2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三上学期阶段性测试(三) 数学(word版)
展开哈三中2022—2023学年度上学期
高三阶段性测试数学试卷
考试时间:120分钟 试卷满分:150分
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.
2.作答时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题(共60分)
(一)单项选择题(共8小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1. 已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2. 已知向量,,若,则( )
A. B. C. D.
3. 已知,则( )
A. B. C. D.
4. 南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,高阶等差数列中前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列,其前7项分别为1,2,4,7,11,16,22,则该数列的第20项为( )
A. 172 B. 183 C. 191 D. 211
5. 在正方体中,为中点,过的截面与平面 的交线为,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6. 若函数()的值域是,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. 在中,角的对边分别为,若,,则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数的定义域为,且,为偶函数,若,,则的值为( )
A. 117 B. 118 C. 122 D. 123
(二)多项选择题(共4小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,部分选对得2分,有选错的得0分)
9. 已知是两条不同直线,是三个不同的平面,则下列说法不正确的是( )
A. 若,则 B. 若,则
C. 若,则 D. 若两两相交,则交线互相平行
10. 已知函数最小正周期为,则下列说法正确的是( )
A. 为的极小值点
B. 图象关于中心对称
C. 在上有且仅有5个零点
D. 的定义域为
11. 如图,在平行四边形中,,分别为的中点,沿将折起到的位置(不在平面上),在折起过程中,下列说法不正确的是( )
A. 若是的中点,则平面
B. 存在某位置,使
C. 当二面角为直二面角时,三棱锥外接球的表面积为
D. 直线和平面所成的角的最大值为
12. 已知函数,则下列说法正确的是( )
A. 若恒成立,则
B. 当时,的零点只有个
C. 若函数有两个不同的零点,则
D. 当时,若不等式恒成立,则正数的取值范围是
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 等比数列中,,,则_________.
14. 已知,且,则的最小值是__________.
15. 在中,,,与交于点,若,则的值为__________.
16. 在三棱锥中,二面角和的大小都为,,,,则三棱锥的外接球与内切球的表面积的比值为__________.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在中,设角的对边分别为,且.
(1)求;
(2)求角的最大值.
18. 如图,在四棱锥中,底面是梯形,,,,侧面底面,,为中点.
(1)求证:平面;
(2)求直线和平面所成角的正弦值.
19. 已知等比数列的公比,且,是,的等差中项,数列满足:数列的前项和为.
(1)求数列、通项公式;
(2)若,,求数列的前项和.
20. 如图,经过村庄A有两条夹角为公路,,根据规划,在两条公路之间的区域内建一工厂,分别在两条公路边上建两个仓库,(异于村庄),要求(单位:).
(1)当时,求线段的长度;
(2)设,当取何值时,工厂产生的噪音对居民的影响最小?(即工厂与村庄的距离最远)
21. 如图,在三棱柱中,为等边三角形,四边形为菱形,,,.
(1)求证:;
(2)线段上是否存在一点,使得平面与平面的夹角的余弦值为?若存在,求出点的位置;若不存在,请说明理由.
22. 已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数有且只有一个零点,求实数的取值范围;
(3),关于的不等式恒成立,求正实数的取值范围.
哈三中2022—2023学年度上学期
高三阶段性测试数学试卷
考试时间:120分钟 试卷满分:150分
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.
2.作答时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题(共60分)
(一)单项选择题(共8小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1. 已知集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
2. 已知向量,,若,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
3. 已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
4. 南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,高阶等差数列中前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列,其前7项分别为1,2,4,7,11,16,22,则该数列的第20项为( )
A. 172 B. 183 C. 191 D. 211
【答案】C
5. 在正方体中,为中点,过的截面与平面 的交线为,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
6. 若函数()的值域是,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
7. 在中,角的对边分别为,若,,则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
8. 已知函数的定义域为,且,为偶函数,若,,则的值为( )
A. 117 B. 118 C. 122 D. 123
【答案】C
(二)多项选择题(共4小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,部分选对得2分,有选错的得0分)
9. 已知是两条不同的直线,是三个不同的平面,则下列说法不正确的是( )
A. 若,则 B. 若,则
C. 若,则 D. 若两两相交,则交线互相平行
【答案】BCD
10. 已知函数最小正周期为,则下列说法正确的是( )
A. 为的极小值点
B. 的图象关于中心对称
C. 在上有且仅有5个零点
D. 的定义域为
【答案】ACD
11. 如图,在平行四边形中,,分别为的中点,沿将折起到的位置(不在平面上),在折起过程中,下列说法不正确的是( )
A. 若是的中点,则平面
B. 存在某位置,使
C. 当二面角为直二面角时,三棱锥外接球的表面积为
D. 直线和平面所成的角的最大值为
【答案】ABD
12. 已知函数,则下列说法正确的是( )
A. 若恒成立,则
B. 当时,的零点只有个
C. 若函数有两个不同的零点,则
D. 当时,若不等式恒成立,则正数的取值范围是
【答案】BC
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 等比数列中,,,则_________.
【答案】
14. 已知,且,则的最小值是__________.
【答案】
15. 在中,,,与交于点,若,则的值为__________.
【答案】
16. 在三棱锥中,二面角和的大小都为,,,,则三棱锥的外接球与内切球的表面积的比值为__________.
【答案】
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在中,设角的对边分别为,且.
(1)求;
(2)求角的最大值.
【答案】(1);
(2).
【解析】
【分析】(1)根据同角的三角函数关系式,结合正弦定理和余弦定理进行求解即可;
(2)根据余弦定理,结合基本不等式进行求解即可.
【小问1详解】
由,
由正弦定理可得:,
由余弦定理可知:;
【小问2详解】
由(1)可知:,
当且仅当时取等号,
由余弦定理可知:,
因为,所以,因此角的最大值为.
18. 如图,在四棱锥中,底面是梯形,,,,侧面底面,,为中点.
(1)求证:平面;
(2)求直线和平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明过程见详解
(2)
【解析】
【分析】(1)利用线面平行判定定理作辅助线证明.
(2)通过面面垂直的性质作辅助线证明线面垂直,再建立直角坐标系,求直线的方向向量和平面的法向量,再利用公式求线面角的正弦值.
【小问1详解】
取中点,连接.
为中点
又 四边形为平行四边形
平面,平面
平面
【小问2详解】
取中点,因为中,,所以
又因为侧面底面,平面平面,平面
所以平面 因为,所以
如图,以点为原点,所在直线分别为轴,过点作的平行线为轴建立空间直角坐标系.
则,,设平面法向量为,
则,令,得
设直线和平面所成角为,则.
19. 已知等比数列的公比,且,是,的等差中项,数列满足:数列的前项和为.
(1)求数列、的通项公式;
(2)若,,求数列的前项和.
【答案】(1),;,
(2),.
【解析】
【分析】对于(1),设首项为,公比为.由,是,的等差中项可得通项公式.设的前项和为,则,据此可得通项公式;
对于(2),由(1)可得,注意到,据此可得.
【小问1详解】
设首项为,公比为.由,是,的等差中项可得,
两式相除得,又,得.
将代入,得,故,.
设的前项和为,则,
得,.又
则,结合,得,.
综上:通项公式为,,通项公式为,.
【小问2详解】
由(1)可得,,.
则,.
注意到,
则
,.
故,.
【点睛】关键点点睛:本题涉及求数列通项公式及裂项法求和,需注意以下几点:
(1)求等比数列通项公式时,常巧用上下同除达到消元目的.
(2)能发现(2)问中裂项式,是注意到这一恒等式.
20. 如图,经过村庄A有两条夹角为的公路,,根据规划,在两条公路之间的区域内建一工厂,分别在两条公路边上建两个仓库,(异于村庄),要求(单位:).
(1)当时,求线段的长度;
(2)设,当取何值时,工厂产生的噪音对居民的影响最小?(即工厂与村庄的距离最远)
【答案】(1);
(2).
【解析】
【分析】(1)在中求得,然后在中由勾股定理求得;
(2)在中由正弦定理求得,然后在中由余弦定理求得,再利用三角函数恒等变换,结合正弦函数性质得最大值.
【小问1详解】
,,则,又,
∴,,,
∴;
【小问2详解】
,则,
由正弦定理得,
由余弦定理得
,
由三角形知,,
当且仅当,即时,取得最大值3,工厂产生的噪音对居民的影响最小.
21. 如图,在三棱柱中,为等边三角形,四边形为菱形,,,.
(1)求证:;
(2)线段上是否存在一点,使得平面与平面的夹角的余弦值为?若存在,求出点的位置;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)点存在,.
【解析】
【分析】(1)连接与相交于点,连接, 证明平面,可得,再利用已知条件证明平面,可证得.
(2)建立空间直角坐标系,设出点坐标,利用法向量表示平面与平面的夹角的余弦,求出点坐标.
【小问1详解】
连接与相交于点,连接,如图所示:
四边形为菱形,∴为的中点,有,
为等边三角形,有,
平面,,∴平面,
平面,∴,
四边形为菱形,∴,
平面,,
平面,平面,∴
【小问2详解】
分别为的中点,连接,
由(1)可知,又,
平面,,平面,
,平面,
为等边三角形,,
以为原点,,,的方向分别为轴、轴、轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
由,,∴,,
设,则,有,
∴,,,
设平面的一个法向量,则有,
令,则,,即,
平面的一个法向量为的方向上的单位向量,
若平面与平面的夹角的余弦值为,则有,
,由,∴,解得.
所以,点存在, .
22. 已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数有且只有一个零点,求实数的取值范围;
(3),关于的不等式恒成立,求正实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析.
(2);
(3).
【解析】
【分析】(1)求出导函数分类讨论确定的正负得单调性;
(2)由(1)的单调性,结合零点存在定理确定零点个数,从而得参数范围;
(3)不等式分离参数得,右边引入新函数,由导数求得新函数的最大值后可得参数的范围.
【小问1详解】
,
时,恒成立,在上是增函数,
时,时,,减函数,时,,是增函数,
综上,时,在R上是增函数,时,在上是减函数,在上是增函数;
【小问2详解】
,
由(1)时,只有一个零点,
时,若时,则由在上递减得,显然足够大时,,因此在上还有一个零点,不合题意;
时,由(1)知是极小值也是最小值,函数只有一个零点,此时;
时,在上递增,有一个零点,因此,
此时,时,,因此在上也有一个零点,不合题意,
综上,的取值范围是;
【小问3详解】
不等式即为,又,
所以恒成立,
设,,
则,
由(1)知,从而,且时,,
所以时,,递增,时,,递减,
所以时,,
所以,.
【点睛】方法点睛:用导数研究不等式恒成立问题,一般有两种方法:
(1)直接由不等式引入函数,利用导数求得函数的最值,然后由最值满足的不等关系求得参数;
(2)分离参数后,引入新函数,由导数得新函数的最值,然后可得参数范围.
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2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高一上学期第一次阶段性考试数学试题(解析版): 这是一份2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高一上学期第一次阶段性考试数学试题(解析版),共14页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。