2023届四川省部分学校高三上学期12月大联考数学（理）试题（解析版）

这是一份2023届四川省部分学校高三上学期12月大联考数学（理）试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届四川省部分学校高三上学期12月大联考数学（理）试题 一、单选题1．设，则（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】结合复数乘法以及复数相等的知识求得正确答案.【详解】依题意，即，所以，即.故选：C2．已知数列满足，且，则（    ）A．18 B．10 C．8 D．5【答案】A【分析】根据递推公式及可求出结果.【详解】因为，，所以，，.故选：A3．已知集合，，若，则a的取值集合是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出集合，再根据，，分别来求出的值即可.【详解】,，当，即时，符合；当时，，得；当时，，得；则a的取值集合是故选：C4．若，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用诱导公式将化为，两边平方并利用二倍角的正弦公式可求出结果.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以.故选：B5．某篮球运动员练习罚篮，共20组，每组50次，每组命中球数如下表：命中球数4647484950频数24464 则这组数据的中位数和众数分别为（    ）A．48，4 B．48.5，4 C．48，49 D．48.5，49【答案】D【分析】根据中位数和众数的定义即可求解.【详解】数据总个数为20个，因此中位数是第10个与第11个数据的中位数，即，众数为出现最多的数据，即数据49（出现6次），故选：D.6．明朝朱载培发现的十二平均律，又称“十二等程律”，是世界上通用的一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的波长之比完全相同.若已知应钟、大吕、夹钟、仲吕的波长成等比数列，且应钟和仲吕的波长分别是，，则大吕和夹钟的波长之和为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】等比数列第一和第四项用通项公式可求出公比，进而求出第二和第三项可得答案.【详解】故选：C7．已知，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用对数函数的单调性得到，根据指数函数的单调性得到，由此可得答案.【详解】因为，，所以，因为，，所以.故选：D8．在中，，分别在，上，且，，，交于点，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】过点作的平行线，根据线线平行可得三角形相似，进而得到的长度之比.【详解】如图，过点作的平行线交于在中，为中位线，又在中，所以故选：A9．盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒子.已知某盲盒产品共有3种玩偶，小明购买4个盲盒，则他能集齐3种玩偶的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用列举法和古典概型的概率公式可求出结果.【详解】记3种玩偶分别为，小明购买4个盲盒，4个盲盒包含的玩偶有:，，，，，，，，，，，，，，，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,, ,,,,,,, ,,,,, ,,,,,,, ,,,,, ,,,,,所以基本事件总数为种，其中他能集齐3种玩偶的有种，所以他能集齐3种玩偶的概率是.故选：B10．已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，成立，当时，，若对任意的，都有，则的最大值是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函数在区间、上的值域，然后在时解不等式，根据题意可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围，即可得解.【详解】令，其中，则，所以，函数为偶函数，当时，，则当时，，则，当时，，则，当时，由可得或，当时，，由可得，解得.故选：A.11．设数列的前n项和为，，，且，则的最大值是（    ）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】将化为，可得，，解不等式组求出，可得结果.【详解】当时，由，得，因为，所以，所以，所以，又满足上式，所以，所以，所以，设为数列中的最大项，则，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以的最大值是.故选：C12．已知定义在上的函数的导函数为，对任意的x满足.若，且关于x的方程有2个不同的实根，则a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由及，求出，将关于x的方程有2个不同的实根，转化为函数的图象与直线有两个不同的交点，画出函数的草图，结合图象列式可求出结果.【详解】由，得，得，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，恒成立，又，所以的草图如图：因为关于x的方程有2个不同的实根，所以函数的图象与直线有两个不同的交点，由图可知，，得.故选：B【点睛】关键点睛：将关于x的方程有2个不同的实根，转化为函数的图象与直线有两个不同的交点，作出函数图象，利用图象求解是解题关键. 二、填空题13．若函数的值域是，则______.【答案】【分析】根据二次函数的值域列式可求出结果.【详解】因为函数的值域是，所以，解得.故答案为：.14．的展开式中的系数为_________.【答案】60【分析】先求出展开式通项，令的指数为3即可求出.【详解】的展开式通项为，令，解得，所以展开式中的系数为.故答案为：60.15．已知函数，则曲线经过点的切线方程是______．【答案】或.【分析】设切点，然后求导函数，进而得到该点处的切线方程，再代入点即可.【详解】设切点为对求导得：，切线方程为：，切线过，解之：或1，所以斜率或，又过，代入点斜式得切线方程为：或，故答案为：或.16．已知函数在上恰有3个零点.给出下列4个结论：①，②在上单调递减，③在上恰有2个极值点，④函数在上最多有3个零点.其中所有正确结论的序号是______.【答案】②④【分析】对于①：根据零点个数列不等式求的范围；对于②：求出范围，再根据函数来判断来判断；对于③：求出极值点，再根据的取值逐一验证；对于④：求出零点，再根据的取值逐一验证.【详解】对于①：，则因为函数在上恰有3个零点，解得，①错误；对于②：当时，加上，有，函数在上单调递减，故在上单调递减，②正确；对于③：令，得，当时，，当时，当时，，当，，故在上可能有3个极值点，故③错误；对于④：，则，，，当时，函数在上有2个零点；当时，函数在上有1个零点；当时，函数在上有2个零点；当时，函数在上有3个零点；故函数在上最多有3个零点，故④正确故答案为：②④ 三、解答题17．在中，角，，的对边分别为，，，且．(1)求的值；(2)若，的面积是，求的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理、两角和的正弦公式、诱导公式等知识化简已知条件，从而求得的值.（2）先求得，利用三角形的面积公式求得，再利用余弦定理求得.【详解】（1）依题意，，由正弦定理得，，所以，由于，所以，所以，则．（2）由（1）得，所以，由解得，由于，所以，由余弦定理得.18．现在养宠物已经成为一件再正常不过的事情了，尤其是对某些人来说，养宠物是他们生活中非常重要的一件事情，他们还将自己的宠物当成是家人.某机构随机抽取了100名养宠物的人，对他们养宠物的原因进行了调查，根据调查结果，得到如下表数据： 喜欢其他合计男102030女403070合计5050100 (1)根据表中调查数据，判断是否有95%的把握认为是否是因为喜欢宠物而养宠物与性别有关.(2)若从这100人中，按性别采用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记抽到的男性人数为X，求X的分布列与期望.参考公式：，其中.参考数据：0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828  【答案】(1)有95%的把握(2)分布列见解析， 【分析】（1）直接根据的公式计算即可判断；（2）先确定这10人中，男性3人，女性7人，再通过超几何分布的概率公式求解分布列，进而可求出期望.【详解】（1）由已知，故有95%的把握认为是否是因为喜欢宠物而养宠物与性别有关.（2）若从这100人中，按性别采用分层抽样的方法抽取10人，则这10人中，男性3人，女性7人，随机抽取4人，则X的可能取值有，，，，，则X的分布列为0123 则.19．如图，在梯形中，，，，将沿边翻折，使点翻折到点，且．(1)证明：平面．(2)若为线段的中点，求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）利用线面垂直判定定理去证明平面；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法去求二面角的余弦值．【详解】（1）等腰梯形中，，，，则则，∴又由，可知又，面，面故面（2）过点C作平面，以C为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系则，，，，则，设面法向量为则，则，令，则，，则又面一个法向量为故二面角的余弦值为20．已知椭圆C：与椭圆的离心率相同，为椭圆C上一点.(1)求椭圆C的方程.(2)若过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试问以AB为直径的圆是否经过定点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在的坐标为，理由见解析 【分析】（1）先求出椭圆的离心率为，由此得到，将点的坐标代入椭圆，得到，再代入，解得，，则可得结果；（2）先用两个特殊圆求出交点，再猜想以AB为直径的圆经过定点，再证明猜想，设直线，并与联立，利用韦达定理得到，，进一步得到，，利用，，，证明即可.【详解】（1）在椭圆中，，，，离心率，在椭圆C：中，，所以，化简得，因为在椭圆C：上，所以，所以，所以，，所以椭圆.（2）当直线的斜率为0时，线段是椭圆的短轴，以AB为直径的圆的方程为，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入，得，以AB为直径的圆的方程为，联立，解得，由此猜想存在，使得以AB为直径的圆是经过定点，证明如下：当直线的斜率不为0且斜率存在时，设直线，联立，消去并整理得，，设、，则，，则，，因为，所以，所以点在以为直径的圆上，综上所述：以AB为直径的圆是经过定点.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.21．已知函数，是的导函数．(1)若关于的方程有两个不同的正实根，求的取值范围；(2)当时，恒成立，求的取值范围．（参考数据：）【答案】(1)(2) 【分析】（1）求导，关于的方程有两个不同的正实根，即方程有两个不同的正实根，令，利用导数求出其单调区间，从而可得出答案；（2）当时，恒成立，即恒成立，即恒成立，令，利用导数求出函数的最小值即可得解.【详解】（1）解：，关于的方程有两个不同的正实根，即方程有两个不同的正实根，令，则，当时，，当时，，所以函数在上递减，上递增，所以，又当时，，当时，，所以，即，所以；（2）解：当时，恒成立，即恒成立，即恒成立，令，则,当时，，所以函数在上递增，当时，令，则，所以函数在上递增，所以，所以当时，，即，所以函数在上递增，所以，所以，所以.【点睛】本题考查了利用导数研究方程的根及函数不等式恒成立问题，解决两个问题的关键都是分离参数，计算量较大，有一定的难度.22．在直角坐标系xOy中，直线l：，曲线C的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为.(1)求直线l与曲线C的极坐标方程；(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求的面积.【答案】(1)；(2) 【分析】（1）直接根据可得极坐标方程；（2）求出圆心到直线l的距离以及弦长，再求出点P到直线l的距离，进而可得的面积.【详解】（1）直线l的极坐标方程为，对于曲线C的参数方程为（为参数），消去参数得，代入得，整理得，即曲线C的极坐标方程为，，直线l的极坐标方程为；（2）曲线C：，圆心为，半径为，圆心到直线l的距离，，又点P到直线l的距离为.23．已知函数.(1)求不等式的解集；(2)记的最小值是m，若，，且，求的最小值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）分类讨论去绝对值可求出结果；（2）分类讨论去绝对值求出，再利用基本不等式可求出结果.【详解】（1）由题意得当时，不等式可化为，解得；当时，不等式可化为，解得；当时，不等式可化为，解得，所以不等式的解集为.（2）当时，，当时，，当时，，所以当时，取得最小值，所以，，所以,当且仅当且，即，时，等号成立.所以的最小值为.