理问题的整个系统进行研究的方法。如果由几个物体组成的系统具有相同的加速度，一般可用整体法求加速度，但整体法不能求出系统的内力。
3． 隔离法
分析系统内各物理之间的相互作用时，需要选用隔离法，一般隔离受力较少的物体。
在某些情况下，解答一个问题时要多次选取研究对象，需要整体法与隔离法交叉使用，通常先整体后隔离。
二．受力分析中的整体法和隔离法的应用
1．整体法的应用
例如，在粗糙水平面上有一个三角形木块abc，在它的两个粗糙斜面上分别放两个质量为m1、m2的木块，且m1>m2，如图所示。已知三角形木块和两物体都静止，讨论粗糙水平面与三角形木块之间的摩擦力问题。
这个问题的一种求解方法是：分别隔离、和三角形木块进行受力分析，利用牛顿第三定律及平衡条件讨论确定三角形木块与粗糙水平面间的摩擦力。采用整体法求解更为简捷：由于、和三角形木块相对静止，故可以看成一个不规则的整体，以这一整体为研究对象，显然在竖直平面上只受重力和支持力作用，在水平方向上没有外力。
2．整体法和隔离法的综合应用
不计物体间相互作用的内力，一般首先考虑整体法。利用整体法，涉及的研究对象少，未知量少，方程少，求解简便；对于大多数动力学问题，单纯采用整体法并不一定能解决，通常采用整体法与隔离法相结合的方法。
举例说明（1），如下图，质量均为kg的10块相同的砖，平行紧靠成一直线放在光滑的地面上，第1块砖受到10N的水平力作用，讨论第7块砖对第8块砖的压力的大小。
本题需要灵活选用整体和隔离思想求解，首先由整体法求出加速度，再将后3块和前7块作为两个整体来考虑，再用隔离求解。将10块砖看作一个整体，由牛顿第二定律得：，再将后3块看作一个整体，设第7个砖对第8个砖的压力为，由牛顿第二定律得：，则第7个砖对第8个砖的压力是3N。
三．受力分析中的注意事项
1．注意研究对象的合理选取，在分析系统的内力时，必须把受力对象隔离出来，而分析系统受到的外力时，一般采用整体法，有时也采用隔离法。
2．涉及弹簧的弹力时，注意可能性的分析。
3．对于不能确定的力可以采用假设法分析。
三点剖析
一．课程目标
1． 学会灵活应用整体法和隔离法进行受力分析
受力分析中整体法和隔离法的应用
例题1、 如图所示，在两块相同的竖直木板之间，有质量均为m的4块相同的砖，用两个大小均为F的水平力压木板，使砖块静止不动，则第2块砖对第3块砖的摩擦力大小是（ ）
A.0
B.1mg
C.mg
D.2mg
例题2、 如图所示，有一个直角支架 AOB，AO水平，表面粗糙，OB竖直向下，表面光滑，AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环间由一根质量可忽略、不可伸展的细绳相连，并在某一位置平衡（如图），现将P环向右移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力N、摩擦力f的变化情况是（ ）
A.N不变，f变大
B.N不变，f不变
C.N变小，f不变
D.N变大，f变小
例题3、[多选题] 如图所示，水平桌面上有三个相同的物体a、b、c叠放在一起，a的左端通过一根轻绳与质量为m＝1kg的小球相连，绳与水平方向的夹角为60°，小球静止在光滑的半圆形器皿中。水平向右的力F＝30N作用在b上，三个物体保持静止状态。g取，下列说法正确的是（ ）
A.物体c受到向右的静摩擦力
B.物体b受到一个摩擦力，方向向左
C.桌面对物体a的静摩擦力方向水平向左
D.撤去力F的瞬间，三个物体将获得向左的加速度
例题4、[多选题] 一端装有定滑轮的粗糙斜面体放在地面上，A、B两物体通过细绳连接，并处于静止状态（不计绳的质量和绳与滑轮间的摩擦），如图所示，现用水平力F作用于物体B上，缓慢拉开一小角度，此过程中斜面体与物体A仍然静止。则下列说法正确的是（ ）
A.水平力F一定变大
B.物体A所受斜面体的摩擦力一定变大
C.斜面体所受地面的摩擦力与水平力F大小相等
D.斜面体所受地面的支持力始终等于两物体的总重力
例题5、 在竖直墙壁间有半圆球A和圆球B，其中圆球B的表面光滑，半圆球A与左侧墙壁之间的动摩擦因数为．两球心之间连线与水平方向成30°的夹角，两球恰好不下滑，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则半球圆A和圆球B的质量之比为（ ）
A.
B.
C.
D.
例题6、 如图所示，用完全相同的轻弹簧A、B、C将两个相同的小球连接并悬挂，小球处于静止状态，弹簧A与竖直方向的夹角为30°，弹簧C水平，则弹簧A、C的伸长量之比为（ ）
A.：4
B.4：
C.1：2
D.2：1
例题7、 两相同的楔形木块A、B叠放后分别以图1、2两种方式在水平外力F1和竖直外力F2作用下，挨着竖直墙面保持静止状态，则在此两种方式中，木块B受力个数分别为
A.4；4
B.4；3
C.5；3
D.5；4
例题8、 如图所示，小球被轻质细绳系住斜吊着放在静止的光滑斜面上，设小球质量m=1kg，斜面倾角α=30°，悬线与竖直方向夹角θ=30°，光滑斜面的质量为3kg，置于粗糙水平面上．g=10m/s2．
求：
（1）悬线对小球拉力大小．
（2）地面对斜面的摩擦力的大小和方向．
例题9、 如图所示，质量为m＝1kg的物体置于倾角θ＝37°的固定斜面上，物体与斜面之间的动摩擦因数μ＝0.5（重力加速度g＝10m／s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）．
（1）如图甲所示，用平行于斜面的推力F1作用于物体上，使其沿斜面匀速上滑，求F1大小。
（2）如图乙所示，若斜面不固定，改用水平推力F2作用于物体上，使物体沿斜面匀速下滑，此过程中斜面仍保持静止，求F2大小和斜面受到地面的摩擦力f地。
随练1、[多选题] 重150N的光滑球A悬空靠在竖直墙和三角形木块B之间，木块B的重力为1500N，且静止在水平地面上，如图所示，则（ ）
A.地面所受压力的大小为1650N
B.地面所受压力的大小为1500N
C.木块B所受水平地面摩擦力大小为150N
D.木块B所受水平地面摩擦力大小为N
随练2、 如图所示，两段等长细线将质量分别为2m、m的小球A、B悬挂在O点，小球A受到水平向右的恒力4F的作用、小球B受到水平向左的恒力F的作用，当系统处于静止状态时，可能出现的状态应是（ ）
A
B
C
D
A.A图
B.B图
C.C图
D.D图
随练3、 如图所示，用三根轻绳AB、BC、CD连接两个小球，两球质量均为m，A、D端固定，系统在竖直平面内静止，AB和CD与竖直方向夹角分别是30°和60°．求：三根轻绳的拉力大小。
随练4、 如图所示，水平地面上有一质量M=5kg，高h=0.2m的物块，现将质量m=3kg，半径R=0.5m光滑圆柱体放在物块与竖直墙壁之间，当物块和圆柱体都静止不动时，圆柱体恰好和地面接触但对地而无压力．重力加速度g取10m/s2，求：
（1）地面受到物块的压力大小；
（2）物块受到地面的摩擦力大小．
静态平衡问题的求解
知识精讲
一．共点力与平衡
1．共点力：力的作用点在同一个物体的同一个点或力的延长线交于一点的几个力叫做共点力。
2．平衡状态：物体处于静止状态或者匀速直线运动的状态，物体的加速度为零。
3．平衡条件：物体的合外力为零，即或。
4．静态平衡：指物体受到的力不改变，而动态平衡指物体受到的几个力中至少两个力是变力。
二．处理平衡问题的常用方法
1．矢量三角形法
一个物体受三个力作用而平衡时，则其中任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反，且这三个力首尾相接构成封闭三角形。可以通过解三角形求解相应力的大小和方向。
解题基本思路：①分析物体的受力情况；②作出力的平行四边形(或力的矢量三角形)；③根据三角函数的边角关系或勾股定理或相似三角形的性质等求解相应力的大小和方向。
2．正交分解法
物体受到多个力的作用力时，一般都采用正交分解法。注意建立坐标系时，使更多的力与坐标轴重合。
解题的基本思路：①先分析物体的受力情况；②再建立直角坐标系；③然后把不在坐标轴上的力进行分解；④最后根据力的平衡条件列方程，求解未知量。
三点剖析
一．课程目标
1． 学会处理静态平衡的受力分析
矢量三角形法的应用
例题1、 如图，A、B两球用劲度系数为k1的轻弹簧相连，B球用长为L的细绳悬于O点，A球固定在O点正下方，且O、A间的距离恰为L，此时绳子所受的拉力为T1，弹簧的弹力为F1，现把A、B间的弹簧换成劲度系数为k2（k1＞k2）的轻弹簧，仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为T2， 弹簧的弹力为F2，则下列说法正确的是（ ）
A.T1＜T2
B.F1＜F2
C.T1＝T2
D.F1＝F2
例题2、 如图所示，三根长度均为L的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相距2L，现在C点上悬挂一个质量为M的重物，为使CD绳保持水平，在D点上可施加力的最小值为（ ）
A.mg
B.
C.
D.
例题3、 如图所示，两小球A.B固定在一轻质细杆的两端，其质量分别为和，将其放入光滑的半圆形碗中，但细杆保持静止时，圆的半径OA.OB与竖直方向夹角分别为和，则和的比值为（ ）
A.
B.
C.
D.
例题4、 表面光滑，半径为的半径固定在水平地面上，球心的正上方处有一无摩擦定滑轮，轻质细绳两端各系一个可看成质点的小球挂在定滑轮上，如图所示．两小球平衡时，若滑轮两侧细绳的长度分别为和，已知小球的质量为，则的质量为（ ）
A.
B.
C.
D.
随练1、 如图，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上：一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球，在a和b之间的细线上悬挂一小物块。平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径。不计所有摩擦，小物块的质量为（ ）
A.
B.
C.m
D.2m
随练2、[多选题] 如图AC、BC两轻杆构成一支架，在支架顶端C挂一重物P，则C端点除了受绳竖直向下的拉力外，还受到（ ）
A.BC杆对C点沿杆向上的支撑力
B.AC杆对C点沿杆向上的支撑力
C.当P加重时必定BC、AC受力都增大
D.当P加重时必定BC受力增大，AC受力减小
随练3、 如图所示，质量为m（可视为质点）的小球P，用两根轻绳OP和O'P在P点拴结实后再分别系与竖直墙上且相距0.4m的O、O'两点上，绳OP长0.5m，绳O'P刚拉直时，OP绳拉力为T1，绳OP刚松弛时，O'P绳拉力为T2，θ=37°，则为（sin37°=0.6，cos37°=0.8）（ ）
A.3：4
B.4：3
C.3：5
D.4：5
正交分解法的应用
例题1、[多选题] 倾角为θ＝37°的斜面与水平面保持静止，斜面上有一重为G的物体A，物体A与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5．现给A施以一水平力F，如图所示．设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等（sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8），如果物体A能在斜面上静止，水平推力F与G的比值可能是（ ）
A.3
B.2
C.1
D.0.05
例题2、[多选题] 如图所示，在一根水平的粗糙的直横梁上，套有两个质量均为m的铁环，两铁环系有等长的细绳，共同拴着质量为M的小球，两铁环与小球均保持静止。现使两铁环间距离增大少许，系统仍保持静止，则水平横梁对左侧铁环的支持力FN和摩擦力Ff将（ ）
A.FN增大
B.Ff增大
C.FN不变
D.Ff不变
例题3、[多选题] 如图所示，重80N的物体A放在倾角为30°的粗糙斜面上，有一根原长为10cm、劲度系数为1000N／m的弹簧，其一端固定在斜面底端，另一端放置物体A后，弹簧长度缩短为8cm，现用一测力计沿斜面向上拉物体，若物体与斜面间最大静摩擦力为25N，当弹簧的长度仍为8cm时，测力计读数可能为（ ）
A.10N
B.20N
C.40N
D.60N
例题4、 如图所示，光滑的圆环固定在竖直平面内，圆心为O，三个完全相同的小圆环a、b、c穿在大环上，小环c上穿过一根轻质细绳，绳子的两端分别固定着小环a、b，通过不断调整三个小环的位置，最终三小环恰好处于平衡位置，平衡时a、b的距离等于绳子长度的一半。已知小环的质量为m，重力加速度为g，轻绳与c的摩擦不计。则（ ）
A.a与大环间的弹力大小
B.绳子的拉力大小为
C.c受到绳子的拉力大小为3mg
D.c与大环间的弹力大小为3mg
随练1、 如图所示，倾角θ＝30°的斜面上有一重为G的物体，在与斜面底边平行的水平推力作用下沿斜面上的虚线匀速运动，若图中φ＝45°，则（ ）
A.物体一定不沿虚线运动
B.物体一定沿虚线向上运动
C.物体与斜面间的动摩擦因数
D.物体与斜面闻的动摩擦因数
动态平衡问题的求解
知识精讲
一． 动态平衡的概念
“动态平衡”是指物体所受的力一部分是变力，是动态力，力的大小和方向均发生改变，但是，变化过程中的每一个状态均可视为平衡状态，所以叫“动态平衡”。
二． 动态平衡问题的常用分析方法
1． 解析法
对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件列式求解，得到因变量与自变量的一般函数表达式，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。
解析法分析动态平衡问题的步骤：
（1）选某一状态对物体进行受力分析；
（2）将物体受的力按实际效果分解或正交分解；
（3）列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式；
（4）根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况。
2．图解法
在三力平衡中，若一个力的大小和方向不变，另一个力的方向不变，一般采用图解法。
举例说明：如图，重为G的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间。若挡板逆时针缓慢转到水平位置，在该过程中，分析斜面和挡板对小球的弹力的大小F1、F2各如何变化？
由于挡板是缓慢转动的，可认为每个时刻小球都处于静止状态，因此所受合外力为零。应用三角形定则，G、F1、F2三个矢量应组成封闭三角形，其中G的大小、方向始终保持不变；F1的方向不变；F2的起点在G的终点处，而终点必须在F1所在的直线上，由作图可知，挡板逆时针转动90°过程中，矢量F2也逆时针转动90°，因此F1逐渐变小，F2先变小后变大。（当F2⊥F1，即挡板与斜面垂直时，F2最小）
3．三角形相似法
这种方法在具体应用时，先画出力的作用线构成的三角形，再寻找与三角形相似的空间三角形（即具有物理意义的三角形和具有几何意义的三角形相似），最后由相似三角形建立比例关系求解。
在三力平衡中，若一个力的大小、方向不变，另外两个力的方向都改变，一般用相似三角形处理。
举例说明：如图所示，在半径为R的光滑半球面正上方距球心h处悬挂一定滑轮，重为G的小球A被站在地面上的人用绕过滑轮的绳子拉住。人拉动绳子，在与球面相切的某点缓慢运动到接近顶点的过程中，试分析光滑半球对小球的支持力N和绳子拉力F如何变化。
小球在重力G，球面的支持力N，绳子的拉力F作用下，处于动态平衡。任选一状态进行受力分析，不难看出，力的三角形与几何关系三角形相似，从而有：
，（其中与G等大，L为绳子AB的长度）；
由于在拉动过程中，R、h不变，绳长L在减小，可见：球面的支持力大小不变，绳子的拉力在减小。
三点剖析
一．课程目标
1． 学会利用解析法、图解法、三角形相似法分析动态平衡问题
动态平衡问题中的解析法
例题1、 半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，其右端有固定放置的竖直挡板MN，在P和MN之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q，整个装置处于静止状态，如图所示是这个装置的截面图，若用外力使MN保持竖直且缓慢地向右移动，在Q落到地面以前，发现P始终保持静止，在此过程中，下列说法中正确的是 （ ）
A.MN对Q的弹力逐渐减小
B.地面对P的摩擦力逐渐增大
C.P、Q间的弹力先减小后增大
D.Q所受的合力逐渐增大
例题2、 如图所示，一根轻弹簧上端固定在O点，下端拴一个钢球P，球处于静止状态．现对球施加一个方向向右的外力F，使球缓慢偏移，在移动中弹簧与竖直方向的夹角θ＜90°，且弹簧的伸长量不超过弹性限度，并始终保持外力F的方向水平，则图中给出的弹簧伸长量x与cosθ的函数关系图像中，最接近的是（ ）
A.
B.
C.
D.
例题3、 如图所示，一光滑轻绳左端固定在竖直杆顶端，其右端系于一光滑圆环上，圆环套在光 滑的矩形支架 ABCD 上。现将一物体以轻质光滑挂钩悬挂于轻绳之上，若使光滑圆环沿着 ABCD 方向在支架上缓慢的顺时针移动，圆环在 A、B、C、D 四点时，绳上的张力分别为Fa、Fb、Fc、Fd 则（ ）
A.Fa＜Fb
B.Fb＞Fc
C.Fc＝Fd
D.Fd＜Fa
随练1、 如图，一小球放置在木板与竖直墙面之间．设墙面对球的压力大小为N1，球对木板的压力大小为N2．以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置．不计摩擦，在此过程中（ ）
A.N1始终减小，N2始终增大
B.N1始终减小，N2始终减小
C.N1先增大后减小，N2始终减小
D.N1先增大后减小，N2先减小后增大
动态平衡问题中的图解法
例题1、 质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上，用水平力F拉着绳的中点O，使OA段绳偏离竖直方向一定角度，如图所示。设绳OA段拉力的大小为T，若保持O点位置不变，则当力F的方向顺时针缓慢旋转至竖直方向的过程中（ ）
A.F先变大后变小，T逐渐变小
B.F先变大后变小，T逐渐变大
C.F先变小后变大，T逐渐变小
D.F先变小后变大，T逐渐变大
例题2、 如图，用OA、OB两根轻绳将花盆悬于两竖直墙之间，开始时OB绳水平．现保持O点位置不变，改变OB绳长使绳右端由B点缓慢上移至B′点，此时OB′与OA之间的夹角θ＜90°．设此过程OA、OB绳的拉力分别为FOA、FOB，则下列说法正确的是（ ）
A.FOA一直减小
B.FOA一直增大
C.FOB一直减小
D.FOB先减小后增大
例题3、[多选题] 如图所示，带有光滑竖直杆的三角形斜劈固定在水平地面上，放置于斜劈上的光滑小球与套在竖直杆上的小滑块用轻绳连接，开始时轻绳与斜劈平行．现给小滑块施加一个竖直向上的拉力，使小滑块沿杆缓慢上升，整个过程中小球始终未脱离斜劈，则有（ ）
A.小球对斜劈的压力先减小后增大
B.轻绳对小球的拉力逐渐增大
C.竖直杆对小滑块的弹力先增大后减小
D.对小滑块施加的竖直向上的拉力逐渐增大
随练1、[多选题] 如图所示，在直角框架MQN上，用轻绳OM、ON共同悬挂一个物体。物体的质量为m，ON呈水平状态。现让框架沿逆时针方向缓慢旋转90°，在旋转过程中，保持结点O位置不变。则下列说法正确的是（ ）
A.绳OM上的力一直在减小
B.绳ON上的力一直在增大
C.绳ON上的力先增大再减小
D.绳OM上的力先减小再增大
随练2、 如图所示，小球系在细绳的一端，放在倾角为α的光滑斜面上，用力将斜面在水平桌面上缓慢向左移动，使小球缓慢上升（最高点足够高），那么在斜面运动的过程中，细绳的拉力将（ ）
A.先增大后减小
B.先减小后增大
C.一直增大
D.一直减小
动态平衡问题中的三角形相似法
例题1、 如图所示，竖直墙壁上固定有一个光滑的半圆形支架（AB为直径），支架上套着一个小球，轻绳的一端悬于P点，另一端与小球相连．已知半圆形支架的半径为R，轻绳长度为L，且R＜L＜2R．现将轻绳的上端点P沿墙壁缓慢下移至A点，此过程中轻绳对小球的拉力F1及支架对小球的支持力F2的大小变化情况为（ ）
A.F1和F2均增大
B.F1保持不变，F2先增大后减小
C.F1先减小后增大，F2保持不变
D.F1先增大后减小，F2先减小后增大
例题2、[多选题] 如图所示，绳与杆均不计重力，承受力的最大值一定．A端用绞链固定，滑轮O在A点正上方（滑轮大小及摩擦均可忽略），B端吊一重物P，现施加拉力FT将B缓慢上拉，在杆转到竖直前（ ）
A.OB段绳中的张力变大
B.OB段绳中的张力变小
C.杆中的弹力大小不变
D.杆中的弹力变大
例题3、 如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔，质量为m的小球套在圆环上，一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔用手拉住，现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移，在移动过程中手对线的拉力F和轨道对小球的弹力N的大小变化情况是（ ）
A.F减小，N不变
B.F不变，N减小
C.F不变，N增大
D.F增大，N减小
随练1、 如图所示，质量均匀的细棒中心为O点，O1为光滑铰链，O2为光滑定滑轮，O2在O1正上方，一根轻绳一端系于O点，另一端跨过定滑轮O2由水平外力F牵引，用N表示铰链对杆的作用，现在外力F作用下，细棒从图示位置缓慢转到竖直位置的过程中，下列说法正确的是（ ）
A.F逐渐变小，N大小变大
B.F逐渐变小，N大小不变
C.F先变小后变大，N逐渐变小
D.F先变小后变大，N逐渐变大
平衡问题中的临界与极值
知识精讲
三． 临界问题
当某物理量发生变化时，会引起其他物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或者“恰好不出现”，在问题的描述中，常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言来描述。
四． 极值问题
物体平衡的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题，一般用图解法或解析法进行分析。
三．解决极限问题和临界问题的方法
1．极限法
首先要正确进行受力分析和变化过程的分析，找出平衡的临界点和极值点；
临界条件必须在变化中寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而是要把某个物理量推向极端，即极大和极小，并依次做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论。
2．数学分析法
通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系（或画出函数图像），用数学方法求极值（如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值），但利用数学方法求出极值后，一定要依据物理原理对该值的合理性及物理意义进行讨论和说明。
3． 物理分析法
根据物体的平衡条件，做出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则 进行动态分析，确定最大值与最小值。
三点剖析
一．课程目标
1．学会灵活分析平衡问题中的临界与极值
共点力平衡中的临界问题
例题1、 物体的质量为2kg，两根轻细绳AB和AC的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ角的拉力F，相关几何关系如图15所示，θ＝60°，若要使绳都能伸直有两种可能，一种情况是AB绳上的拉力刚好为零，一种情况是AC绳上的拉力刚好为零，请你分别求出这两种情况下的拉力F的大小，并总结出拉力F的大小范围．（g取10m／s2）
例题2、 如图所示，内壁及碗口光滑的半球形碗固定在水平面上，碗口保持水平．A球、C球与B球分别用两根轻质细线连接，当系统保持静止时，B球对碗壁刚好无压力，图中θ＝30°，则A球、C球的质量之比为（ ）
A.1：2
B.2︰1
C.
D.
例题3、 如图在水平板的左端有一固定挡板，挡板上连接一轻质弹簧．紧贴弹簧放一质量为m的滑块，此时弹簧处于自然长度．已知滑块与板的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．现将板的右端缓慢抬起（板与水平面的夹角为θ），直到板竖直，此过程中弹簧弹力的大小F随夹角θ的变化关系可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
例题4、 拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具（如图）。设拖把头的质量为m，拖杆质量可以忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数μ，重力加速度为g，某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为θ。
（1）若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小。
（2）设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为λ．已知存在一临界角θ0，若θ≤θ0，则不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使拖把从静止开始运动。求这一临界角的正切tanθ0。
随练1、 如图所示，有一个重量为20N的小物体放在斜面上，斜面底边长AB＝40cm，高BC＝30cm，物体与斜面之间的动摩擦因数为μ＝0.5，物体在一沿斜面向上的力F的作用下刚好处于静止状态（最大静摩擦力等于滑动摩擦力），现将力F顺时针转动至水平向右并保持不变，求此时物体与斜面之间的摩擦力。
随练2、 如图所示，物体A、B置于水平地面上，与地面动摩擦因数均为μ，物体A、B用一跨过动滑轮的细绳相连，现用逐渐增大的力向上提动滑轮，某时刻拉A物体的绳子与水平面成53°，拉B物体的绳子与水平面成37°，此时A、B两物体刚好处于平衡状态，则A、B两物体的质量之比为（认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）（ ）
A.
B.
C.
D.
共点力平衡中的极值问题
例题1、 如图所示，A，B两个质量均为m的小球用轻质细绳相连，另一轻质细绳一端系A球，另一端固定于墙上的O点，力F作用在B球上，系统处于静止状态，此时OA绳与竖直方向的夹角为α，AB绳与竖直方向的夹角为β．重力加速度为g．若改变力F的大小和方向，当系统再次处于静止状态时，AB绳与竖直方向的夹角仍为β，则力F的最小值为（ ）
A.mgsinβ
B.mgtanβ
C.2mgtanα
D.2mgsinα
例题2、 如图所示，将半球置于水平地面上，半球的中央有一光滑小孔，柔软光滑的轻绳穿过小孔，两端分别系有质量为m1、m2的物体（两物体均可看成质点），它们静止时m1与球心O的连线与水平线成45°角，m1与半球面的动摩擦因数为0.5，m1所受到的最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力，则的最小值是（ ）
A.
B.
C.
D.
例题3、 如图所示，AC和BC两轻绳共同悬挂一质量为8kg的物体，若保持AC绳的方向不变，AC与竖直向上方向的夹角为60°，BC绳的方向与竖直向上方向的夹角为θ且可以改变，（g＝10N／kg）试求：
（1）当θ＝60°且物体平衡时，BC绳上的拉力大小；
（2）θ在0～90°的范围内，物体平衡时BC绳上拉力的最大值和最小值．
随练1、 如图，一根轻绳跨过定滑轮，连接着质量分别为M和m的两物体，滑轮左侧的绳和斜面平行，两物体都保待静止不动．已知斜面倾角为37° （sin37°=0.6，cos37°=0.8），质量为M的物体和斜面间的动摩擦因数为0.5，设最大静摩擦力等子滑动摩擦力，不计绳与定滑轮之间的摩擦，则M与m的比值应该是（ ）
A.1≤≤5
B.1≤≤6
C.2≤≤5
D.2≤≤6
随练2、 如图所示，用绳AC和BC吊起一重物，绳与竖直方向夹角分别为30°和60°，AC绳能承受的最大的拉力为120N，而BC绳能承受的最大的拉力为80N，物体最大重力不能超过多少（ ）
A.100N
B.160N
C.80N
D.100N
拓展
1、 在粗糙水平面上有一个三角形木块abc，在它的两个粗糙斜面上分别放两个质量为m1、m2的木块，且m1＞m2，如图所示．已知三角形木块和两物体都静止，则粗糙水平面对三角形木块（ ）
A.有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向右
B.有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向左
C.有摩擦力的作用，但摩擦力的方向不能确定
D.结论都不对
2、 如图，位于水平桌面上的物块P，由跨过定滑轮的轻绳与物块相连，从滑轮到P和到Q的两段绳都是水平的，已知Q与P之间以及P与桌面之间的动摩擦因数都为μ，两物块的质量都是m，滑轮轴上的摩擦不计，若用一水平向右的力F拉P使其做匀速运动，则F的大小为（ ）
A.4μmg
B.3μmg
C.2μmg
D.1μmg
3、[多选题] 如图所示，两个质量均为M，相同的直角三角形斜面体A．B放在粗糙的水平面上，A、B的斜面部分都是光滑的，倾角都是θ=60°．另一质量分布均匀且质量为m的直铁棒C水平架在A．B的斜面上，A、B、C均处于静止状态．已知重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A.地面对A的摩擦力大小为mg
B.地面对A的摩擦力大小为mg
C.地面对A的支持力大小为Mg+mg
D.若使A．B靠近，使C位置略上升，再次平衡时，地面对A的摩擦力增大
4、[多选题] 如图所示，将两个质量均为m的小球a、b用细线相连悬挂于O点，用力F拉小球a，使整个装置处于平衡状态，且悬线Oa与竖直方向的夹角为θ＝30°，则F的大小（ ）
A.可能为
B.可能为
C.可能为mg
D.可能为
5、 如图，质量为M、半径为R的半球形物体A放在粗糙水平地面上，通过最高点处的钉子用水平轻质细线拉住一质量为m、半径为r的光滑球B，重力加速度为g．则（ ）
A.A对地面的摩擦力方向向左
B.B对A的压力大小为mg
C.细线对小球的拉力大小为mg
D.若剪断绳子（A不动），则此瞬时球B加速度大小为
6、 如图所示，可视为质点的物体A和B，质量分别为mA＝2kg和kg，被两根质量不计的轻绳固定在如图所示的装置上，整体处于竖直平面内且处于静止状态。装置与水平方向夹角为α＝30°，装置两端为大小不计的光滑定滑轮。左绳下面部分水平，右绳与水平方向夹角为β＝60°，g＝10m／s2．求：
（1）两根细绳的弹力大小；
（2）物体A所受的摩擦力。
7、[多选题] 如图所示，斜面上放有两个完全相同的物体a、b，两物体间用一根细线连接，在细线的中点加一与斜面垂直的拉力F，使两物体均处于静止状态。则下列说法不正确的是（ ）
A.a、b两物体的受力个数一定相同
B.a、b两物体对斜面的压力相同
C.a、b两物体受到的摩擦力大小一定相等
D.当逐渐增大拉力F时，物体a先开始滑动
8、 如图光滑的四分之一圆弧轨道AB固定在竖直平面内，A端与水平面相切，穿在轨道上的小球在拉力F作用下，缓慢地由A向B运动，F始终沿轨道的切线方向，轨道对球的弹力为N．在运动过程中（ ）
A.F增大，N减小
B.F减小，N减小
C.F增大，N增大
D.F减小，N增大
9、 如图，半圆形金属框竖直放在粗糙的水平地面上，套在其上的光滑小球P在水平外力F的作用下处于静止状态，P与圆心O的连线与水平面的夹角为θ，现用力F拉动小球，使其缓慢上移到框架的最高点，在此过程中金属框架始终保持静止，下列说法中正确的是（ ）
A.框架对小球的支持力先减小后增大
B.水平拉力F 先增大后减小
C.地面对框架的摩擦力一直减小
D.地面对框架的支持力先减小后增大
10、 如图所示，一根轻绳跨过定滑轮后系在质量较大的球上，球的大小不可忽略．在轻绳的另一端加一个力F，使球沿斜面由图示位置缓慢拉上顶端，各处的摩擦不计，在这个过程中拉力F（ ）
A.逐渐增大
B.保持不变
C.先增大后减小
D.先减小后增大
11、[多选题] 如图所示，不可伸长的轻绳AO和BO下端共同系一个物体P，且绳长AO＞BO，AB两端点在同一水平线上，开始时两绳刚好绷直，细绳AO、BO的拉力分别设为FA、FB，现保持A、B端点在同一水平线上，在A、B缓慢向两侧远离的过程中，关于两绳拉力的大小随A、B间距离的变化情况是（ ）
A.FA随距离的增大而一直增大
B.FA随距离的增大而一直减小
C.FB随距离的增大而一直增大
D.FB随距离的增大先减小后增大
12、 如图9所示，轻绳AB能承受的最大拉力为100N，在它下面悬挂一重为50N的重物，分两种情况缓慢地拉起重物．第一次，施加一水平方向的力F作用于轻绳AB的O点；第二次用拴有光滑小环的绳子，且绳子所能承受的最大拉力也为50N．绳子刚好断裂时，绳AB上部分与竖直方向的夹角分别为θ1和θ2，关于两者大小关系的说法中正确的是（ ）
A.θ1＞θ2
B.θ1＝θ2
C.θ1＜θ2
D.无法确定
13、[多选题] 如图所示，一根轻绳上端固定在O点，下端拴一个重量为G的小球，开始时轻绳处于垂直状态，轻绳所能承受的最大拉力为2G，现对小球施加一个方向始终水平向右的力F，使球缓慢地移动，则在小球缓慢地移动过程中，下列说法正确的是（ ）
A.力F逐渐增大
B.力F的最大值为
C.力F的最大值为2G
D.轻绳与竖直方向夹角最大值θ＝30°
14、[多选题] 如图所示，用绳子AO和BO悬挂一物体，绳子AO和BO与水平天花板的夹角分别为60°和30°，且能够承受的最大拉力均为T，在不断增加物体重力的过程中（绳子OC不会断）（ ）
A.绳子AO先断
B.绳子BO先断
C.物体的重力最大为2T
D.物体的重力最大为T
15、 课堂上，老师准备了“L”型光滑木板和三个完全相同、外表面光滑的匀质圆柱形积木，要将三个积木按图示（截面图）方式堆放在木板上，则木板与水平面夹角θ的最大值为（ ）
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
答案解析
受力分析中的整体法和隔离法
受力分析中整体法和隔离法的应用
例题1、
【答案】 A
【解析】 将4块砖看成一个整体，对整体进行受力分析，在竖直方向，共受到三个力的作用：竖直向下的重力4mg，两个相等的竖直向上的摩擦力f，由平衡条件可得：2f=4mg，f=2mg。由此可见：第1块砖和第4块砖受到木板的摩擦力均为2mg；将第1块砖和第2块砖当作一个整体隔离后进行受力分析，受竖直向下的重力2mg，木板对第1块砖向上的摩擦力f=2mg；由平衡条件可得二力已达到平衡，第2块砖和第3块砖之间的摩擦力必为零。
例题2、
【答案】 A
【解析】 对小环Q受力分析，受到重力、支持力和拉力，如图
根据三力平衡条件，得到
T=
FN=mgtanθ
再对P、Q整体受力分析，受到总重力、OA杆支持力、向右的静摩擦力、BO杆的支持力，如图
根据共点力平衡条件，有
FN=f
N=（m+m）g=2mg
故：f=mgtanθ
当P环向右移一小段距离，角度θ变大，故静摩擦力f变大，支持力N不变．
所以A正确，BCD错误．
例题3、[多选题]
【答案】 B C
【解析】 暂无解析
例题4、[多选题]
【答案】 A C
【解析】 A、对木块B受力分析，如图，根据共点力平衡条件有：F＝mBgtanθ，在缓慢拉开B的过程中，θ变大，故F变大，故A正确；
B、物体A受重力、支持力、细线的拉力，可能没有静摩擦力，也可能有沿斜面向下的静摩擦力，还有可能受沿斜面向上的静摩擦力，故拉力T变大后，静摩擦力可能变小，也可能变大。故B错误。
C、以整体为研究对象，水平方向合外力为零，斜面体所受地面的摩擦力与水平力F大小相等，故C正确。
D、对斜面体和木块A、B整体受力分析，由于一直平衡，故支持力等于系统的总重力包括A，B和斜面，故D不正确。
例题5、
【答案】 C
【解析】 解：设A的质量为m，B的质量为M，
隔离光滑均匀圆球B，对B受力分析如图所示，可得：
FN=Fcosθ
Mg﹣Fsinθ=0
解得：FN=，
对两球组成的整体有：
（m+M）g﹣μFN=0
代入数据，联立解得：
故选：C．
例题6、
【答案】 D
【解析】 将两球和弹簧B看成一个整体，整体受到总重力G、弹簧A和C的拉力，如图，设弹簧A、C的拉力分别为F1和F2．由平衡条件得知，F2和G的合力与F1大小相等、方向相反
则得：F2=F1sin30°=0.5F1．
根据胡克定律得：F=kx，k相同，则 弹簧A、C的伸长量之比等于两弹簧拉力之比，即有xA：xC=F1：F2=2：1
故选：D．
例题7、
【答案】 C
【解析】 图1中，根据整体法可知，木块B除了重力外，一定受到墙面水平向右的弹力和竖直向上的静摩擦力，隔离B分析，其一定还受到A的弹力（垂直于接触面向左上方），但A对B有无静摩擦力暂不确定，需再隔离A分析，A确定受到重力、水平向左的推力、B对齐垂直于接触面向右下的弹力，这样的三个力不可能使A平衡，所以A一定还要受到B对其沿接触面斜面右上的静摩擦力才能平衡，至此可确定B一定受到A沿接触面斜向左下的静摩擦力，及B共受5个力；图2中，据整体法可知B与墙面间即无弹力也无摩擦力，所以木块B受重力，A的弹力和摩擦力共3个力的作用，C正确；
例题8、
【答案】 （1）N（2）N；水平向左
【解析】 （1）以小球为研究对象，受力分析如答图1所示．
根据平衡条件得知，T与N的合力F=mg
得T==N
（2）以小球和斜面整体为研究对象，受力分析如答图2所示．
由于系统静止，合力为零，则有
N
方向水平向左
例题9、
【答案】 （1）10N
（2）；
【解析】 （1）以物体m为研究对象（隔离法），
N1＝mgcosθ，
mgsinθ＋f1＝F1，
f1＝μN1，
联立解得F1＝10N；
（2）以物体m为研究对象（隔离法）N2＝mgcosθ＋F2sinθ，
mgsinθ＝F2cosθ＋f2，
f2＝μN2，
，
以整体为研究对象（整体法），
方向水平向左．
答：（1）如图甲所示，用平行于斜面的推力F1作用于物体上，使其沿斜面匀速上滑，F1大小为10N；
（2）如图乙所示，若斜面不固定，改用水平推力F2作用于物体上，使物体沿斜面匀速下滑，此过程中斜面仍保持静止，F2大小为，斜面受到地面的摩擦力f地为．
随练1、[多选题]
【答案】 A D
【解析】 暂无解析
随练2、
【答案】 B
【解析】 A受到4F水平向右的力，B受到F的水平向左的力
以整体为研究对象，分析受力如图．
设OA绳与竖直方向的夹角为α，则由平衡条件得
tanα==
以B球为研究对象，受力如图．设AB绳与竖直方向的夹角为β，则由平衡条件得
tanβ=
得到α=β
故选：B
随练3、
【答案】 AB、BC、CD三根轻绳的拉力大小分别为、mg、mg
【解析】 以B、C整体为研究对象，受力分析，如图，由平衡条件得：
FAB＝2mgcos30°，
FDC＝2mgsin30°，
解得：，FDC＝mg，
以C为研究对象，受力分析，如图，由平衡条件得：
FBCcosα＝FDCsin60°，
FBCsinα＋FDCcos60°＝mg，
解得：α＝30°，FBC＝mg．
答：AB、BC、CD三根轻绳的拉力大小分别为、mg、mg。
随练4、
【答案】 （1）地面受到物块的压力大小为80N
（2）物块受到地面的摩擦力大小为22.5N
【解析】 （1）对物块M和圆柱体m整体受力分析，如图所示：
根据平衡条件，有：
N2=f ①
N1=（M+m）g=（5+3）×10=80N ②
根据牛顿第三定律，地面受到物块的压力大小也为80N；
（2）对圆柱体分析，如图所示：
结合几何关系，有：sinθ=③
根据平衡条件，有：
水平方向：N2=N3cosθ ④
竖直方向：mg=N3sinθ ⑤
联立①③④解得：
f===22.5N
答：（1）地面受到物块的压力大小为80N；
（2）物块受到地面的摩擦力大小为22.5N．
静态平衡问题的求解
矢量三角形法的应用
例题1、
【答案】 C
【解析】 暂无解析
例题2、
【答案】 C
【解析】 由图可知，要想CD水平，各绳均应绷紧，则AC与水平方向的夹角为60°；
结点C受力平衡，则受力分析如图所示，则CD绳的拉力T＝mgtan30°＝mg；
D点受绳子拉力大小等于T，方向向左；要使CD水平，D点两绳的拉力与外界的力的合力为零，则绳子对D点的拉力可分解为沿BD绳的F1，及另一分力F2，由几何关系可知，当力F2与BD垂直时，F2最小，而F2的大小即为拉力的大小；故最小力；
例题3、
【答案】 A
【解析】 暂无解析
例题4、
【答案】 B
【解析】 先以左侧小球为研究对象，分析受力情况：重力、绳子的拉力和半球的支持力．作用图．
由平衡条件得知，拉力和支持力的合力与重力大小相等、方向相反．设，根据三角形相似得：，
解得：①
同理，以右侧小球为研究对象，得：②，
最后带入数据，可得B正确．
随练1、
【答案】 C
【解析】 设悬挂小物块的点为O'，圆弧的圆心为O，由于ab＝R，所以三角形Oab为等边三角形。
由于圆弧对轻环的支持力沿半径方向背向圆心，所以小球和小物块对轻环的合力方向由轻环指向圆心O，因为小物块和小球对轻环的作用力大小相等，所以aO、bO是∠maO′、∠mbO′的角平分线，所以∠O'Oa＝∠maO＝∠mbO＝30°，那么∠mbO′＝60°，
所以由几何关系可得∠aO'b＝120°，而在一条绳子上的张力大小相等，故有T＝mg，小物块受到两条绳子的拉力作用大小相等，夹角为120°，故受到的合力等于mg，因为小物块受到绳子的拉力和重力作用，且处于平衡状态，故拉力的合力等于小物块的重力为mg，所以小物块的质量为m
故ABD错误，C正确。
随练2、[多选题]
【答案】 A C
【解析】 AB、由于杆AC与杆BC都没有转动，可知，杆AC对C点的作用力沿CA的方向的拉力，杆BC对C点的作用力沿BC的方向的支撑力，故A正确，B错误；
CD、结合共点力平衡对结点C受力分析如图，运用合成法得，当P加重时必定BC、AC受力都增大．故C正确，D错误．
随练3、
【答案】 C
【解析】 绳O'P刚拉直时，OP绳拉力为T1，此时O′P绳子拉力为零，小球受力如图所示，
根据几何关系可得sinα=，所以α=53°，所以α+θ=90°；
根据共点力的平衡条件可得：T1=mgsinα；
绳O'P刚松弛时，O′P绳拉力为T2，此时OP绳子拉力为零，小球受力如图所示，
根据共点力的平衡条件可得：T2=mgtanα，
由此可得：，所以C正确、ABD错误．
正交分解法的应用
例题1、[多选题]
【答案】 B C
【解析】 设物体刚好不下滑时F＝F1，作出力图如图。则由平衡条件得：
F1•cosθ＋f1＝G•sinθ，
N1＝F1•sinθ＋G•cosθ。
又 f1＝μN1
联立得：；
设物体刚好不上滑时F＝F2，则：
F2•cosθ＝μN2＋G•sinθ，
N2＝F2•sinθ＋G•cosθ，
得：
即得．则AD错误，BC正确。
例题2、[多选题]
【答案】 B C
【解析】 以两个铁环和小球组成的系统为研究对象，竖直方向受到重力和水平横梁对铁环的支持力FN和摩擦力Ff，力图如图1所示。根据平衡条件得：2FN＝（M＋2m）g，得到
FN＝（M＋2m）g，可见，水平横梁对左侧铁环的支持力FN不变。
以左侧环为研究对象，力图如图2所示。
竖直方向：FN＝Fsinα＋mg①
水平方向：Fcosα＝Ff②
由①分析可知FN，mg不变，α减小，则F增大。
由②分析cosα增大，F增大，则Ff增大。故AD错误，BC正确。
例题3、[多选题]
【答案】 A B C
【解析】 施加拉力前，物体受到四个力的作用而平衡：重力G、垂直斜面向上的支持力N、沿斜面向上的摩擦力f和弹簧对物体施加沿斜面向上的弹力T，受力如图，
其中T＝kx＝1000×0.02＝20N，
根据平衡条件可求出，f＝Gsin30°－T＝20N，方向沿斜面向上；
施加拉力F后，弹簧长度不变，说明物体仍然静止，并且弹簧对物体施加的弹力大小和方向不变，若摩擦力沿斜面向上，则F＋f＋T＝Gsin30°，即F＋f＝20N，摩擦力f随着F增大而较小，当F＝20N时，f＝0，若F＞20N，摩擦力沿斜面向下，因为物体没有滑动，所以F＋T＜Gsin30°＋fm，代入数据可得，F＜45N，所以测力计读数在0～45N之间。故A、B、C正确，D错误。
例题4、
【答案】 C
【解析】 AB、三个小圆环能静止在光的圆环上，由几何知识知：abd恰好能组成一个等边三角形，对a受力分析如图所示，
在水平方向上：Tsin30°＝Nasin60°，
在竖直方向上：Tcos30°＝mg＋Nacos60°，
解得：Na＝mg；，故AB错误；
C、受到绳子拉力的大小为：T＝2T′cos30°＝3mg，故C正确；
D、以c为对象受力分析得：
在竖直方向上：N1＝mg＋2Tcos30°，
解得，故D错误．
随练1、
【答案】 D
【解析】 对物块进行受力分析，如图所示：
物块在重力G、斜面的支持力N、推力F、沿虚线方向上的摩擦力f共同作用下沿斜面上的虚线匀速运动，因为G，N，F三力的合力方向向下，故摩擦力f方向沿斜面虚线向上，所以物块向下运动，故A错误；
现将重力分解为沿斜面向下且垂直于底边（也垂直于推力F）的下滑力G1、垂直与斜面的力G2，如图所示：
其中G2恰好把N平衡掉了，这样可视为物体在推力F、下滑力G1、摩擦力f三个力作用下沿斜面上的虚线匀速运动，
根据三力平衡特点，F与G1的合力必沿斜面向下，同时摩擦力f 只能沿斜面向上，故选项B错误；
根据几何关系，F与G1的合力，即，故物体与斜面间的动摩擦因数，故选项D正确。
动态平衡问题的求解
动态平衡问题中的解析法
例题1、
【答案】 B
【解析】 先对Q受力分析，受重力、P对Q的支持力和MN对Q的支持力，如图
根据共点力平衡条件，有
N1=
N2=mgtanθ
再对P、Q整体受力分析，受重力、地面支持力、MN挡板对其向左的支持力和地面对其向右的支持力，如图
根据共点力平衡条件，有
f=N2
N=（M+m）g
故f=mgtanθ
MN保持竖直且缓慢地向右移动过程中，角θ不断变大，故f变大，N不变，N1变大，N2变大，P、Q受到的合力为零．
例题2、
【答案】 D
【解析】 对小球进行研究，分析受力情况：重力mg、水平外力F和弹簧的弹力f．由平衡条件得
f=
又由胡克定律得f=kx
则有 kx=
得 x=
由数学知识得知，k、mg一定，x与cosθ成反比，选项D正确．
故选：D
例题3、
【答案】 C
【解析】 挂钩处的受力情况如图所示，
设绳子两个悬点之间的水平距离为d，绳长为L，由于轻绳光滑，则两端绳子与水平方向的夹角相等；
根据几何关系可得：，
根据共点力的平衡条件可得：2Tsinα＝mg；
解得绳子拉力；
AC、当光滑圆环沿着AB或CD方向在支架上缓慢的移动时，d不变，则α不变，绳子张力不变，即：Fa＝Fb，Fc＝Fd，A错误、C正确；
B、当光滑圆环沿着BC方向在支架上缓慢的移动时，d增大，则α变小，绳子张力变大，即：Fb＜Fc，B错误；
D、当光滑圆环沿着DA方向在支架上缓慢的移动时，d减小，则α变大，绳子张力变小，即：Fd＞Fa，D错误。
随练1、
【答案】 B
【解析】 以小球为研究对象，分析受力情况：重力G、墙面的支持力N1′和木
板的支持力N2′．根据牛顿第三定律得知，N1=N1′，N2=N2′．
根据平衡条件得：N1′=Gcotθ，N2′=
将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置的过程中，θ增大，cotθ减小，sinθ增大，则N1′和N2′都始终减小，故N1和N2都始终减小．
故选B
动态平衡问题中的图解法
例题1、
【答案】 C
【解析】 点O受到三个拉力而处于平衡状态，其中向下的拉力的大小和分析均不变，OA的拉力方向不变，根据平衡条件，三个力可以构成首尾相连的矢量三角形，如图所示：
从图中可以看出，OA的拉力T不断减小，拉力F先减小后增加，当拉力F与OA垂直时F最小，故C正确ABD错误．
例题2、
【答案】 A D
【解析】 以结点O为研究对象，分析受力：重力G、绳OA的拉力FOA和绳BO的拉力FOB，如图所示，根据平衡条件知，两根绳子的拉力的合力与重力大小相等、方向相反，
作出轻绳OB在两个位置时力的合成图如图，由图看出，FOA逐渐减小，FOB先减小后增大，当θ=90°时，FOB最小．
故选：AD．
例题3、[多选题]
【答案】 B D
【解析】 AB、对小球受力分析，受重力、支持力和细线的拉力，如图所示：
根据平衡条件可知，细线的拉力T增加，支持力N减小，根据牛顿第三定律，球对斜面的压力也减小；
故A错误，B正确；
CD、对球和滑块整体分析，受重力、斜面的支持力N，杆的支持力N′，拉力F，如图所示：
根据平衡条件，有：
水平方向：N′=Nsinθ
竖直方向：F+Ncosθ=G
由于N减小，故N′减小，F增加；
故C错误，D正确；
故选：BD
随练1、[多选题]
【答案】 A C
【解析】 现让框架沿逆时针方向缓慢旋转90°，保持结点O位置不变，可以认为保持框架不动，让悬挂物体的细线拉力不变，以O点顺时针转过90°，根据矢量三角形法则可得ON和OM的拉力变化如图所示：
根据图中的线段长短的变化情况可知，FN先增大后减小、FM逐渐减小，故AC正确、BD错误。
随练2、
【答案】 B
【解析】 将斜面在水平桌面上缓慢地向左推移，所以小球始终处于平衡状态，受力分析并合成如图：
由平衡条件得：F′＝G，即：支持力N和拉力T的合力大小和方向均不发生变化．
当斜面在水平桌面上缓慢地向左推移时，细线与竖直方向的夹角逐渐变大，T的方向发生变化，画出平行四边形如图所示：
由图看出：拉力先减小后变大，支持力一直在变大
动态平衡问题中的三角形相似法
例题1、
【答案】 A
【解析】 小球受重力、细线的拉力和支持力，由于平衡，三个力可以构成矢量三角形，如图所示：
根据平衡条件，该矢量三角形与几何三角形POC相似，故：
解得：
F1=
F2=
当P点下移时，PO减小，L、R不变，故F1增大，F2增大；
故选：A
例题2、[多选题]
【答案】 B C
【解析】 以B点为研究对象，分析受力情况：重物的拉力T（等于重物的重力G）、轻杆的支持力N和绳子的拉力F，作出力图如图：
由平衡条件得知，N和FT的合力与T大小相等，方向相反，根据三角形相似可得：
又T＝G，解得：
使∠BAO缓慢变小时，AB、AO保持不变，BO变小，则N保持不变，FT变小。故BC正确，AD错误。
例题3、
【答案】 A
【解析】 小球沿圆环缓慢上移可看做匀速运动，对小球进行受力分析，小球受重力G，F，N，三个力。满足受力平衡。作出受力分析图如下
由图可知△OAB∽△GFA
即：
当A点上移时，半径不变，G不变，AB长度减小，则知F减小，N不变，故A正确；
随练1、
【答案】 B
【解析】 对细棒受力分析可知，细棒受重力、拉力以及结点处的支持力，根据平衡条件可知，支持力与拉力F的合力与重力等大反向，如图所示；
则由图可知，△OFG'∽△O1O2O；
则可知：，在杆上移过程中，左侧绳长OO2变短，而O2O1及OO1不变，则可知：F变小，N不变。
故B正确，ACD错误。
平衡问题中的临界与极值
共点力平衡中的临界问题
例题1、
【答案】 AB绳子的拉力为零时，F为；AC绳子的拉力为零时，F为；故拉力F的大小范围为：
【解析】 作出物体A受力如图所示，由平衡条件
Fy＝Fsinθ＋F1sinθ－mg＝0 ①
Fx＝Fcosθ－F2－F1cosθ＝0 ②
由①②式分别得：③
④
要使两绳都能绷直，则有：
F1≥0⑤
F2≥0⑥
由③⑤式得F有最大值：．
由④⑥式得F有最小值：．
综合得F的取值范围：．
例题2、
【答案】 C
【解析】 设A球、C球的质量分别mA、mC．由几何知识得知，两细线相互垂直。
对A、C两球平衡得T1＝mAg，T2＝mCg。
以B球为研究对象，分析受力情况：重力G、两细线的拉力T1、T2．由平衡条件得
T1＝T2tanθ
得
则得。
例题3、
【答案】 C
【解析】 设板与水平面的夹角为α时，滑块相对于板刚要滑动，则由mgsinα=μmgcosα得 tanα=，α=，则θ在0﹣范围内，弹簧处于原长，弹力F=0，当板与水平面的夹角大于α时，滑块相对板缓慢滑动，由平衡条件得F=mgsinθ﹣μmgcosθ=mgsin（θ﹣β），其中tanβ=﹣μ，说明F与θ正弦形式的关系．当时，F=mg．
例题4、
【答案】 （1）。
（2）λ
【解析】
（1）拖把头受到重力、支持力、推力和摩擦力处于平衡，设该同学沿拖杆方向用大小为F的力推拖把。
将推拖把的力沿竖直和水平方向分解，
按平衡条件有
竖直方向上：Fcosθ＋mg＝N ①
水平方向上：Fsinθ＝f ②
式中N和f分别为地板对拖把的正压力和摩擦力。按摩擦定律有f＝μN ③
联立①②③式得④
（2）若不管沿拖杆方向用多大的力不能使拖把从静止开始运动，
应有Fsinθ≤λN ⑤
这时①式仍满足。联立①⑤式得⑥
现考查使上式成立的θ角的取值范围。注意到上式右边总是大于零，且当F无限大时极限为零，
有sinθ－λcosθ≤0⑦
使上式成立的θ角满足θ≤θ0，这里θ0是题中所定义的临界角，即当θ≤θ0时，不管沿拖杆方向用多大的力都推不动拖把。
临界角的正切为tanθ0＝λ⑧。
随练1、
【答案】 将力F顺时针转动至水平向右并保持不变，此时物体与斜面之间的摩擦力大小为4N或8.8N
【解析】 情况一：
当力F沿斜面向上，物体恰好不向上滑动时对物体受力分析，有F＝Gsin θ＋μGcos θ，
由几何关系得：sin θ＝0.6，cos θ＝0.8，F＝20 N；
力F顺时针转动至水平向右时物体受力如图所示，
根据平衡条件得，Fcos θ＋f－Gsin θ＝0，
解得f＝Gsin θ－Fcos θ＝20×0.6 N－20×0.8 N＝－4 N，负号表示方向沿斜面向下。
情况二：
当力F沿斜面向上，物体恰好不向下滑动时，对物体受力分析，有F＝Gsin θ－μGcos θ＝4 N；力F顺时针转动至水平向右时，有Fcos θ＋f－Gsin θ＝0，解得，f＝8.8 N，方向沿斜面向上。
随练2、
【答案】 A
【解析】 对AB分别受力分析
对A：Tcos53°＝μ（mAg－Tsin53°） 得
对B：Tcos37°＝μ（mBg－Tsin37°） 得
得：
共点力平衡中的极值问题
例题1、
【答案】 A
【解析】 以B小球为研究对象，分析受力，作出F在三个方向时整体的受力图，根据平衡条件得知：F与T的合力与重力mg总是大小相等、方向相反，由力的合成图可知，当F与绳子oa垂直时，F有最小值，即图中2位置，F的最小值为：
根据平衡条件得：F=mgsinβ
故选：A
例题2、
【答案】 D
【解析】 当m1有最小值时，摩擦力沿球面向下，受力如图．
根据共点力平衡得，m1gsin45°+fm=T
fm=μN=μmgcos45°
T=m2g
联立三式解得： ．
例题3、
【答案】 （1）80N
（2）；
【解析】 （1）θ＝60°时，由几何知识知F合＝FBC
根据平衡条件，则FBC＝mg＝80N；
（2）θ在0～90°的范围内，由图知，θ＝90°时最大，；
θ＝30°时最小，。
随练1、
【答案】 A
【解析】 依题意，对物体m受力分析，根据平衡条件，绳子的拉力：
F=mg …①
若F较小，物块A有沿着斜面向下滑的趋势，此时物块A受力分析如图所示：
由力的平衡条件得：
FN=Mgcos37° …②
F+Ff=Mgsin37° …③
Ff≤μFN …④
联立①②③④可解得得：m≥0.2M；
若F较大，A物块有沿着斜面向上滑动的趋势，此时物块A受力分析如图所示：
由平衡条件得，
FN=Mgcos37° …⑤
F=Ff+Mgsin37° …⑥
Ff≤μFN …⑦
代入数据解①⑤⑥⑦得：m≤M；
物块m的质量的取值范围是：0.2M≤m≤M，故：1≤≤5；
故A正确，BCD错误；
随练2、
【答案】 C
【解析】 以重物为研究对象，受力如图所示：
由平衡条件得：
TACsin30°﹣TBCsin60°=0 ①
TACcos30°+TBCcos60°﹣G=0 ②
由式①可知TAC=TBC
当TBC=80N时，TAC=80N≈138.6N，AC将断．
而当TAC=120N时，TBC=40N≈69.3N＜80N
将TAC=120N，TBC=69.3N代入式②，解得G=80N
所以重物的最大重力不能超过80 N．
故选：C．
拓展
1、
【答案】 D
【解析】 将三个物体看作整体，则物体只受重力和支持力作用，水平方向没有外力，故三角形木块不受地面的摩擦力，故D正确．
2、
【答案】 A
【解析】 暂无解析
3、[多选题]
【答案】 A C
【解析】 A、根据受力分析可得AB对C的支持力F1=F2=mg，故C对A的压力F=mg，沿水平方向和竖直方向对F进行分解，
f=Fcos30°=，故A正确，B错误；
C、根据整体法分析可得地面对A的支持力D大小为Mg+，故C正确；
D、由于AB与地面的夹角不变，故再次平衡时A对地面的摩擦力不变，故D错误．
4、[多选题]
【答案】 C D
【解析】 A、B、C以两个小球组成的整体为研究对象，分析受力，作出F在三个方向时整体的受力图，根据平衡条件得知：F与T的合力与重力mg总是大小相等、方向相反，由力的合成图可知，当F与绳子oa垂直时，F有最小值，即图中2位置，F的最小值为：
Fmin＝2mgsinθ＝mg．故AB错误，C正确。
D、当F竖直向上时，F＝2mg；当F水平向右时，由平衡条件得，则2mg＞F＞mg，而在这个范围内，所以F可能为．故D正确。
5、
【答案】 B
【解析】 A、对AB整体受力分析，受重力和支持力，相对地面无相对滑动趋势，故不受摩擦力，故A错误；
BC、对小球受力分析，如图所示：
根据平衡条件，有：F=，T=mgtanθ
其中cosθ=，tanθ=，
故：F=mg，T=mg
故B正确，C错误；
D、若剪断绳子（A不动），B球受重力和支持力，根据牛顿第二定律，有：
mgsinθ=ma
解得：
a=gsinθ=g，故D错误
6、
【答案】 （1）20N；10N
（2）0
【解析】 （1）选B为研究对象，受力分析如图，根据力的合成，可得：
解得：T1＝20N，T2＝10N．
（2）选A为研究对象，进行受力分析如图所示，设摩擦力沿斜面向上，
进行正交分解，可得：
解得：．
7、[多选题]
【答案】 A C
【解析】 A、对ab进行受力分析，如图所示：
b物体处于静止状态，当绳子沿斜面向上的分量与重力沿斜面向下的分量相等时，摩擦力为零，所以b可能只受3个力作用，而a物体必定受到摩擦力作用，肯定受4个力作用，故A错误；
B、ab两个物体，垂直于斜面方向受力都平衡，则有：N＋Tsinθ＝mgcosθ
解得：N＝mgcosθ－Tsinθ，则a、b两物体对斜面的压力相同，故B正确；
C、根据A的分析可知，b的摩擦力可以为零，而a的摩擦力一定不为零，则两物体受到的摩擦力大小不一定相等，故C错误；
D、对a沿斜面方向有：Tcosθ＋mgsinθ＝fa，
对b沿斜面方向有：Tcosθ－mgsinθ＝fb，
正压力相等，所以最大静摩擦力相等，则a先达到最大静摩擦力，先滑动，故D正确。
本题选错误的。
8、
【答案】 A
【解析】 对球受力分析，受重力、支持力和拉力，如，根据共点力平衡条件，有
N＝mgcosθ
F＝mgsinθ
其中θ为支持力N与竖直方向的夹角；当物体向上移动时，θ变大，故N变小，F变大；故A正确，BCD错误。
9、
【答案】 C
【解析】 以小球为研究对象，分析受力情况如图所示：根据动态三角形可知：框架对小球的支持力不断减小，水平拉力F 一直减小，故AB错误；以框架与小球组成的整体为研究对象，整体受到重力、地面的支持力、地面的摩擦力以及力F的作用；由图可知，水平拉力F 一直减小，所以地面对框架的摩擦力始终在减小，框架对地面的压力保持不变，故C正确，D错误。
10、
【答案】 A
【解析】 将球沿固定的光滑斜面由底端缓慢拉到顶端的过程中，绳子方向顺时针转动过程绳子拉力的如图中1到2到3的位置，（注意开始时绳子拉力与支持力的夹角就是大于90°的）
由图可以看出绳子拉力一直增大，即F一直增大。
11、[多选题]
【答案】 A D
【解析】 以结点O为研究对象，受力分析如图所示，由受力图可以看出：
开始时A的拉力为零，B的拉力与重力平衡；
当A、B缓慢向两侧远离的过程中，A的拉力增大、B的拉力开始减小，当OA与AB垂直时OB的拉力最小；
当OA和OB之间的夹角大于90°时，OA的拉力一直在增大，OB的拉力开始增大；
所以FA随距离的增大而一直增大，FB随距离的增大先减小后增大；
根据以上分析可知，故AD正确、BC错误。
12、
【答案】 B
【解析】 第一次，绳子固定在O点，施加一水平方向的力F作用于绳子，受力如图，因为BO绳的拉力为50N，
此时当AO绳的拉力为100N时，AO刚好被拉断，
则绳AB上部分与竖直方向的夹角θ1＝60°．
第二次用拴有光滑小环的绳子，因为F1＝F2＝50N，当F＝50N时受力如图，绳刚好断裂，此时绳AB上部分与竖直方向的夹角θ2＝60°．
所以θ1＝θ2．故B正确，A、C、D错误．
13、[多选题]
【答案】 A B
【解析】 对小球受力分析，如图：
由平衡条件得：F＝mgtanθ，θ逐渐增大，则F逐渐增大，故A正确；
如图，小球缓慢地移动过程中，θ逐渐增大，T的最大值为2G，则可得，θ＝60°，此时F达到最大值为：，
故B正确CD错误．
14、[多选题]
【答案】 B D
【解析】 AB、对重物受力分析，如图所示：
由于重物静止，根据平衡条件：F=G，
由几何知识可知，FOB＞FOA，所以在不断增加物体重力的过程中，绳子BO先断．故A错误，B正确；
CD、由几何关系得：
FOA=Fcos60°=G≤T…①
FOB=Fsin60°=G≤T…②
当FOB=T时，G=．故C错误，D正确
15、
【答案】 A
【解析】 当最上面积木的重心与左下方积木的重心在同一竖直线上时，最上面积木将要滚动，此时木板与水平面夹角θ达到最大，由几何关系知，θ的最大值为30°。
第04讲 共点力的平衡
知识图谱
受力分析中的整体法和隔离法
知识精讲
一．整体法和隔离法的基本思想
1． 选择研究的对象
选择研究对象是解决物理问题的首要环节。在很多物理问题中，研究对象的选择方案是多样的，研究对象的选取方法不同会影响求解的繁简程度。隔离法与整体法都是物理解题的基本方法。
2． 整体法
整体法就是对物理问题的整个系统进行研究的方法。如果由几个物体组成的系统具有相同的加速度，一般可用整体法求加速度，但整体法不能求出系统的内力。
3． 隔离法
分析系统内各物理之间的相互作用时，需要选用隔离法，一般隔离受力较少的物体。
在某些情况下，解答一个问题时要多次选取研究对象，需要整体法与隔离法交叉使用，通常先整体后隔离。
二．受力分析中的整体法和隔离法的应用
1．整体法的应用
例如，在粗糙水平面上有一个三角形木块abc，在它的两个粗糙斜面上分别放两个质量为m1、m2的木块，且m1>m2，如图所示。已知三角形木块和两物体都静止，讨论粗糙水平面与三角形木块之间的摩擦力问题。
这个问题的一种求解方法是：分别隔离、和三角形木块进行受力分析，利用牛顿第三定律及平衡条件讨论确定三角形木块与粗糙水平面间的摩擦力。采用整体法求解更为简捷：由于、和三角形木块相对静止，故可以看成一个不规则的整体，以这一整体为研究对象，显然在竖直平面上只受重力和支持力作用，在水平方向上没有外力。
2．整体法和隔离法的综合应用
不计物体间相互作用的内力，一般首先考虑整体法。利用整体法，涉及的研究对象少，未知量少，方程少，求解简便；对于大多数动力学问题，单纯采用整体法并不一定能解决，通常采用整体法与隔离法相结合的方法。
举例说明（1），如下图，质量均为kg的10块相同的砖，平行紧靠成一直线放在光滑的地面上，第1块砖受到10N的水平力作用，讨论第7块砖对第8块砖的压力的大小。
本题需要灵活选用整体和隔离思想求解，首先由整体法求出加速度，再将后3块和前7块作为两个整体来考虑，再用隔离求解。将10块砖看作一个整体，由牛顿第二定律得：，再将后3块看作一个整体，设第7个砖对第8个砖的压力为，由牛顿第二定律得：，则第7个砖对第8个砖的压力是3N。
三．受力分析中的注意事项
1．注意研究对象的合理选取，在分析系统的内力时，必须把受力对象隔离出来，而分析系统受到的外力时，一般采用整体法，有时也采用隔离法。
2．涉及弹簧的弹力时，注意可能性的分析。
3．对于不能确定的力可以采用假设法分析。
三点剖析
一．课程目标
1． 学会灵活应用整体法和隔离法进行受力分析
受力分析中整体法和隔离法的应用
例题1、 如图所示，在两块相同的竖直木板之间，有质量均为m的4块相同的砖，用两个大小均为F的水平力压木板，使砖块静止不动，则第2块砖对第3块砖的摩擦力大小是（ ）
A.0
B.1mg
C.mg
D.2mg
例题2、 如图所示，有一个直角支架 AOB，AO水平，表面粗糙，OB竖直向下，表面光滑，AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环间由一根质量可忽略、不可伸展的细绳相连，并在某一位置平衡（如图），现将P环向右移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力N、摩擦力f的变化情况是（ ）
A.N不变，f变大
B.N不变，f不变
C.N变小，f不变
D.N变大，f变小
例题3、[多选题] 如图所示，水平桌面上有三个相同的物体a、b、c叠放在一起，a的左端通过一根轻绳与质量为m＝1kg的小球相连，绳与水平方向的夹角为60°，小球静止在光滑的半圆形器皿中。水平向右的力F＝30N作用在b上，三个物体保持静止状态。g取，下列说法正确的是（ ）
A.物体c受到向右的静摩擦力
B.物体b受到一个摩擦力，方向向左
C.桌面对物体a的静摩擦力方向水平向左
D.撤去力F的瞬间，三个物体将获得向左的加速度
例题4、[多选题] 一端装有定滑轮的粗糙斜面体放在地面上，A、B两物体通过细绳连接，并处于静止状态（不计绳的质量和绳与滑轮间的摩擦），如图所示，现用水平力F作用于物体B上，缓慢拉开一小角度，此过程中斜面体与物体A仍然静止。则下列说法正确的是（ ）
A.水平力F一定变大
B.物体A所受斜面体的摩擦力一定变大
C.斜面体所受地面的摩擦力与水平力F大小相等
D.斜面体所受地面的支持力始终等于两物体的总重力
例题5、 在竖直墙壁间有半圆球A和圆球B，其中圆球B的表面光滑，半圆球A与左侧墙壁之间的动摩擦因数为．两球心之间连线与水平方向成30°的夹角，两球恰好不下滑，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则半球圆A和圆球B的质量之比为（ ）
A.
B.
C.
D.
例题6、 如图所示，用完全相同的轻弹簧A、B、C将两个相同的小球连接并悬挂，小球处于静止状态，弹簧A与竖直方向的夹角为30°，弹簧C水平，则弹簧A、C的伸长量之比为（ ）
A.：4
B.4：
C.1：2
D.2：1
例题7、 两相同的楔形木块A、B叠放后分别以图1、2两种方式在水平外力F1和竖直外力F2作用下，挨着竖直墙面保持静止状态，则在此两种方式中，木块B受力个数分别为
A.4；4
B.4；3
C.5；3
D.5；4
例题8、 如图所示，小球被轻质细绳系住斜吊着放在静止的光滑斜面上，设小球质量m=1kg，斜面倾角α=30°，悬线与竖直方向夹角θ=30°，光滑斜面的质量为3kg，置于粗糙水平面上．g=10m/s2．
求：
（1）悬线对小球拉力大小．
（2）地面对斜面的摩擦力的大小和方向．
例题9、 如图所示，质量为m＝1kg的物体置于倾角θ＝37°的固定斜面上，物体与斜面之间的动摩擦因数μ＝0.5（重力加速度g＝10m／s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）．
（1）如图甲所示，用平行于斜面的推力F1作用于物体上，使其沿斜面匀速上滑，求F1大小。
（2）如图乙所示，若斜面不固定，改用水平推力F2作用于物体上，使物体沿斜面匀速下滑，此过程中斜面仍保持静止，求F2大小和斜面受到地面的摩擦力f地。
随练1、[多选题] 重150N的光滑球A悬空靠在竖直墙和三角形木块B之间，木块B的重力为1500N，且静止在水平地面上，如图所示，则（ ）
A.地面所受压力的大小为1650N
B.地面所受压力的大小为1500N
C.木块B所受水平地面摩擦力大小为150N
D.木块B所受水平地面摩擦力大小为N
随练2、 如图所示，两段等长细线将质量分别为2m、m的小球A、B悬挂在O点，小球A受到水平向右的恒力4F的作用、小球B受到水平向左的恒力F的作用，当系统处于静止状态时，可能出现的状态应是（ ）
A
B
C
D
A.A图
B.B图
C.C图
D.D图
随练3、 如图所示，用三根轻绳AB、BC、CD连接两个小球，两球质量均为m，A、D端固定，系统在竖直平面内静止，AB和CD与竖直方向夹角分别是30°和60°．求：三根轻绳的拉力大小。
随练4、 如图所示，水平地面上有一质量M=5kg，高h=0.2m的物块，现将质量m=3kg，半径R=0.5m光滑圆柱体放在物块与竖直墙壁之间，当物块和圆柱体都静止不动时，圆柱体恰好和地面接触但对地而无压力．重力加速度g取10m/s2，求：
（1）地面受到物块的压力大小；
（2）物块受到地面的摩擦力大小．
静态平衡问题的求解
知识精讲
一．共点力与平衡
1．共点力：力的作用点在同一个物体的同一个点或力的延长线交于一点的几个力叫做共点力。
2．平衡状态：物体处于静止状态或者匀速直线运动的状态，物体的加速度为零。
3．平衡条件：物体的合外力为零，即或。
4．静态平衡：指物体受到的力不改变，而动态平衡指物体受到的几个力中至少两个力是变力。
二．处理平衡问题的常用方法
1．矢量三角形法
一个物体受三个力作用而平衡时，则其中任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反，且这三个力首尾相接构成封闭三角形。可以通过解三角形求解相应力的大小和方向。
解题基本思路：①分析物体的受力情况；②作出力的平行四边形(或力的矢量三角形)；③根据三角函数的边角关系或勾股定理或相似三角形的性质等求解相应力的大小和方向。
2．正交分解法
物体受到多个力的作用力时，一般都采用正交分解法。注意建立坐标系时，使更多的力与坐标轴重合。
解题的基本思路：①先分析物体的受力情况；②再建立直角坐标系；③然后把不在坐标轴上的力进行分解；④最后根据力的平衡条件列方程，求解未知量。
三点剖析
一．课程目标
1． 学会处理静态平衡的受力分析
矢量三角形法的应用
例题1、 如图，A、B两球用劲度系数为k1的轻弹簧相连，B球用长为L的细绳悬于O点，A球固定在O点正下方，且O、A间的距离恰为L，此时绳子所受的拉力为T1，弹簧的弹力为F1，现把A、B间的弹簧换成劲度系数为k2（k1＞k2）的轻弹簧，仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为T2， 弹簧的弹力为F2，则下列说法正确的是（ ）
A.T1＜T2
B.F1＜F2
C.T1＝T2
D.F1＝F2
例题2、 如图所示，三根长度均为L的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相距2L，现在C点上悬挂一个质量为M的重物，为使CD绳保持水平，在D点上可施加力的最小值为（ ）
A.mg
B.
C.
D.
例题3、 如图所示，两小球A.B固定在一轻质细杆的两端，其质量分别为和，将其放入光滑的半圆形碗中，但细杆保持静止时，圆的半径OA.OB与竖直方向夹角分别为和，则和的比值为（ ）
A.
B.
C.
D.
例题4、 表面光滑，半径为的半径固定在水平地面上，球心的正上方处有一无摩擦定滑轮，轻质细绳两端各系一个可看成质点的小球挂在定滑轮上，如图所示．两小球平衡时，若滑轮两侧细绳的长度分别为和，已知小球的质量为，则的质量为（ ）
A.
B.
C.
D.
随练1、 如图，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上：一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球，在a和b之间的细线上悬挂一小物块。平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径。不计所有摩擦，小物块的质量为（ ）
A.
B.
C.m
D.2m
随练2、[多选题] 如图AC、BC两轻杆构成一支架，在支架顶端C挂一重物P，则C端点除了受绳竖直向下的拉力外，还受到（ ）
A.BC杆对C点沿杆向上的支撑力
B.AC杆对C点沿杆向上的支撑力
C.当P加重时必定BC、AC受力都增大
D.当P加重时必定BC受力增大，AC受力减小
随练3、 如图所示，质量为m（可视为质点）的小球P，用两根轻绳OP和O'P在P点拴结实后再分别系与竖直墙上且相距0.4m的O、O'两点上，绳OP长0.5m，绳O'P刚拉直时，OP绳拉力为T1，绳OP刚松弛时，O'P绳拉力为T2，θ=37°，则为（sin37°=0.6，cos37°=0.8）（ ）
A.3：4
B.4：3
C.3：5
D.4：5
正交分解法的应用
例题1、[多选题] 倾角为θ＝37°的斜面与水平面保持静止，斜面上有一重为G的物体A，物体A与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5．现给A施以一水平力F，如图所示．设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等（sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8），如果物体A能在斜面上静止，水平推力F与G的比值可能是（ ）
A.3
B.2
C.1
D.0.05
例题2、[多选题] 如图所示，在一根水平的粗糙的直横梁上，套有两个质量均为m的铁环，两铁环系有等长的细绳，共同拴着质量为M的小球，两铁环与小球均保持静止。现使两铁环间距离增大少许，系统仍保持静止，则水平横梁对左侧铁环的支持力FN和摩擦力Ff将（ ）
A.FN增大
B.Ff增大
C.FN不变
D.Ff不变
例题3、[多选题] 如图所示，重80N的物体A放在倾角为30°的粗糙斜面上，有一根原长为10cm、劲度系数为1000N／m的弹簧，其一端固定在斜面底端，另一端放置物体A后，弹簧长度缩短为8cm，现用一测力计沿斜面向上拉物体，若物体与斜面间最大静摩擦力为25N，当弹簧的长度仍为8cm时，测力计读数可能为（ ）
A.10N
B.20N
C.40N
D.60N
例题4、 如图所示，光滑的圆环固定在竖直平面内，圆心为O，三个完全相同的小圆环a、b、c穿在大环上，小环c上穿过一根轻质细绳，绳子的两端分别固定着小环a、b，通过不断调整三个小环的位置，最终三小环恰好处于平衡位置，平衡时a、b的距离等于绳子长度的一半。已知小环的质量为m，重力加速度为g，轻绳与c的摩擦不计。则（ ）
A.a与大环间的弹力大小
B.绳子的拉力大小为
C.c受到绳子的拉力大小为3mg
D.c与大环间的弹力大小为3mg
随练1、 如图所示，倾角θ＝30°的斜面上有一重为G的物体，在与斜面底边平行的水平推力作用下沿斜面上的虚线匀速运动，若图中φ＝45°，则（ ）
A.物体一定不沿虚线运动
B.物体一定沿虚线向上运动
C.物体与斜面间的动摩擦因数
D.物体与斜面闻的动摩擦因数
动态平衡问题的求解
知识精讲
一． 动态平衡的概念
“动态平衡”是指物体所受的力一部分是变力，是动态力，力的大小和方向均发生改变，但是，变化过程中的每一个状态均可视为平衡状态，所以叫“动态平衡”。
二． 动态平衡问题的常用分析方法
1． 解析法
对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件列式求解，得到因变量与自变量的一般函数表达式，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。
解析法分析动态平衡问题的步骤：
（1）选某一状态对物体进行受力分析；
（2）将物体受的力按实际效果分解或正交分解；
（3）列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式；
（4）根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况。
2．图解法
在三力平衡中，若一个力的大小和方向不变，另一个力的方向不变，一般采用图解法。
举例说明：如图，重为G的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间。若挡板逆时针缓慢转到水平位置，在该过程中，分析斜面和挡板对小球的弹力的大小F1、F2各如何变化？
由于挡板是缓慢转动的，可认为每个时刻小球都处于静止状态，因此所受合外力为零。应用三角形定则，G、F1、F2三个矢量应组成封闭三角形，其中G的大小、方向始终保持不变；F1的方向不变；F2的起点在G的终点处，而终点必须在F1所在的直线上，由作图可知，挡板逆时针转动90°过程中，矢量F2也逆时针转动90°，因此F1逐渐变小，F2先变小后变大。（当F2⊥F1，即挡板与斜面垂直时，F2最小）
3．三角形相似法
这种方法在具体应用时，先画出力的作用线构成的三角形，再寻找与三角形相似的空间三角形（即具有物理意义的三角形和具有几何意义的三角形相似），最后由相似三角形建立比例关系求解。
在三力平衡中，若一个力的大小、方向不变，另外两个力的方向都改变，一般用相似三角形处理。
举例说明：如图所示，在半径为R的光滑半球面正上方距球心h处悬挂一定滑轮，重为G的小球A被站在地面上的人用绕过滑轮的绳子拉住。人拉动绳子，在与球面相切的某点缓慢运动到接近顶点的过程中，试分析光滑半球对小球的支持力N和绳子拉力F如何变化。
小球在重力G，球面的支持力N，绳子的拉力F作用下，处于动态平衡。任选一状态进行受力分析，不难看出，力的三角形与几何关系三角形相似，从而有：
，（其中与G等大，L为绳子AB的长度）；
由于在拉动过程中，R、h不变，绳长L在减小，可见：球面的支持力大小不变，绳子的拉力在减小。
三点剖析
一．课程目标
1． 学会利用解析法、图解法、三角形相似法分析动态平衡问题
动态平衡问题中的解析法
例题1、 半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，其右端有固定放置的竖直挡板MN，在P和MN之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q，整个装置处于静止状态，如图所示是这个装置的截面图，若用外力使MN保持竖直且缓慢地向右移动，在Q落到地面以前，发现P始终保持静止，在此过程中，下列说法中正确的是 （ ）
A.MN对Q的弹力逐渐减小
B.地面对P的摩擦力逐渐增大
C.P、Q间的弹力先减小后增大
D.Q所受的合力逐渐增大
例题2、 如图所示，一根轻弹簧上端固定在O点，下端拴一个钢球P，球处于静止状态．现对球施加一个方向向右的外力F，使球缓慢偏移，在移动中弹簧与竖直方向的夹角θ＜90°，且弹簧的伸长量不超过弹性限度，并始终保持外力F的方向水平，则图中给出的弹簧伸长量x与cosθ的函数关系图像中，最接近的是（ ）
A.
B.
C.
D.
例题3、 如图所示，一光滑轻绳左端固定在竖直杆顶端，其右端系于一光滑圆环上，圆环套在光 滑的矩形支架 ABCD 上。现将一物体以轻质光滑挂钩悬挂于轻绳之上，若使光滑圆环沿着 ABCD 方向在支架上缓慢的顺时针移动，圆环在 A、B、C、D 四点时，绳上的张力分别为Fa、Fb、Fc、Fd 则（ ）
A.Fa＜Fb
B.Fb＞Fc
C.Fc＝Fd
D.Fd＜Fa
随练1、 如图，一小球放置在木板与竖直墙面之间．设墙面对球的压力大小为N1，球对木板的压力大小为N2．以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置．不计摩擦，在此过程中（ ）
A.N1始终减小，N2始终增大
B.N1始终减小，N2始终减小
C.N1先增大后减小，N2始终减小
D.N1先增大后减小，N2先减小后增大
动态平衡问题中的图解法
例题1、 质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上，用水平力F拉着绳的中点O，使OA段绳偏离竖直方向一定角度，如图所示。设绳OA段拉力的大小为T，若保持O点位置不变，则当力F的方向顺时针缓慢旋转至竖直方向的过程中（ ）
A.F先变大后变小，T逐渐变小
B.F先变大后变小，T逐渐变大
C.F先变小后变大，T逐渐变小
D.F先变小后变大，T逐渐变大
例题2、 如图，用OA、OB两根轻绳将花盆悬于两竖直墙之间，开始时OB绳水平．现保持O点位置不变，改变OB绳长使绳右端由B点缓慢上移至B′点，此时OB′与OA之间的夹角θ＜90°．设此过程OA、OB绳的拉力分别为FOA、FOB，则下列说法正确的是（ ）
A.FOA一直减小
B.FOA一直增大
C.FOB一直减小
D.FOB先减小后增大
例题3、[多选题] 如图所示，带有光滑竖直杆的三角形斜劈固定在水平地面上，放置于斜劈上的光滑小球与套在竖直杆上的小滑块用轻绳连接，开始时轻绳与斜劈平行．现给小滑块施加一个竖直向上的拉力，使小滑块沿杆缓慢上升，整个过程中小球始终未脱离斜劈，则有（ ）
A.小球对斜劈的压力先减小后增大
B.轻绳对小球的拉力逐渐增大
C.竖直杆对小滑块的弹力先增大后减小
D.对小滑块施加的竖直向上的拉力逐渐增大
随练1、[多选题] 如图所示，在直角框架MQN上，用轻绳OM、ON共同悬挂一个物体。物体的质量为m，ON呈水平状态。现让框架沿逆时针方向缓慢旋转90°，在旋转过程中，保持结点O位置不变。则下列说法正确的是（ ）
A.绳OM上的力一直在减小
B.绳ON上的力一直在增大
C.绳ON上的力先增大再减小
D.绳OM上的力先减小再增大
随练2、 如图所示，小球系在细绳的一端，放在倾角为α的光滑斜面上，用力将斜面在水平桌面上缓慢向左移动，使小球缓慢上升（最高点足够高），那么在斜面运动的过程中，细绳的拉力将（ ）
A.先增大后减小
B.先减小后增大
C.一直增大
D.一直减小
动态平衡问题中的三角形相似法
例题1、 如图所示，竖直墙壁上固定有一个光滑的半圆形支架（AB为直径），支架上套着一个小球，轻绳的一端悬于P点，另一端与小球相连．已知半圆形支架的半径为R，轻绳长度为L，且R＜L＜2R．现将轻绳的上端点P沿墙壁缓慢下移至A点，此过程中轻绳对小球的拉力F1及支架对小球的支持力F2的大小变化情况为（ ）
A.F1和F2均增大
B.F1保持不变，F2先增大后减小
C.F1先减小后增大，F2保持不变
D.F1先增大后减小，F2先减小后增大
例题2、[多选题] 如图所示，绳与杆均不计重力，承受力的最大值一定．A端用绞链固定，滑轮O在A点正上方（滑轮大小及摩擦均可忽略），B端吊一重物P，现施加拉力FT将B缓慢上拉，在杆转到竖直前（ ）
A.OB段绳中的张力变大
B.OB段绳中的张力变小
C.杆中的弹力大小不变
D.杆中的弹力变大
例题3、 如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔，质量为m的小球套在圆环上，一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔用手拉住，现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移，在移动过程中手对线的拉力F和轨道对小球的弹力N的大小变化情况是（ ）
A.F减小，N不变
B.F不变，N减小
C.F不变，N增大
D.F增大，N减小
随练1、 如图所示，质量均匀的细棒中心为O点，O1为光滑铰链，O2为光滑定滑轮，O2在O1正上方，一根轻绳一端系于O点，另一端跨过定滑轮O2由水平外力F牵引，用N表示铰链对杆的作用，现在外力F作用下，细棒从图示位置缓慢转到竖直位置的过程中，下列说法正确的是（ ）
A.F逐渐变小，N大小变大
B.F逐渐变小，N大小不变
C.F先变小后变大，N逐渐变小
D.F先变小后变大，N逐渐变大
平衡问题中的临界与极值
知识精讲
三． 临界问题
当某物理量发生变化时，会引起其他物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或者“恰好不出现”，在问题的描述中，常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言来描述。
四． 极值问题
物体平衡的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题，一般用图解法或解析法进行分析。
三．解决极限问题和临界问题的方法
1．极限法
首先要正确进行受力分析和变化过程的分析，找出平衡的临界点和极值点；
临界条件必须在变化中寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而是要把某个物理量推向极端，即极大和极小，并依次做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论。
2．数学分析法
通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系（或画出函数图像），用数学方法求极值（如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值），但利用数学方法求出极值后，一定要依据物理原理对该值的合理性及物理意义进行讨论和说明。
3． 物理分析法
根据物体的平衡条件，做出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则 进行动态分析，确定最大值与最小值。
三点剖析
一．课程目标
1．学会灵活分析平衡问题中的临界与极值
共点力平衡中的临界问题
例题1、 物体的质量为2kg，两根轻细绳AB和AC的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ角的拉力F，相关几何关系如图15所示，θ＝60°，若要使绳都能伸直有两种可能，一种情况是AB绳上的拉力刚好为零，一种情况是AC绳上的拉力刚好为零，请你分别求出这两种情况下的拉力F的大小，并总结出拉力F的大小范围．（g取10m／s2）
例题2、 如图所示，内壁及碗口光滑的半球形碗固定在水平面上，碗口保持水平．A球、C球与B球分别用两根轻质细线连接，当系统保持静止时，B球对碗壁刚好无压力，图中θ＝30°，则A球、C球的质量之比为（ ）
A.1：2
B.2︰1
C.
D.
例题3、 如图在水平板的左端有一固定挡板，挡板上连接一轻质弹簧．紧贴弹簧放一质量为m的滑块，此时弹簧处于自然长度．已知滑块与板的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．现将板的右端缓慢抬起（板与水平面的夹角为θ），直到板竖直，此过程中弹簧弹力的大小F随夹角θ的变化关系可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
例题4、 拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具（如图）。设拖把头的质量为m，拖杆质量可以忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数μ，重力加速度为g，某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为θ。
（1）若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小。
（2）设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为λ．已知存在一临界角θ0，若θ≤θ0，则不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使拖把从静止开始运动。求这一临界角的正切tanθ0。
随练1、 如图所示，有一个重量为20N的小物体放在斜面上，斜面底边长AB＝40cm，高BC＝30cm，物体与斜面之间的动摩擦因数为μ＝0.5，物体在一沿斜面向上的力F的作用下刚好处于静止状态（最大静摩擦力等于滑动摩擦力），现将力F顺时针转动至水平向右并保持不变，求此时物体与斜面之间的摩擦力。
随练2、 如图所示，物体A、B置于水平地面上，与地面动摩擦因数均为μ，物体A、B用一跨过动滑轮的细绳相连，现用逐渐增大的力向上提动滑轮，某时刻拉A物体的绳子与水平面成53°，拉B物体的绳子与水平面成37°，此时A、B两物体刚好处于平衡状态，则A、B两物体的质量之比为（认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）（ ）
A.
B.
C.
D.
共点力平衡中的极值问题
例题1、 如图所示，A，B两个质量均为m的小球用轻质细绳相连，另一轻质细绳一端系A球，另一端固定于墙上的O点，力F作用在B球上，系统处于静止状态，此时OA绳与竖直方向的夹角为α，AB绳与竖直方向的夹角为β．重力加速度为g．若改变力F的大小和方向，当系统再次处于静止状态时，AB绳与竖直方向的夹角仍为β，则力F的最小值为（ ）
A.mgsinβ
B.mgtanβ
C.2mgtanα
D.2mgsinα
例题2、 如图所示，将半球置于水平地面上，半球的中央有一光滑小孔，柔软光滑的轻绳穿过小孔，两端分别系有质量为m1、m2的物体（两物体均可看成质点），它们静止时m1与球心O的连线与水平线成45°角，m1与半球面的动摩擦因数为0.5，m1所受到的最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力，则的最小值是（ ）
A.
B.
C.
D.
例题3、 如图所示，AC和BC两轻绳共同悬挂一质量为8kg的物体，若保持AC绳的方向不变，AC与竖直向上方向的夹角为60°，BC绳的方向与竖直向上方向的夹角为θ且可以改变，（g＝10N／kg）试求：
（1）当θ＝60°且物体平衡时，BC绳上的拉力大小；
（2）θ在0～90°的范围内，物体平衡时BC绳上拉力的最大值和最小值．
随练1、 如图，一根轻绳跨过定滑轮，连接着质量分别为M和m的两物体，滑轮左侧的绳和斜面平行，两物体都保待静止不动．已知斜面倾角为37° （sin37°=0.6，cos37°=0.8），质量为M的物体和斜面间的动摩擦因数为0.5，设最大静摩擦力等子滑动摩擦力，不计绳与定滑轮之间的摩擦，则M与m的比值应该是（ ）
A.1≤≤5
B.1≤≤6
C.2≤≤5
D.2≤≤6
随练2、 如图所示，用绳AC和BC吊起一重物，绳与竖直方向夹角分别为30°和60°，AC绳能承受的最大的拉力为120N，而BC绳能承受的最大的拉力为80N，物体最大重力不能超过多少（ ）
A.100N
B.160N
C.80N
D.100N
拓展
1、 在粗糙水平面上有一个三角形木块abc，在它的两个粗糙斜面上分别放两个质量为m1、m2的木块，且m1＞m2，如图所示．已知三角形木块和两物体都静止，则粗糙水平面对三角形木块（ ）
A.有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向右
B.有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向左
C.有摩擦力的作用，但摩擦力的方向不能确定
D.结论都不对
2、 如图，位于水平桌面上的物块P，由跨过定滑轮的轻绳与物块相连，从滑轮到P和到Q的两段绳都是水平的，已知Q与P之间以及P与桌面之间的动摩擦因数都为μ，两物块的质量都是m，滑轮轴上的摩擦不计，若用一水平向右的力F拉P使其做匀速运动，则F的大小为（ ）
A.4μmg
B.3μmg
C.2μmg
D.1μmg
3、[多选题] 如图所示，两个质量均为M，相同的直角三角形斜面体A．B放在粗糙的水平面上，A、B的斜面部分都是光滑的，倾角都是θ=60°．另一质量分布均匀且质量为m的直铁棒C水平架在A．B的斜面上，A、B、C均处于静止状态．已知重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A.地面对A的摩擦力大小为mg
B.地面对A的摩擦力大小为mg
C.地面对A的支持力大小为Mg+mg
D.若使A．B靠近，使C位置略上升，再次平衡时，地面对A的摩擦力增大
4、[多选题] 如图所示，将两个质量均为m的小球a、b用细线相连悬挂于O点，用力F拉小球a，使整个装置处于平衡状态，且悬线Oa与竖直方向的夹角为θ＝30°，则F的大小（ ）
A.可能为
B.可能为
C.可能为mg
D.可能为
5、 如图，质量为M、半径为R的半球形物体A放在粗糙水平地面上，通过最高点处的钉子用水平轻质细线拉住一质量为m、半径为r的光滑球B，重力加速度为g．则（ ）
A.A对地面的摩擦力方向向左
B.B对A的压力大小为mg
C.细线对小球的拉力大小为mg
D.若剪断绳子（A不动），则此瞬时球B加速度大小为
6、 如图所示，可视为质点的物体A和B，质量分别为mA＝2kg和kg，被两根质量不计的轻绳固定在如图所示的装置上，整体处于竖直平面内且处于静止状态。装置与水平方向夹角为α＝30°，装置两端为大小不计的光滑定滑轮。左绳下面部分水平，右绳与水平方向夹角为β＝60°，g＝10m／s2．求：
（1）两根细绳的弹力大小；
（2）物体A所受的摩擦力。
7、[多选题] 如图所示，斜面上放有两个完全相同的物体a、b，两物体间用一根细线连接，在细线的中点加一与斜面垂直的拉力F，使两物体均处于静止状态。则下列说法不正确的是（ ）
A.a、b两物体的受力个数一定相同
B.a、b两物体对斜面的压力相同
C.a、b两物体受到的摩擦力大小一定相等
D.当逐渐增大拉力F时，物体a先开始滑动
8、 如图光滑的四分之一圆弧轨道AB固定在竖直平面内，A端与水平面相切，穿在轨道上的小球在拉力F作用下，缓慢地由A向B运动，F始终沿轨道的切线方向，轨道对球的弹力为N．在运动过程中（ ）
A.F增大，N减小
B.F减小，N减小
C.F增大，N增大
D.F减小，N增大
9、 如图，半圆形金属框竖直放在粗糙的水平地面上，套在其上的光滑小球P在水平外力F的作用下处于静止状态，P与圆心O的连线与水平面的夹角为θ，现用力F拉动小球，使其缓慢上移到框架的最高点，在此过程中金属框架始终保持静止，下列说法中正确的是（ ）
A.框架对小球的支持力先减小后增大
B.水平拉力F 先增大后减小
C.地面对框架的摩擦力一直减小
D.地面对框架的支持力先减小后增大
10、 如图所示，一根轻绳跨过定滑轮后系在质量较大的球上，球的大小不可忽略．在轻绳的另一端加一个力F，使球沿斜面由图示位置缓慢拉上顶端，各处的摩擦不计，在这个过程中拉力F（ ）
A.逐渐增大
B.保持不变
C.先增大后减小
D.先减小后增大
11、[多选题] 如图所示，不可伸长的轻绳AO和BO下端共同系一个物体P，且绳长AO＞BO，AB两端点在同一水平线上，开始时两绳刚好绷直，细绳AO、BO的拉力分别设为FA、FB，现保持A、B端点在同一水平线上，在A、B缓慢向两侧远离的过程中，关于两绳拉力的大小随A、B间距离的变化情况是（ ）
A.FA随距离的增大而一直增大
B.FA随距离的增大而一直减小
C.FB随距离的增大而一直增大
D.FB随距离的增大先减小后增大
12、 如图9所示，轻绳AB能承受的最大拉力为100N，在它下面悬挂一重为50N的重物，分两种情况缓慢地拉起重物．第一次，施加一水平方向的力F作用于轻绳AB的O点；第二次用拴有光滑小环的绳子，且绳子所能承受的最大拉力也为50N．绳子刚好断裂时，绳AB上部分与竖直方向的夹角分别为θ1和θ2，关于两者大小关系的说法中正确的是（ ）
A.θ1＞θ2
B.θ1＝θ2
C.θ1＜θ2
D.无法确定
13、[多选题] 如图所示，一根轻绳上端固定在O点，下端拴一个重量为G的小球，开始时轻绳处于垂直状态，轻绳所能承受的最大拉力为2G，现对小球施加一个方向始终水平向右的力F，使球缓慢地移动，则在小球缓慢地移动过程中，下列说法正确的是（ ）
A.力F逐渐增大
B.力F的最大值为
C.力F的最大值为2G
D.轻绳与竖直方向夹角最大值θ＝30°
14、[多选题] 如图所示，用绳子AO和BO悬挂一物体，绳子AO和BO与水平天花板的夹角分别为60°和30°，且能够承受的最大拉力均为T，在不断增加物体重力的过程中（绳子OC不会断）（ ）
A.绳子AO先断
B.绳子BO先断
C.物体的重力最大为2T
D.物体的重力最大为T
15、 课堂上，老师准备了“L”型光滑木板和三个完全相同、外表面光滑的匀质圆柱形积木，要将三个积木按图示（截面图）方式堆放在木板上，则木板与水平面夹角θ的最大值为（ ）
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
答案解析
受力分析中的整体法和隔离法
受力分析中整体法和隔离法的应用
例题1、
【答案】 A
【解析】 将4块砖看成一个整体，对整体进行受力分析，在竖直方向，共受到三个力的作用：竖直向下的重力4mg，两个相等的竖直向上的摩擦力f，由平衡条件可得：2f=4mg，f=2mg。由此可见：第1块砖和第4块砖受到木板的摩擦力均为2mg；将第1块砖和第2块砖当作一个整体隔离后进行受力分析，受竖直向下的重力2mg，木板对第1块砖向上的摩擦力f=2mg；由平衡条件可得二力已达到平衡，第2块砖和第3块砖之间的摩擦力必为零。
例题2、
【答案】 A
【解析】 对小环Q受力分析，受到重力、支持力和拉力，如图
根据三力平衡条件，得到
T=
FN=mgtanθ
再对P、Q整体受力分析，受到总重力、OA杆支持力、向右的静摩擦力、BO杆的支持力，如图
根据共点力平衡条件，有
FN=f
N=（m+m）g=2mg
故：f=mgtanθ
当P环向右移一小段距离，角度θ变大，故静摩擦力f变大，支持力N不变．
所以A正确，BCD错误．
例题3、[多选题]
【答案】 B C
【解析】 暂无解析
例题4、[多选题]
【答案】 A C
【解析】 A、对木块B受力分析，如图，根据共点力平衡条件有：F＝mBgtanθ，在缓慢拉开B的过程中，θ变大，故F变大，故A正确；
B、物体A受重力、支持力、细线的拉力，可能没有静摩擦力，也可能有沿斜面向下的静摩擦力，还有可能受沿斜面向上的静摩擦力，故拉力T变大后，静摩擦力可能变小，也可能变大。故B错误。
C、以整体为研究对象，水平方向合外力为零，斜面体所受地面的摩擦力与水平力F大小相等，故C正确。
D、对斜面体和木块A、B整体受力分析，由于一直平衡，故支持力等于系统的总重力包括A，B和斜面，故D不正确。
例题5、
【答案】 C
【解析】 解：设A的质量为m，B的质量为M，
隔离光滑均匀圆球B，对B受力分析如图所示，可得：
FN=Fcosθ
Mg﹣Fsinθ=0
解得：FN=，
对两球组成的整体有：
（m+M）g﹣μFN=0
代入数据，联立解得：
故选：C．
例题6、
【答案】 D
【解析】 将两球和弹簧B看成一个整体，整体受到总重力G、弹簧A和C的拉力，如图，设弹簧A、C的拉力分别为F1和F2．由平衡条件得知，F2和G的合力与F1大小相等、方向相反
则得：F2=F1sin30°=0.5F1．
根据胡克定律得：F=kx，k相同，则 弹簧A、C的伸长量之比等于两弹簧拉力之比，即有xA：xC=F1：F2=2：1
故选：D．
例题7、
【答案】 C
【解析】 图1中，根据整体法可知，木块B除了重力外，一定受到墙面水平向右的弹力和竖直向上的静摩擦力，隔离B分析，其一定还受到A的弹力（垂直于接触面向左上方），但A对B有无静摩擦力暂不确定，需再隔离A分析，A确定受到重力、水平向左的推力、B对齐垂直于接触面向右下的弹力，这样的三个力不可能使A平衡，所以A一定还要受到B对其沿接触面斜面右上的静摩擦力才能平衡，至此可确定B一定受到A沿接触面斜向左下的静摩擦力，及B共受5个力；图2中，据整体法可知B与墙面间即无弹力也无摩擦力，所以木块B受重力，A的弹力和摩擦力共3个力的作用，C正确；
例题8、
【答案】 （1）N（2）N；水平向左
【解析】 （1）以小球为研究对象，受力分析如答图1所示．
根据平衡条件得知，T与N的合力F=mg
得T==N
（2）以小球和斜面整体为研究对象，受力分析如答图2所示．
由于系统静止，合力为零，则有
N
方向水平向左
例题9、
【答案】 （1）10N
（2）；
【解析】 （1）以物体m为研究对象（隔离法），
N1＝mgcosθ，
mgsinθ＋f1＝F1，
f1＝μN1，
联立解得F1＝10N；
（2）以物体m为研究对象（隔离法）N2＝mgcosθ＋F2sinθ，
mgsinθ＝F2cosθ＋f2，
f2＝μN2，
，
以整体为研究对象（整体法），
方向水平向左．
答：（1）如图甲所示，用平行于斜面的推力F1作用于物体上，使其沿斜面匀速上滑，F1大小为10N；
（2）如图乙所示，若斜面不固定，改用水平推力F2作用于物体上，使物体沿斜面匀速下滑，此过程中斜面仍保持静止，F2大小为，斜面受到地面的摩擦力f地为．
随练1、[多选题]
【答案】 A D
【解析】 暂无解析
随练2、
【答案】 B
【解析】 A受到4F水平向右的力，B受到F的水平向左的力
以整体为研究对象，分析受力如图．
设OA绳与竖直方向的夹角为α，则由平衡条件得
tanα==
以B球为研究对象，受力如图．设AB绳与竖直方向的夹角为β，则由平衡条件得
tanβ=
得到α=β
故选：B
随练3、
【答案】 AB、BC、CD三根轻绳的拉力大小分别为、mg、mg
【解析】 以B、C整体为研究对象，受力分析，如图，由平衡条件得：
FAB＝2mgcos30°，
FDC＝2mgsin30°，
解得：，FDC＝mg，
以C为研究对象，受力分析，如图，由平衡条件得：
FBCcosα＝FDCsin60°，
FBCsinα＋FDCcos60°＝mg，
解得：α＝30°，FBC＝mg．
答：AB、BC、CD三根轻绳的拉力大小分别为、mg、mg。
随练4、
【答案】 （1）地面受到物块的压力大小为80N
（2）物块受到地面的摩擦力大小为22.5N
【解析】 （1）对物块M和圆柱体m整体受力分析，如图所示：
根据平衡条件，有：
N2=f ①
N1=（M+m）g=（5+3）×10=80N ②
根据牛顿第三定律，地面受到物块的压力大小也为80N；
（2）对圆柱体分析，如图所示：
结合几何关系，有：sinθ=③
根据平衡条件，有：
水平方向：N2=N3cosθ ④
竖直方向：mg=N3sinθ ⑤
联立①③④解得：
f===22.5N
答：（1）地面受到物块的压力大小为80N；
（2）物块受到地面的摩擦力大小为22.5N．
静态平衡问题的求解
矢量三角形法的应用
例题1、
【答案】 C
【解析】 暂无解析
例题2、
【答案】 C
【解析】 由图可知，要想CD水平，各绳均应绷紧，则AC与水平方向的夹角为60°；
结点C受力平衡，则受力分析如图所示，则CD绳的拉力T＝mgtan30°＝mg；
D点受绳子拉力大小等于T，方向向左；要使CD水平，D点两绳的拉力与外界的力的合力为零，则绳子对D点的拉力可分解为沿BD绳的F1，及另一分力F2，由几何关系可知，当力F2与BD垂直时，F2最小，而F2的大小即为拉力的大小；故最小力；
例题3、
【答案】 A
【解析】 暂无解析
例题4、
【答案】 B
【解析】 先以左侧小球为研究对象，分析受力情况：重力、绳子的拉力和半球的支持力．作用图．
由平衡条件得知，拉力和支持力的合力与重力大小相等、方向相反．设，根据三角形相似得：，
解得：①
同理，以右侧小球为研究对象，得：②，
最后带入数据，可得B正确．
随练1、
【答案】 C
【解析】 设悬挂小物块的点为O'，圆弧的圆心为O，由于ab＝R，所以三角形Oab为等边三角形。
由于圆弧对轻环的支持力沿半径方向背向圆心，所以小球和小物块对轻环的合力方向由轻环指向圆心O，因为小物块和小球对轻环的作用力大小相等，所以aO、bO是∠maO′、∠mbO′的角平分线，所以∠O'Oa＝∠maO＝∠mbO＝30°，那么∠mbO′＝60°，
所以由几何关系可得∠aO'b＝120°，而在一条绳子上的张力大小相等，故有T＝mg，小物块受到两条绳子的拉力作用大小相等，夹角为120°，故受到的合力等于mg，因为小物块受到绳子的拉力和重力作用，且处于平衡状态，故拉力的合力等于小物块的重力为mg，所以小物块的质量为m
故ABD错误，C正确。
随练2、[多选题]
【答案】 A C
【解析】 AB、由于杆AC与杆BC都没有转动，可知，杆AC对C点的作用力沿CA的方向的拉力，杆BC对C点的作用力沿BC的方向的支撑力，故A正确，B错误；
CD、结合共点力平衡对结点C受力分析如图，运用合成法得，当P加重时必定BC、AC受力都增大．故C正确，D错误．
随练3、
【答案】 C
【解析】 绳O'P刚拉直时，OP绳拉力为T1，此时O′P绳子拉力为零，小球受力如图所示，
根据几何关系可得sinα=，所以α=53°，所以α+θ=90°；
根据共点力的平衡条件可得：T1=mgsinα；
绳O'P刚松弛时，O′P绳拉力为T2，此时OP绳子拉力为零，小球受力如图所示，
根据共点力的平衡条件可得：T2=mgtanα，
由此可得：，所以C正确、ABD错误．
正交分解法的应用
例题1、[多选题]
【答案】 B C
【解析】 设物体刚好不下滑时F＝F1，作出力图如图。则由平衡条件得：
F1•cosθ＋f1＝G•sinθ，
N1＝F1•sinθ＋G•cosθ。
又 f1＝μN1
联立得：；
设物体刚好不上滑时F＝F2，则：
F2•cosθ＝μN2＋G•sinθ，
N2＝F2•sinθ＋G•cosθ，
得：
即得．则AD错误，BC正确。
例题2、[多选题]
【答案】 B C
【解析】 以两个铁环和小球组成的系统为研究对象，竖直方向受到重力和水平横梁对铁环的支持力FN和摩擦力Ff，力图如图1所示。根据平衡条件得：2FN＝（M＋2m）g，得到
FN＝（M＋2m）g，可见，水平横梁对左侧铁环的支持力FN不变。
以左侧环为研究对象，力图如图2所示。
竖直方向：FN＝Fsinα＋mg①
水平方向：Fcosα＝Ff②
由①分析可知FN，mg不变，α减小，则F增大。
由②分析cosα增大，F增大，则Ff增大。故AD错误，BC正确。
例题3、[多选题]
【答案】 A B C
【解析】 施加拉力前，物体受到四个力的作用而平衡：重力G、垂直斜面向上的支持力N、沿斜面向上的摩擦力f和弹簧对物体施加沿斜面向上的弹力T，受力如图，
其中T＝kx＝1000×0.02＝20N，
根据平衡条件可求出，f＝Gsin30°－T＝20N，方向沿斜面向上；
施加拉力F后，弹簧长度不变，说明物体仍然静止，并且弹簧对物体施加的弹力大小和方向不变，若摩擦力沿斜面向上，则F＋f＋T＝Gsin30°，即F＋f＝20N，摩擦力f随着F增大而较小，当F＝20N时，f＝0，若F＞20N，摩擦力沿斜面向下，因为物体没有滑动，所以F＋T＜Gsin30°＋fm，代入数据可得，F＜45N，所以测力计读数在0～45N之间。故A、B、C正确，D错误。
例题4、
【答案】 C
【解析】 AB、三个小圆环能静止在光的圆环上，由几何知识知：abd恰好能组成一个等边三角形，对a受力分析如图所示，
在水平方向上：Tsin30°＝Nasin60°，
在竖直方向上：Tcos30°＝mg＋Nacos60°，
解得：Na＝mg；，故AB错误；
C、受到绳子拉力的大小为：T＝2T′cos30°＝3mg，故C正确；
D、以c为对象受力分析得：
在竖直方向上：N1＝mg＋2Tcos30°，
解得，故D错误．
随练1、
【答案】 D
【解析】 对物块进行受力分析，如图所示：
物块在重力G、斜面的支持力N、推力F、沿虚线方向上的摩擦力f共同作用下沿斜面上的虚线匀速运动，因为G，N，F三力的合力方向向下，故摩擦力f方向沿斜面虚线向上，所以物块向下运动，故A错误；
现将重力分解为沿斜面向下且垂直于底边（也垂直于推力F）的下滑力G1、垂直与斜面的力G2，如图所示：
其中G2恰好把N平衡掉了，这样可视为物体在推力F、下滑力G1、摩擦力f三个力作用下沿斜面上的虚线匀速运动，
根据三力平衡特点，F与G1的合力必沿斜面向下，同时摩擦力f 只能沿斜面向上，故选项B错误；
根据几何关系，F与G1的合力，即，故物体与斜面间的动摩擦因数，故选项D正确。
动态平衡问题的求解
动态平衡问题中的解析法
例题1、
【答案】 B
【解析】 先对Q受力分析，受重力、P对Q的支持力和MN对Q的支持力，如图
根据共点力平衡条件，有
N1=
N2=mgtanθ
再对P、Q整体受力分析，受重力、地面支持力、MN挡板对其向左的支持力和地面对其向右的支持力，如图
根据共点力平衡条件，有
f=N2
N=（M+m）g
故f=mgtanθ
MN保持竖直且缓慢地向右移动过程中，角θ不断变大，故f变大，N不变，N1变大，N2变大，P、Q受到的合力为零．
例题2、
【答案】 D
【解析】 对小球进行研究，分析受力情况：重力mg、水平外力F和弹簧的弹力f．由平衡条件得
f=
又由胡克定律得f=kx
则有 kx=
得 x=
由数学知识得知，k、mg一定，x与cosθ成反比，选项D正确．
故选：D
例题3、
【答案】 C
【解析】 挂钩处的受力情况如图所示，
设绳子两个悬点之间的水平距离为d，绳长为L，由于轻绳光滑，则两端绳子与水平方向的夹角相等；
根据几何关系可得：，
根据共点力的平衡条件可得：2Tsinα＝mg；
解得绳子拉力；
AC、当光滑圆环沿着AB或CD方向在支架上缓慢的移动时，d不变，则α不变，绳子张力不变，即：Fa＝Fb，Fc＝Fd，A错误、C正确；
B、当光滑圆环沿着BC方向在支架上缓慢的移动时，d增大，则α变小，绳子张力变大，即：Fb＜Fc，B错误；
D、当光滑圆环沿着DA方向在支架上缓慢的移动时，d减小，则α变大，绳子张力变小，即：Fd＞Fa，D错误。
随练1、
【答案】 B
【解析】 以小球为研究对象，分析受力情况：重力G、墙面的支持力N1′和木
板的支持力N2′．根据牛顿第三定律得知，N1=N1′，N2=N2′．
根据平衡条件得：N1′=Gcotθ，N2′=
将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置的过程中，θ增大，cotθ减小，sinθ增大，则N1′和N2′都始终减小，故N1和N2都始终减小．
故选B
动态平衡问题中的图解法
例题1、
【答案】 C
【解析】 点O受到三个拉力而处于平衡状态，其中向下的拉力的大小和分析均不变，OA的拉力方向不变，根据平衡条件，三个力可以构成首尾相连的矢量三角形，如图所示：
从图中可以看出，OA的拉力T不断减小，拉力F先减小后增加，当拉力F与OA垂直时F最小，故C正确ABD错误．
例题2、
【答案】 A D
【解析】 以结点O为研究对象，分析受力：重力G、绳OA的拉力FOA和绳BO的拉力FOB，如图所示，根据平衡条件知，两根绳子的拉力的合力与重力大小相等、方向相反，
作出轻绳OB在两个位置时力的合成图如图，由图看出，FOA逐渐减小，FOB先减小后增大，当θ=90°时，FOB最小．
故选：AD．
例题3、[多选题]
【答案】 B D
【解析】 AB、对小球受力分析，受重力、支持力和细线的拉力，如图所示：
根据平衡条件可知，细线的拉力T增加，支持力N减小，根据牛顿第三定律，球对斜面的压力也减小；
故A错误，B正确；
CD、对球和滑块整体分析，受重力、斜面的支持力N，杆的支持力N′，拉力F，如图所示：
根据平衡条件，有：
水平方向：N′=Nsinθ
竖直方向：F+Ncosθ=G
由于N减小，故N′减小，F增加；
故C错误，D正确；
故选：BD
随练1、[多选题]
【答案】 A C
【解析】 现让框架沿逆时针方向缓慢旋转90°，保持结点O位置不变，可以认为保持框架不动，让悬挂物体的细线拉力不变，以O点顺时针转过90°，根据矢量三角形法则可得ON和OM的拉力变化如图所示：
根据图中的线段长短的变化情况可知，FN先增大后减小、FM逐渐减小，故AC正确、BD错误。
随练2、
【答案】 B
【解析】 将斜面在水平桌面上缓慢地向左推移，所以小球始终处于平衡状态，受力分析并合成如图：
由平衡条件得：F′＝G，即：支持力N和拉力T的合力大小和方向均不发生变化．
当斜面在水平桌面上缓慢地向左推移时，细线与竖直方向的夹角逐渐变大，T的方向发生变化，画出平行四边形如图所示：
由图看出：拉力先减小后变大，支持力一直在变大
动态平衡问题中的三角形相似法
例题1、
【答案】 A
【解析】 小球受重力、细线的拉力和支持力，由于平衡，三个力可以构成矢量三角形，如图所示：
根据平衡条件，该矢量三角形与几何三角形POC相似，故：
解得：
F1=
F2=
当P点下移时，PO减小，L、R不变，故F1增大，F2增大；
故选：A
例题2、[多选题]
【答案】 B C
【解析】 以B点为研究对象，分析受力情况：重物的拉力T（等于重物的重力G）、轻杆的支持力N和绳子的拉力F，作出力图如图：
由平衡条件得知，N和FT的合力与T大小相等，方向相反，根据三角形相似可得：
又T＝G，解得：
使∠BAO缓慢变小时，AB、AO保持不变，BO变小，则N保持不变，FT变小。故BC正确，AD错误。
例题3、
【答案】 A
【解析】 小球沿圆环缓慢上移可看做匀速运动，对小球进行受力分析，小球受重力G，F，N，三个力。满足受力平衡。作出受力分析图如下
由图可知△OAB∽△GFA
即：
当A点上移时，半径不变，G不变，AB长度减小，则知F减小，N不变，故A正确；
随练1、
【答案】 B
【解析】 对细棒受力分析可知，细棒受重力、拉力以及结点处的支持力，根据平衡条件可知，支持力与拉力F的合力与重力等大反向，如图所示；
则由图可知，△OFG'∽△O1O2O；
则可知：，在杆上移过程中，左侧绳长OO2变短，而O2O1及OO1不变，则可知：F变小，N不变。
故B正确，ACD错误。
平衡问题中的临界与极值
共点力平衡中的临界问题
例题1、
【答案】 AB绳子的拉力为零时，F为；AC绳子的拉力为零时，F为；故拉力F的大小范围为：
【解析】 作出物体A受力如图所示，由平衡条件
Fy＝Fsinθ＋F1sinθ－mg＝0 ①
Fx＝Fcosθ－F2－F1cosθ＝0 ②
由①②式分别得：③
④
要使两绳都能绷直，则有：
F1≥0⑤
F2≥0⑥
由③⑤式得F有最大值：．
由④⑥式得F有最小值：．
综合得F的取值范围：．
例题2、
【答案】 C
【解析】 设A球、C球的质量分别mA、mC．由几何知识得知，两细线相互垂直。
对A、C两球平衡得T1＝mAg，T2＝mCg。
以B球为研究对象，分析受力情况：重力G、两细线的拉力T1、T2．由平衡条件得
T1＝T2tanθ
得
则得。
例题3、
【答案】 C
【解析】 设板与水平面的夹角为α时，滑块相对于板刚要滑动，则由mgsinα=μmgcosα得 tanα=，α=，则θ在0﹣范围内，弹簧处于原长，弹力F=0，当板与水平面的夹角大于α时，滑块相对板缓慢滑动，由平衡条件得F=mgsinθ﹣μmgcosθ=mgsin（θ﹣β），其中tanβ=﹣μ，说明F与θ正弦形式的关系．当时，F=mg．
例题4、
【答案】 （1）。
（2）λ
【解析】
（1）拖把头受到重力、支持力、推力和摩擦力处于平衡，设该同学沿拖杆方向用大小为F的力推拖把。
将推拖把的力沿竖直和水平方向分解，
按平衡条件有
竖直方向上：Fcosθ＋mg＝N ①
水平方向上：Fsinθ＝f ②
式中N和f分别为地板对拖把的正压力和摩擦力。按摩擦定律有f＝μN ③
联立①②③式得④
（2）若不管沿拖杆方向用多大的力不能使拖把从静止开始运动，
应有Fsinθ≤λN ⑤
这时①式仍满足。联立①⑤式得⑥
现考查使上式成立的θ角的取值范围。注意到上式右边总是大于零，且当F无限大时极限为零，
有sinθ－λcosθ≤0⑦
使上式成立的θ角满足θ≤θ0，这里θ0是题中所定义的临界角，即当θ≤θ0时，不管沿拖杆方向用多大的力都推不动拖把。
临界角的正切为tanθ0＝λ⑧。
随练1、
【答案】 将力F顺时针转动至水平向右并保持不变，此时物体与斜面之间的摩擦力大小为4N或8.8N
【解析】 情况一：
当力F沿斜面向上，物体恰好不向上滑动时对物体受力分析，有F＝Gsin θ＋μGcos θ，
由几何关系得：sin θ＝0.6，cos θ＝0.8，F＝20 N；
力F顺时针转动至水平向右时物体受力如图所示，
根据平衡条件得，Fcos θ＋f－Gsin θ＝0，
解得f＝Gsin θ－Fcos θ＝20×0.6 N－20×0.8 N＝－4 N，负号表示方向沿斜面向下。
情况二：
当力F沿斜面向上，物体恰好不向下滑动时，对物体受力分析，有F＝Gsin θ－μGcos θ＝4 N；力F顺时针转动至水平向右时，有Fcos θ＋f－Gsin θ＝0，解得，f＝8.8 N，方向沿斜面向上。
随练2、
【答案】 A
【解析】 对AB分别受力分析
对A：Tcos53°＝μ（mAg－Tsin53°） 得
对B：Tcos37°＝μ（mBg－Tsin37°） 得
得：
共点力平衡中的极值问题
例题1、
【答案】 A
【解析】 以B小球为研究对象，分析受力，作出F在三个方向时整体的受力图，根据平衡条件得知：F与T的合力与重力mg总是大小相等、方向相反，由力的合成图可知，当F与绳子oa垂直时，F有最小值，即图中2位置，F的最小值为：
根据平衡条件得：F=mgsinβ
故选：A
例题2、
【答案】 D
【解析】 当m1有最小值时，摩擦力沿球面向下，受力如图．
根据共点力平衡得，m1gsin45°+fm=T
fm=μN=μmgcos45°
T=m2g
联立三式解得： ．
例题3、
【答案】 （1）80N
（2）；
【解析】 （1）θ＝60°时，由几何知识知F合＝FBC
根据平衡条件，则FBC＝mg＝80N；
（2）θ在0～90°的范围内，由图知，θ＝90°时最大，；
θ＝30°时最小，。
随练1、
【答案】 A
【解析】 依题意，对物体m受力分析，根据平衡条件，绳子的拉力：
F=mg …①
若F较小，物块A有沿着斜面向下滑的趋势，此时物块A受力分析如图所示：
由力的平衡条件得：
FN=Mgcos37° …②
F+Ff=Mgsin37° …③
Ff≤μFN …④
联立①②③④可解得得：m≥0.2M；
若F较大，A物块有沿着斜面向上滑动的趋势，此时物块A受力分析如图所示：
由平衡条件得，
FN=Mgcos37° …⑤
F=Ff+Mgsin37° …⑥
Ff≤μFN …⑦
代入数据解①⑤⑥⑦得：m≤M；
物块m的质量的取值范围是：0.2M≤m≤M，故：1≤≤5；
故A正确，BCD错误；
随练2、
【答案】 C
【解析】 以重物为研究对象，受力如图所示：
由平衡条件得：
TACsin30°﹣TBCsin60°=0 ①
TACcos30°+TBCcos60°﹣G=0 ②
由式①可知TAC=TBC
当TBC=80N时，TAC=80N≈138.6N，AC将断．
而当TAC=120N时，TBC=40N≈69.3N＜80N
将TAC=120N，TBC=69.3N代入式②，解得G=80N
所以重物的最大重力不能超过80 N．
故选：C．
拓展
1、
【答案】 D
【解析】 将三个物体看作整体，则物体只受重力和支持力作用，水平方向没有外力，故三角形木块不受地面的摩擦力，故D正确．
2、
【答案】 A
【解析】 暂无解析
3、[多选题]
【答案】 A C
【解析】 A、根据受力分析可得AB对C的支持力F1=F2=mg，故C对A的压力F=mg，沿水平方向和竖直方向对F进行分解，
f=Fcos30°=，故A正确，B错误；
C、根据整体法分析可得地面对A的支持力D大小为Mg+，故C正确；
D、由于AB与地面的夹角不变，故再次平衡时A对地面的摩擦力不变，故D错误．
4、[多选题]
【答案】 C D
【解析】 A、B、C以两个小球组成的整体为研究对象，分析受力，作出F在三个方向时整体的受力图，根据平衡条件得知：F与T的合力与重力mg总是大小相等、方向相反，由力的合成图可知，当F与绳子oa垂直时，F有最小值，即图中2位置，F的最小值为：
Fmin＝2mgsinθ＝mg．故AB错误，C正确。
D、当F竖直向上时，F＝2mg；当F水平向右时，由平衡条件得，则2mg＞F＞mg，而在这个范围内，所以F可能为．故D正确。
5、
【答案】 B
【解析】 A、对AB整体受力分析，受重力和支持力，相对地面无相对滑动趋势，故不受摩擦力，故A错误；
BC、对小球受力分析，如图所示：
根据平衡条件，有：F=，T=mgtanθ
其中cosθ=，tanθ=，
故：F=mg，T=mg
故B正确，C错误；
D、若剪断绳子（A不动），B球受重力和支持力，根据牛顿第二定律，有：
mgsinθ=ma
解得：
a=gsinθ=g，故D错误
6、
【答案】 （1）20N；10N
（2）0
【解析】 （1）选B为研究对象，受力分析如图，根据力的合成，可得：
解得：T1＝20N，T2＝10N．
（2）选A为研究对象，进行受力分析如图所示，设摩擦力沿斜面向上，
进行正交分解，可得：
解得：．
7、[多选题]
【答案】 A C
【解析】 A、对ab进行受力分析，如图所示：
b物体处于静止状态，当绳子沿斜面向上的分量与重力沿斜面向下的分量相等时，摩擦力为零，所以b可能只受3个力作用，而a物体必定受到摩擦力作用，肯定受4个力作用，故A错误；
B、ab两个物体，垂直于斜面方向受力都平衡，则有：N＋Tsinθ＝mgcosθ
解得：N＝mgcosθ－Tsinθ，则a、b两物体对斜面的压力相同，故B正确；
C、根据A的分析可知，b的摩擦力可以为零，而a的摩擦力一定不为零，则两物体受到的摩擦力大小不一定相等，故C错误；
D、对a沿斜面方向有：Tcosθ＋mgsinθ＝fa，
对b沿斜面方向有：Tcosθ－mgsinθ＝fb，
正压力相等，所以最大静摩擦力相等，则a先达到最大静摩擦力，先滑动，故D正确。
本题选错误的。
8、
【答案】 A
【解析】 对球受力分析，受重力、支持力和拉力，如，根据共点力平衡条件，有
N＝mgcosθ
F＝mgsinθ
其中θ为支持力N与竖直方向的夹角；当物体向上移动时，θ变大，故N变小，F变大；故A正确，BCD错误。
9、
【答案】 C
【解析】 以小球为研究对象，分析受力情况如图所示：根据动态三角形可知：框架对小球的支持力不断减小，水平拉力F 一直减小，故AB错误；以框架与小球组成的整体为研究对象，整体受到重力、地面的支持力、地面的摩擦力以及力F的作用；由图可知，水平拉力F 一直减小，所以地面对框架的摩擦力始终在减小，框架对地面的压力保持不变，故C正确，D错误。
10、
【答案】 A
【解析】 将球沿固定的光滑斜面由底端缓慢拉到顶端的过程中，绳子方向顺时针转动过程绳子拉力的如图中1到2到3的位置，（注意开始时绳子拉力与支持力的夹角就是大于90°的）
由图可以看出绳子拉力一直增大，即F一直增大。
11、[多选题]
【答案】 A D
【解析】 以结点O为研究对象，受力分析如图所示，由受力图可以看出：
开始时A的拉力为零，B的拉力与重力平衡；
当A、B缓慢向两侧远离的过程中，A的拉力增大、B的拉力开始减小，当OA与AB垂直时OB的拉力最小；
当OA和OB之间的夹角大于90°时，OA的拉力一直在增大，OB的拉力开始增大；
所以FA随距离的增大而一直增大，FB随距离的增大先减小后增大；
根据以上分析可知，故AD正确、BC错误。
12、
【答案】 B
【解析】 第一次，绳子固定在O点，施加一水平方向的力F作用于绳子，受力如图，因为BO绳的拉力为50N，
此时当AO绳的拉力为100N时，AO刚好被拉断，
则绳AB上部分与竖直方向的夹角θ1＝60°．
第二次用拴有光滑小环的绳子，因为F1＝F2＝50N，当F＝50N时受力如图，绳刚好断裂，此时绳AB上部分与竖直方向的夹角θ2＝60°．
所以θ1＝θ2．故B正确，A、C、D错误．
13、[多选题]
【答案】 A B
【解析】 对小球受力分析，如图：
由平衡条件得：F＝mgtanθ，θ逐渐增大，则F逐渐增大，故A正确；
如图，小球缓慢地移动过程中，θ逐渐增大，T的最大值为2G，则可得，θ＝60°，此时F达到最大值为：，
故B正确CD错误．
14、[多选题]
【答案】 B D
【解析】 AB、对重物受力分析，如图所示：
由于重物静止，根据平衡条件：F=G，
由几何知识可知，FOB＞FOA，所以在不断增加物体重力的过程中，绳子BO先断．故A错误，B正确；
CD、由几何关系得：
FOA=Fcos60°=G≤T…①
FOB=Fsin60°=G≤T…②
当FOB=T时，G=．故C错误，D正确
15、
【答案】 A
【解析】 当最上面积木的重心与左下方积木的重心在同一竖直线上时，最上面积木将要滚动，此时木板与水平面夹角θ达到最大，由几何关系知，θ的最大值为30°。
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