2023届山西省吕梁市高三上学期阶段性测试数学试题（解析版）

这是一份2023届山西省吕梁市高三上学期阶段性测试数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届山西省吕梁市高三上学期阶段性测试数学试题 一、单选题1．已知集合，，则为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】解出不等式，然后根据集合的并集运算可得答案.【详解】因为，，所以，故选：D2．已知，则在复平面内，复数所对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】先利用复数的除法和乘方化简复数z，进而可得，再利用复数的几何意义即得.【详解】因为，∴，所以复数对应的点在第三象限．故选：C.3．已知等比数列的前项和为，且，则“数列递增”是“数列递增”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】从“数列递增”和“数列递增”两方面作为条件分别证明结论是否成立即可.【详解】因为，且数列递增，所以，因此，所以数列递增，所以“数列递增”是“数列递增”的充分条件；若数列递增，则，所以，又，所以对成立，即，则，但是的符号不确定，所以数列不一定递增，所以“数列递增”是“数列递增”的不必要条件；因此“数列递增”是“数列递增”的充分不必要条件.故选：A4．已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】考虑和，三种情况，根据二次函数的对称轴计算得到答案.【详解】当时，区间单调递减，满足条件；当时，的对称轴为，时，由在区间单调递减，可得，解得，时，由在区间单调递减，可得，解得，所以a的取值范围为．故选：A5．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据对数函数的性质及幂函数的性质即得.【详解】因为，，所以，即，又，，所以，所以.故选：D.6．已知函数，若是的最小值，则实数a的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】当时可得函数单调递减，进而可得，再求得在时的范围，然后结合条件即得．【详解】当时，，因为是的最小值，所以单调递减，即，也就是说，当时，恒成立，所以；当时，，所以，即，综上，.故选：C．7．习近平总书记在党的二十大报告中提出：坚持以人民为中心发展教育，加快建设高质量教育体系，发展素质教育，促进教育公平，加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化．某师范大学学生会为贯彻党的二十大精神，成立“送教下乡志愿者服务社”，分期分批派遣大四学生赴乡村支教．原计划第一批派遣20名学生，以后每批都比上一批增加5人．由于志愿者人数暴涨，服务社临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为，在数列的任意相邻两项与（，2，）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列．按新数列的各项依次派遣支教学生．记为派遣了70批学生后支教学生的总数，则的值为（    ）A．387 B．388 C．389 D．390【答案】A【分析】由题可得，然后根据条件可得数列的前70项含有前6项和64个3，进而即得.【详解】∵数列满足，∴，，，，，，∵在任意相邻两项与（，2，）之间插入个3，∴其中，之间插入2个3，，之间插入4个3，，之间插入8个3，，之间插入16个3，，之间插入32个3，，之间插入64个3，又，，∴数列的前70项含有前6项和64个3，故．故选：A.8．如图，在中，O为线段BC上一点，且，G为线段AO的中点，过点G的直线分别交直线AB，AC于D，E两点，，，则的最小值为（    ）A． B． C． D．2【答案】C【分析】根据向量的线性运算的几何表示及向量共线可得，然后利用基本不等式即得.【详解】因为，所以，即，又因为G为线段AO的中点，所以，因为，，所以，因为D、G、E三点共线，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号．故选：C. 二、多选题9．已知复数z满足，则（    ）A．复数z虚部的最大值为2B．复数z实部的取值范围是C．的最小值为1D．复数z在复平面内对应的点位于第一、三、四象限【答案】ABC【分析】根据题意得复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，再依次讨论求解即可.【详解】解：满足的复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，如图，由图可知，虚部最大的复数，即复数z虚部的最大值为2．A正确；实部最小的复数，实部最大的复数，所以实部的取值范围是，B正确；表示复数在复平面内对应点到的距离，所以的最小值为，C正确；由图可知，复数在复平面内对应点位于第一、二、三、四象限，故D错误． 故选：ABC 10．已知函数的部分图象如图所示，则（    ）A．函数的最小正周期为πB．点是曲线的对称中心C．函数在区间内单调递增D．函数在区间内有两个最值点【答案】AC【分析】由题可得，可得函数，然后根据三角函数的性质逐项分析即得.【详解】由图可知，所以，又，所以，所以，，，得，，又，得，所以，所以，所以函数的周期为，A正确；由，得，，，取得，，对称中心为，取得，，对称中心为，所以点不是曲线的对称中心，B错误；由，得，，，当时，，函数在区间内单调递增，C正确；由，可得，，取得，为函数的最值点，所以区间内有一个最值点，D错误.故选：AC．11．已知数列满足，，若的前n项和为．则下列说法正确的是（    ）A． B．C．数列是递增数列 D．是数列的最小项【答案】BCD【分析】由递推公式得到，即可得到数列是以4为首项，为公比的等比数列，从而求出的通项公式，再利用分组求和法求出，即可A、B，再利用作差法判断数列的增减性，即可判断C、D.【详解】解：数列满足，得，又，∴，故数列是以4为首项，为公比的等比数列，∴，，∴所以，故B正确；，故A不正确；因为所以当时，；当时，；当时，．即所以数列的最小项为，，故D正确．从第三项起，数列是递增数列，故C正确．故选：BCD12．已知定义域为R的函数满足，，，，则（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据抽象等式，变形得到函数的奇偶性和周期性，根据函数的性质，依次判断选项.【详解】等式中的x都换成，得，所以函数的周期为2．等式中的x都换成，得，又，所以，所以为周期为2的奇函数，所以，A正确；中取得，，B正确；根据周期为2，可知，C错；，D正确.故选：ABD． 三、填空题13．已知向量在向量上的投影向量为，则向量______．（答案不唯一，写出一个即可）【答案】（答案不唯一）【分析】解法一：根据投影向量的定义，再转化为数量积的坐标表示，即可化简求解；解法二：由，代入坐标运算，化简求解.【详解】解法一：设，因为，所以，即，取，，∴是满足题意的一个向量．解法二：设由题知：，所以取，，∴是满足题意的一个向量．    故答案为：（答案不唯一）14．在等差数列中，若，则______．【答案】1【分析】根据等差数列的性质求得，由此求得正确答案.【详解】由等差数列的性质可知，则，解得，∴.故答案为：15．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则______．【答案】3【分析】根据正余弦定理及同角关系式结合条件即得；或作于D，结合条件及三角函数的概念即得.【详解】方法一：由余弦定理可得，所以，所以，即由正弦定理得，又，所以，即，又且为三角形内角，， 所以；方法二：因为所以；方法三：作于D，设，，，则有，所以，即，，所以，所以．故答案为：3.16．设O为的外心，且满足，，下列结论中正确的序号为______．①；②；③．【答案】①③【分析】根据题意得到，变形得到，平方计算得到①正确，变形得到，平方得到，②不正确，变换得到，平方得到，计算得到，得到③正确，得到答案.【详解】由题意可知：．①，则，两边同时平方得到：，解得：，故①正确．②，则，，两边再平方得到：．所以|，所以②不正确．③，，两边平方得到：，，，同理可得：，，，．故，，且，，，即．故③正确．故答案为：①③ 四、解答题17．今年国庆期间某地发生了省外输入病例引发的新冠疼情，为切实保障人民群众的身体健康，政府果断采取了静默管理措施．静默期间，为保障人民群众生活物资供应，该地成立了蔬菜中转厂，通过向农场购买蔬菜进行储存，再投放市场，来缓解市场蔬菜紧张压力．为防止蔬菜积压，某蔬菜中转厂每日进货的蔬菜量最多不超过10吨，由于受运输、存储等因素影响，蔬菜每日都有一定损耗，且日损耗率p与日进货量x（吨）之间近似地满足关系式(日损耗率)，已知每售出一吨蔬菜可盈利1千元，而每损耗一吨蔬菜亏损3.8千元．假定每日所进蔬菜除损耗外均可售出．(1)将该蔬菜中转厂的日利润y（千元）表示成日进货量x（吨）的函数；（日利润日盈利额-日损耗额）．(2)当该蔬菜中转厂的日进货量为多少吨时，日利润最大？最大日利润是几千元？【答案】(1)(2)当该蔬菜中转厂的日进货量为5吨时，日利润最大，最大日利润是2千元． 【分析】（1）根据日利润日盈利额-日损耗额，求得的解析式.（2）利用导数求得日利润的最大值以及此时的进货量.【详解】（1）依题意得，．（2），，令．当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，∴当时，函数取得最大值为，∴当该蔬菜中转厂的日进货量为5吨时，日利润最大，最大日利润是2千元18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．(1)求的值；(2)若，的面积，求．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据三角恒等变形得到等式左边为，右边为，化简得到答案.（2）化简得到，得到，根据余弦定理得到，根据面积公式得到，计算得到答案.【详解】（1），，所以．（2），所以，，，所以，，所以，即．由余弦定理得，即，所以，又，所以．所以，解得，所以．19．已知函数的图象与x轴正半轴交于点A，函数的图象在点A处的切线为l，l在y轴上的截距记为．(1)求数列的通项公式；(2)设，求证（且）．【答案】(1);(2)证明见解析 【分析】（1）根据条件求出点A坐标.求出导函数，根据导数的几何意义，表示出切线l的方程，即可得到；（2）易求.对该式放缩，可得时，，裂项可得，又，代入式子加起来即可证明.【详解】（1）由题意，令，解得，又A在x轴正半轴，故，，故切线斜率，l：，令，，所以l在y轴上的截距．（2）证明：由题意．故，又对且时，，所以，得证．20．函数．(1)当时，求函数的极值；(2)已知直线是曲线的切线，求a的值．【答案】(1)极小值，无极大值(2)2 【分析】（1）求导得到导函数，确定函数的单调区间，计算得到极值.（2）设直线与曲线相切于点，代入函数和导函数得到，根据函数的单调性结合验证得到，代入计算即可.【详解】（1），，由得，或（舍去）．当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以时，取到极小值，无极大值．（2）设直线与曲线相切于点，则．即，消去a得，，易知函数在上为增函数，又当时，，所以方程有唯一解，代入得，．21．现有半径为30m，圆心角为的扇形空地OPQ，需要在此空地内修建一形状为平行四边形的体育活动场地ABCD，其中点D在半径OQ上，点A，B在半径OP上，点C为弧PQ上的动点（如图所示），设．(1)用θ表示四边形ABCD的面积S；(2)求S的最大值．【答案】(1)(2)m2． 【分析】（1）利用，结合三角恒等变换求得的表达式.（2）结合三角函数最值的求法求得的最大值.【详解】（1）作于点E，作于点F，则矩形CDEF的面积等于平行四边形ABCD的面积．，，在中，，所以．所以矩形CDEF的面积即平行四边形ABCD的面积，.（2）由（1）得，因为，所以，当，即时，，所以平行四边形ABCD的面积最大为m2．22．已知函数．证明：(1)在区间内存在唯一极大值点；(2)有且仅有唯一零点．（参考数据：．）【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【分析】（1）由题可得函数在区间单调递减，根据零点存在定理及导数与函数的极值的关系即得；（2）分，，，讨论，利用导数研究函数的性质结合零点存在定理即得.【详解】（1）由题可得，设，则，当时，，在区间单调递减，又因为，，由函数零点存在定理，在区间存在唯一零点，当时，，当时，，所以函数在区间存在唯一极大值点；（2）（ⅰ）由（1）当时，，单调递增，，，所以在区间上有唯一零点；（ⅱ）当时，，单调递减，，所以，在区间内不存在零点；（ⅲ）当时，，所以在区间内不存在零点；（ⅳ）下面证明：当时，，因为，令，，则，所以，所以在上单调递增，又，，所以在区间内存在唯一零点，当时，，单调递减；当时，，单调递增，又，，所以，即在区间内，恒成立，即在区间内单调递减，，所以当时，，在区间内不存在零点；综上，有且仅有唯一零点．【点睛】利用导数研究零点问题：（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；（3）利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数硏究.