2022-2023学年福建省福州市仓山区高三上学期12月质检数学试题（word版）

这是一份2022-2023学年福建省福州市仓山区高三上学期12月质检数学试题（word版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
福州市仓山区2022-2023学年高三上学期12月质检数学考试时间：120分钟    总分：150分一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上.）1.集合，，则（    ）A. B. C. D.2.已知复数满足，则在复平面内复数对应的点在（    ）A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限3.已知向量，，若，则（    ）A. B.1 C. D.4.已知，，且，则的最小值为（    ）A. B. C. D.55.已知，则（    ）A. B. C. D.6.已函数及其导函数定义域均为，且，，则关于的不等式的解集为（    ）A. B. C. D.7.棱长为2的正方体内有一个内切球，过正方体中两条异面直线，的中点，作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（    ）A. B. C. D.18.已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，为坐标原点，点为双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率的取值范围为（    ）A. B. C. D.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.下列命题中，正确的命题有（    ）A.已知随机变量服从正态分布且，则B.设随机变量，则C.在抛骰子试验中，事件，事件，则D.在线性回归模型中，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，越接近于1，表示回归的效果越好10.已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）A.的图象关于点对称B.的图象向右平移个单位后得到的图象C.在区间上单调递增D.为偶函数11.如图，正方体的梭长为1，点是线段的中点，点是正方形所在平面内一动点，下列说法正确的是（    ）A.若点是线段的中点，则B.若点是线段的中点，则平面C.若平面，则点轨迹在正方形内的长度为D.若点到的距离与到的距离相等，则点轨迹是抛物线12.已知函数和，有相同的极小值，若存在，使得成立，则（    ）A.B.C.当时，D.当时，若的所有根记为，，，，且，则三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.的展开式中常数项是___________（用数字作答）.14.已知为抛物线上的一个动点，为圆上的一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和的最小值是______.15.若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线重合，则_____________.16.2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程若第1个图中的三角形的周长为1，则第个图形的周长为___________；若第1个图中的三角形的面积为1，则第个图形的面积为___________.四、解答题（本大题共有6个小题，共70分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）17.已知数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18.在中，角，，所对的边分别为，，，且，.（1）求的值；（2）若平分，且交于点，，求的面积.19.如图，四棱柱中，平面平面，底面为菱形，与交于点，，.（1）求证：平面；（2）线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值是？若存在，求出；若不存在，说明理由.20.足球是一项大众喜爱的运动.2022卡塔尔世界杯揭幕战在2022年11月21日打响，决赛定于12月18日晚进行，全程为期28天.（1）为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到列联表如下： 喜爱足球运动不喜爱足球运动合计男性6040100女性2080100合计80120200依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关?（2）校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即.（i）求（直接写出结果即可）；（ii）证明：数列为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小.21.如图所示，已知椭圆与直线.点在直线上，由点引椭圆的两条切线、，、为切点，是坐标原点.（1）若点为直线与轴的交点，求的面积；（2）若，为垂足，求证：存在定点，使得为定值.22.已知函数在区间内存在极值点.（1）求实数的取值范围；（2）求证：在区间内存在唯一的，使，并比较与的大小.   参考答案：一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.12345678CBACBBCA二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9101112BDBDBCDACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.240 14.  15.0 16.、四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【答案】（1）；（2）【分析】（1）由递推公式，再递推一步，得，两式相减化简得，可以判断数列是等差数列，进而可以求出等差数列的通项公式；（2）根据（1）和对数的运算性质，用裂项相消法可以求出数列的前项和.【详解】解：（1）由知所以，即，从而所以，数列是以2为公比的等比数列又可得，综上所述，故（2）由（1）可知，故，综上所述，所以，，故而所以.18.【答案】（1） （2）【分析】（1）将代入已知条件，在利用正弦定理及两角和的正弦公式即可解决问题（2）设，利用等面积法求出的值，然后代入公式即可.【详解】（1）由正弦定理得，由正弦定理得.（2）设，因为，平分，所以，因为，，，所以，因为，所以，所以，所以的面积.19.【答案】（1）证明见解析 （2）存在；【分析】（1）由条件证明，根据面面垂直性质定理可证平面；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求与平面所成角的正弦值，由此可求.（1）∵，，∴，又是中点∴∵平面平面，平面平面，平面，∴平面（2）∵底面是菱形，∴以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系.则，，，，.又，所以,∴，，,设平面的法向量是，∴，令，则，假设线段上存在点，且，∴，∴，∴，平方整理得：，∴或（舍）.∴时，即存在点是中点时，与平面所成角的正弦值是.20.【答案】（1）喜爱足球运动与性别有关（2）（i）；（ii）证明见解析，甲的概率大【分析】（1）计算出卡方，与10.828比较得到结论；（2）（i）根据传球的等可能性推出，（ii）推导出，构造出等比数列，求出，得到，，比较出大小.【详解】（1）假设：喜爱足球运动与性别独立，即喜爱足球运动与性别无关.根据列联表数据，经计算得根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为喜爱足球运动与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.001. （2）（i）由题意得：第二次触球者为乙，丙，丁中的一个，第二次触球者传给包括甲的三人中的一人，故传给甲的概率为，故.（ii）第次触球者是甲的概率记为，则当时，第次触球者是甲的概率为，第次触球者不是甲的概率为，则，从而，又，∴是以为首项，公比为的等比数列.则，∴，，，故第19次触球者是甲的概率大.21.【答案】（1）4；（2）证明见解析.【分析】（1）可得点，设切线方程为，将切线方程与椭圆方程联立，由判别式为零可求得的值，可知，求出两切点的坐标，可得出、，利用三角形的面积公式可求得结果；（2）设、，可得出切线、的方程，设点，求出直线的方程，可得出直线过定点，由结合直角三角形的几何性质可得出结论.【详解】（1）解：由题意知，过点与椭圆相切的直线斜率存在，设切线方程为，联立，可得，（*）由，可得，即切线方程为，所以，，将代入方程（*）可得，可得，此时，不妨设点，同理可得点，，因此，.（2）证明：先证明出椭圆在其上一点处的切线方程为，因为点在椭圆上，则，联立，消去可得，整理得，即，解得，因此，椭圆在其上一点处的切线方程为.设、，则切线的方程为，切线的方程为.设，则，所以，点、的坐标满足方程所以，直线的方程为，因为点在直线上，则，则，所以，直线的方程可表示为，即，由，可得，故直线过定点，因为，所以，点在以为直径的圆上，当点为线段的中点时，，此时点的坐标为.故存在点，是的为定值.22.（1）（2）证明见解析，【分析】（1）由题设知可得，利用导数研究在上的单调性，即可求的取值范围，注意验证所得是否符合题设；（2）将问题转化为在上存在唯一零点，利用导数研究的单调性，结合零点存在性定理判断零点的存在性及个数，即可证结论；根据在的单调性及且，只需判断的符号，即可判断与的大小.（1）由题设，，又，则且，∴，即在上递增，故，当时，在上，即递增，又，，∴上，上，则在上递减，在上递增，∴在处取极小值，符合题设.∴.（2）要证在内存在唯一的使，只需证在上有唯一零点，∴，由（1）知：在上递减，在上递增，又时，，即在上递增，综上，在上递减，在上递增，而，，∴在无零点，在上存在一个零点，故存在唯一使.由（1）知：，∴，令且，则，令，则，则递增，∴，即，故在上递增，则，∴在有，即有，又在上递增且，，∴.