2022-2023学年湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试 数学（word版）

2022-2023学年湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试

数学试题

本试题共4页，四大题．全卷满分150分，考试用时120分钟．请将答案填涂在答题上．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1 已知复数满足，则复数（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 在中，“”是“为锐角三角形”的（    ）

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 已函数及其导函数定义域均为，且，，则关于的不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知，，且，则最小值为（    ）

A.  B.  C.  D. 5

6. 函数，方程有6个不同的实根，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 定义在上的函数满足，时，若的解集为，其中，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 随着越来越多的家庭选择自驾到公园游玩，公园停车位严重不足.如图所示，公园里有一块扇形空地，其半径为，，为弧的中点，要在其内接矩形（点、分别在半径、上，点、在弧上，且）上修建停车场，则停车场面积最大值为（单位：）（    ）

A.  B.  C.  D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 设为复数，，，则下列说法正确的是（    ）

A. 若，则的实部和虚部分别为和

B. 设为的共轭复数，则

C.

D. 若，，则在复平面内对应的点位于第一象限或第四象限

10. 已知数列的前项和满足，则下列说法正确的是（    ）

A. 是为等差数列的充要条件

B. 可能为等比数列

C. 若，，则为递增数列

D. 若，则中，，最大

11. 如图，中，，，与交于点，则下列说法正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

12. 函数和有相同的最大值，直线与两曲线和恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依次为，则下列说法正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分

13. 已知向量与不共线，且与共线，则___________．

14. 函数在上单调递增，则的最大值为__________．

15. 函数及其导函数定义域均为，且偶函数，记，也是偶函数，则___________．

16. 设，，是的三个内角，的外心为，内心为．且与共线．若，则___________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 函数的部分图象如图所示，其中轴．

（1）求函数的解析式；

（2）将的图像向右平移个单位，再向上平移2个单位得到的图像，求的值．

18. 已知数列满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

19. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知．

（1）求的取值范围；

（2）若是边上的一点，且，，求面积的最大值．

20. 已知函数，．

（1）若定义域为，值域为，求的值；

（2）若，且对任意，当，时，总满足，求的取值范围．

21. 已知函数．

（1）若，求在区间上的最小值；

（2）若有两个不同的极值点，（且），且不等式恒成立，求实数的取值范围．

22. 已知函数（为自然对数的底数）．

（1）证明：当时，；

（2）①证明：在区间内有4个零点；

②记①中的4个零点为，，，，且，求证：．

2022-2023学年度上学期高三年级期中检测

数学试题

本试题共4页，四大题．全卷满分150分，考试用时120分钟．请将答案填涂在答题上．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知复数满足，则复数（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

2. 集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

3. 在中，“”是“为锐角三角形”（    ）

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

4. 已函数及其导函数定义域均为，且，，则关于的不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

5. 已知，，且，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D. 5

【答案】C

6. 函数，方程有6个不同的实根，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

7. 定义在上的函数满足，时，若的解集为，其中，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

8. 随着越来越多的家庭选择自驾到公园游玩，公园停车位严重不足.如图所示，公园里有一块扇形空地，其半径为，，为弧的中点，要在其内接矩形（点、分别在半径、上，点、在弧上，且）上修建停车场，则停车场面积最大值为（单位：）（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 设为复数，，，则下列说法正确的是（    ）

A. 若，则的实部和虚部分别为和

B. 设为的共轭复数，则

C.

D. 若，，则在复平面内对应的点位于第一象限或第四象限

【答案】AB

10. 已知数列的前项和满足，则下列说法正确的是（    ）

A. 是为等差数列的充要条件

B. 可能为等比数列

C. 若，，则为递增数列

D. 若，则中，，最大

【答案】ABD

11. 如图，中，，，与交于点，则下列说法正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BCD

12. 函数和有相同的最大值，直线与两曲线和恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依次为，则下列说法正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分

13. 已知向量与不共线，且与共线，则___________．

【答案】

14. 函数在上单调递增，则的最大值为__________．

【答案】

15. 函数及其导函数定义域均为，且是偶函数，记，也是偶函数，则___________．

【答案】

16. 设，，是的三个内角，的外心为，内心为．且与共线．若，则___________．

【答案】2

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 函数部分图象如图所示，其中轴．

（1）求函数的解析式；

（2）将的图像向右平移个单位，再向上平移2个单位得到的图像，求的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据图象可求函数的对称方程及，故可求函数的解析式；

（2）根据图象平移可求的解析式，故可求的值.

【小问1详解】

由图象可得函数图象的一条对称轴为，

故，故，故，

而，故即

而，故，故.

【小问2详解】

将的图像向右平移个单位，再向上平移2个单位得到的图像，

故，

故

.

18. 已知数列满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据构造法得出数列是首项为1，公比为的等比数列即可；（2）根据错位相减求前前项和即可.

【小问1详解】

由题知，，

因为，

所以，

所以

因为，

所以数列是首项为1，公比为的等比数列，

所以，

所以.

【小问2详解】

由（1）得，

所以  ①，

  ②，

由①②错位相减得：

所以.

19. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知．

（1）求的取值范围；

（2）若是边上的一点，且，，求面积的最大值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先求出，再根据三角变换公式化简，利用余弦函数的性质可求其取值范围；

（2）根据题设可得，平方后利用基本不等式可求，故可求面积的最大值.

【小问1详解】

因为，故，

整理得到：即，

故，而为三角形内角，故，

所以，故，而为锐角三角形内角，故.

,

因为三角形为锐角三角形，故，故，

故，故，故.

【小问2详解】

由题设可得，故，

整理得到：，

故即，

整理得到：，

当且仅当时等号成立，故.

故三角形面积的最大值为.

20. 已知函数，．

（1）若的定义域为，值域为，求的值；

（2）若，且对任意的，当，时，总满足，求的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由定义域为，可得恒成立；由值域为可得，能取到内任意实数，即可得的值；

（2）对求导，根据导数的正负判断出在上单调递减，将问题转化为任意的，，令，，求导，利用求解即可．

【小问1详解】

解：因为的定义域为，

所以且，恒成立，则，又，所以

又因为值域为，

所以能取到内任意实数，所以

故；

【小问2详解】

解：因为，所以，

所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；

所以在上单调递减，

，

问题可转化为：任意的，恒成立，

令，，

，

所以在上单调递减，

所以，

所以，

则，解得，

故的取值范围为：．

21. 已知函数．

（1）若，求在区间上的最小值；

（2）若有两个不同的极值点，（且），且不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用导数研究在区间上的单调性，进而求得在区间上的最小值

（2）利用极值点建立的关系式，化简不等式，利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围.

【小问1详解】

，

当时，，

，

所以在区间递减；在区间递增.

所以在区间上的最小值为.

【小问2详解】

，，

由于有两个不同的极值点，且，

所以方程有两个不同的正根，

所以，解得且.

因为，所以且.

依题意，恒成立，

即，，，

，，

，，

，

当时，；当时，.

令，

①当时，，在上递增，，

所以当时，，

不符合题意.

②当时，令，

，当，即时，，在上递减，

，所以当时，，

则；

当时，，

则；

所以对任意恒成立.

当，即时，二次函数的开口向下，

对称轴为，且，

令，则当时，，即，

所以在上递增，，所以在上有，

不符合题意.

综上所述，取值范围是.

【点睛】利用导数研究不等式恒成立问题，可以考虑利用化归与转化的数学思想方法化简恒成立的不等式，将其转化为可以利用导数进行研究的形式.也可以考虑分离常数法，分离常数后利用构造函数法，结合导数来进行研究.

22. 已知函数（为自然对数的底数）．

（1）证明：当时，；

（2）①证明：在区间内有4个零点；

②记①中的4个零点为，，，，且，求证：．

【答案】（1）证明见解析   

（2）①证明见解析；②证明见解析

【解析】

【分析】（1）对函数求导，引入再求导，可得在是减函数，结合可得进而得是减函数，又根据单调性可得结论；

（2）①求出在有四个零点，把函数在区间划分为五个单调区间，进一步找到在有四个零点，又把函数在区间划分为五个单调区间，结合单调性以及零点存在性定理，可得在区间内有4个零点；

②根据函数表达式可求得，，把要证的不等式转化为证明成立，通过找点锁定均在区间内，而在是减函数，转化为证明即可，利用，可证，使得命题得证.

【小问1详解】

，设，则

，

因为，所以，所以单调递减，

又，所以，即，所以单调递减，又，所以；

【小问2详解】

①由（1）知，

令得，，，，且，单调递减，，单调递增，，单调递减，，单调递增，，单调递减，

又，，，，，，所以存，，，使，

且，，递减，，，递增，

，，递减，，，递增，

，，递减，

又，，，，，

所以，，，，

使，所以在上有4个零点．

②由①知，，又，所以，

，又，所以，

所以要证即证：，即证，

因为，，所以，

又，，所以，

所以，又因为，递减，

又，所以，

所以在单调递减，所以只需证，

又，

又，所以，

所以，

所以，所以．

【点睛】本题先考查了函数与导数基本概念和运算，利用导数判断单调性，对导函数进行二次求导判断单调性，结合端点函数值，推证作了深入考查，在判断四个零点以及证明不等式时，解题难度进一步增加，要求学生具有严密的逻辑推理能力，很强的直观想象能力，分层求导，由下及上是基本的解题环节，题目在知识层面，能力层面创新层面要求很高，区分度和选拔功能很强.