2023届四川省泸州市名校高三上学期12月第四次月考数学文科试题（含解析）

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这是一份2023届四川省泸州市名校高三上学期12月第四次月考数学文科试题（含解析），共11页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
泸州市名校2023届高三上学期12月第四次月考数学文科满分: 150分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 设集合 , 则（）A. B.C. D.2. 设 , 则复数的模等于（）A. B.2 C.1 D.3. 若点是角的终边上一点, 则（）A. B.C. D.4. 若满足, 则目标函数的最大值为（）A.5 B.4 C.3 D.25. 将某家庭一年的支出情况统计如下图所示，主要分为房贷、饮食等六个方面；若该家庭一年的总支出为12万元，且花费在A方面的金额比B方面的金额多4800元，则B为（）A.交通 B.饮食 C.育儿 D.其他6. 设函数 , 则的大致图象大致是的（）A. B.C. D.7. 阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为，则该圆柱的内切球体积为（）A. B.C. D.8. 已知等差数列 , 则数列的前100项和（）A. B.C. D.9. 设是两条不同的直线,是两个不同的平面, 下列命题中正确的是（）A.若 , 则B.若 , 则C.若 , 则D.若 , 则10. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象, 下列说法正确的是（）A.是奇函数B.的周期是C.的图象关于直线对称D.的图象关于点对称11. 如图所示, 三棱锥的底面是等腰直角三角形,, 且, 则点到面的距离等于（）A. B.C. D.12. 已知定义在上的奇函数, 满足, 当时,, 若函数, 在区间上有10个零点, 则的取值范围是（）A. B. C. D.二.填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13. 已知某校高一、高二、高三的人数分别为400、450、500，为调查该校学生的学业压力情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为270的样本，则从高二年级抽取的人数为_________.14.已知 , 则与夹角的余弦值为__________.15.已知是定义在上的奇函数, 当时,, 则不等式的解集用区间表示为__________.16.已知不等式对恒成立, 则实数的最小值为__________.三.解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. 解答题（12分）已知数列的前项和为.（1）求数列的通项公式;（2）若数列满足, 求数列的前项和. 18. 解答题（12分）在斜三角形中,.（1）求的值;（2）若 , 求的周长. 19. 解答题（12分）为配合创建文明城市，某市交警支队全面启动路口秩序综合治理，重点整治机动车不礼让行人的行为.经过一段时间的治理，从市交警队数据库中调取了10个路口的车辆违章数据，根据这10个路口的违章车次的数量绘制如下的频率分布直方图，统计数据中凡违章车次超过30次的路口设为“重点关注路口”.（1）根据直方图估计这10个路口的违章车次的平均数；（2）现从“重点关注路口”中随机抽取两个路口安排交警去执勤，求抽出来的路口中有且仅有一个违章车次在的概率. 20. 解答题（12分）如图所示, 在四棱锥中,, 点为的中点.（1）求证: 平面平面;（2）若为的中点, 求四面体的体积. 21. 解答题（12分）设函数 .（1）时, 求的最小值;（2）若在恒成立, 求的取值范围.选做题（第22题，23题，选做一题，多做或做错，均按照第一题计分） 22. 解答题（10分）在平面直角坐标系中, 曲线的参数方程为(为参数), 直线的参数方程为(为参数).（1）写出曲线与直线的普通方程;（2）设当时上的点为, 点在曲线上. 以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系, 求线段中点的轨迹的极坐标方程. 23. 解答题（10分）已知 .（1）若 , 求不等式的解集;（2）, 求实数的取值范围.
参考答案及解析 1. 【答案】D 【解析】.所以 .2. 【答案】C 【解析】因为 ,所以 ,由复数模的定义知, .故选:C.3. 【答案】B【解析】由题意可知, 将代入得,即 .4. 【答案】A 【解析】略5. 【答案】C 【解析】设方面占比方面占比,则有 ,由图可知, 只有其它方面比育儿方面多4%.6. 【答案】B 【解析】对于选项A：由题意知, 函数的定义域为, 其关于原点对称,因为 , 所以函数为奇函数, 其图象关于原点对称, 故选排除;对于选项D：因为 , 故选项D排除;对于选项C：因为 , 故选项C排除;7. 【答案】D 【解析】设圆柱的底面半径为 , 则其母线长为,因为圆柱的表面积公式为 ,所以 , 解得,因为圆柱的体积公式为 ,所以 ,由题知, 圆柱内切球的体积是圆柱体积的 ,所以所求圆柱内切球的体积为8. 【答案】A 【解析】【分析】先求出的通项, 再利用裂项相消法可求前100项和.【详解】因为为等差数列且,故 , 故,故数列的前100项和为.9. 【答案】B 【解析】, 故选B.10. 【答案】D【解析】由已知得: ,选项A: 是偶函数, A不正确;选项B: 由得的周期是不正确;选项C: 由知,的图象关于直线不对称, C不正确;选项D: 由知,的图象关于点对称, D正确. 11. 【答案】C 【解析】取的中点, 连接, 作, 垂足为, 如图所示:因为 , 所以为等边三角形,因为为中点, 所以,又为等腰直角三角形,,所以 , 又,所以平面, 又平面,所以 ,因为 ,所以平面,即即为点到面的距离,因为在等边中,,在为等腰直角三角形中,,在中,由余弦定理可得,所以 ,在 Rt 中,,所以点到面的距离为.12. 【答案】A 【解析】由可知函数的图象关于点成中心对称,且 , 所以,,所以, 函数的周期为 2 ,由于函数为奇函数, 则, 则,作出函数与函数的图象如下图所示:, 则,于是得出 ,由图象可知, 函数与函数在区间上从左到右10个交点的横坐标分别为, 第11个交点的横坐标为 4 ,因此, 实数的取值范围是, 故选 A. 13. 【答案】90【解析】由题意知, 全校共有学生人数为1350人, 其中高二年级有450人, 设高二年级抽取的人数为人, 根据分层抽样按比例抽取可得,. 14.【答案】【解析】由题意知, , 因为,所以 ,由向量模的定义知,由平面向量数量积的夹角公式可得,故答案为: 15【答案】【解析】设 , 则,由题意可得,,故当时,.由不等式 , 可得, 或,求得 , 或,故答案为 . 16【答案】【解析】先利用同构变形得到 , 构造函数, 结合其单调性和求解的是的最小值, 考虑两种情况, 进行求解, 最终求得实数的最小值.因为 ,所以 ,即 ,构造函数所以令 , 解得:, 令, 解得:,故在上单调递减, 在上单调递增,当时,与1的大小不定,但当实数最小时, 只需考虑其为负数的情况, 此时因为当时,单调递减,故 ,两边取对数得: 令 , 则,令得:, 令得:,所以在单调递增, 在单调递减,所以故的最小值是. 17. 【答案】（1）（2）【解析】(1）, （1）（1）－（2）得 , 即是以 2 为首项, 2 为公比的等比数列,（2）由（1）得 , 18. 【答案】（1）;（2）. 【解析】（1）,即,又在斜三角形中,,所以 ,即，亦即，因为 , 所以.（2）在中,, 则,由正弦定理 , 得,故 ,.所以的周长为. 19. 【解析】（1）根据频率分布直方图可估计平均数为:（2）由频率分布直方图可知: 违章车次在的路口有 4 个, 记为; 违章车次在的路口有 2 个, 记为;从“重点关注路口”中随机抽取两个路口, 则有 ,, 共 15 种情况;其中有且仅有一个违章车次在的情况有, 共8种情况;所求概率.20. 【解析】（1）证明: 由（1）知 , 又 , 点为的中点,所以 , 因为,由线面垂直的判定知, 平面,又平面, 由面面垂直的判定定理知,平面平面.（2）解: 由（1）知平面,因为 ,所以在中由余弦定理可得,所以 , 又为的中位线,所以 ,所以 21. 【解析】（1）时,,则 , 令, 得,当时,在单调递减;当在单调递增;所以 ;（2）由题意知, 对任意恒成立,当时,恒成立等价于对任意恒成立,即对任意恒成立,令 , 则,所以当时,, 函数单调递减;当时,, 函数单调递增,所以当时函数有最小值为,所以此时的取值范围为,综上可知所求的取值范围为. 22. 【解析】（1）曲线的参数方程为(为参数),曲线的普通方程为,直线的参数方程为(为参数)直线的普通方程为;（2）由题可知 , 设,则 , 即所以可得点的轨迹方程为,即,令 ,点的轨迹的极坐标方程为. 23. 【解析】（1）当时,,, 或, 或, 或所以不等式的解集为;（2）因为依题意, , 有,则，解之得,故实数的取值范围是.