2023届山东省淄博市张店区高三上学期期中数学试卷

这是一份2023届山东省淄博市张店区高三上学期期中数学试卷，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山东省淄博市张店区高三（上）期中数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|x2﹣2x≤0，x∈Z}，则A∩B＝（　　）
A．{0，1} B．[﹣1，2] C．[0，1] D．{﹣1，0，1，2}
2．（5分）已知点O是平面内任意一点，则“存在t∈R，使得＝（1﹣t）+t”是“A，B，C三点共线”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．（5分）已知等比数列{an}，a3a10a17＝8，则a10＝（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
4．（5分）三角形的三边分别为a，b，c，秦九韶公式S＝和海伦公式S＝（p＝）是等价的，都是用来求三角形的面积．印度数学家婆罗摩笈多在公元7世纪的一部论及天文的著作中，给出若四边形的四边分别为a，b，c，d，则S＝（p＝，θ为一组对角和的一半），已知四边形四条边长分别为3，4，5，6，则四边形最大面积为（　　）
A．21 B．4 C．10 D．6
5．（5分）已知θ为第三象限角，sinθ﹣cosθ＝﹣，则＝（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
6．（5分）函数f（x）＝﹣e3x+2e2x的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
7．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝6，c＝4，点O为外心，则＝（　　）
A．﹣20 B．﹣10 C．10 D．20
8．（5分）设方程ex+x+e＝0和lnx+x+e＝0的根分别为p和q，函数f（x）＝ex+（p+q）x，则（　　）
A．f（）＜f（）＜f（0） B．f（）＜f（）＜f（0）
C．f（）＜f（0）＜f（） D．f（0）＜f（）＜f（）
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）方程sin2x+cos2x＝2在区间[0，2π]上有解，则解可能为（　　）
A． B． C． D．
（多选）10．（5分）已知等差数列{an}，前n项和为Sn，a1＞0，＜﹣1，则下列结论正确的是（　　）
A．a2022＞0 B．Sn的最大值为S2023
C．|an|的最小值为a2022 D．S4044＜0
（多选）11．（5分）已知a＞0，b＞0，2a+b＝1，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．+≥9 B．ab C．a2+b2≥ D．+≤
（多选）12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tan（A+B）（1﹣tanAtanB）＝，则下列结论正确的是（　　）
A．A＝
B．若b﹣c＝a，则△ABC为直角三角形
C．若△ABC面积为1，则三条高乘积平方的最大值为3
D．若D为边BC上一点，且AD＝1，BD：DC＝2c：b，则2b+c的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知＝（2，﹣1），＝（0，1），则2﹣与夹角的余弦值为 　 　．
14．（5分）已知函数f（x）＝在R上单调递增，则a的取值范围为 　 　．
15．（5分）已知f（x）是定义域为R的奇函数，f（x﹣2）+1为奇函数，则f（i）＝　 　．
16．（5分）若数列{xn}满足xn+1＝x，则称数列{xn}为牛顿数列，如果f（x）＝x2﹣5x+6，数列{xn}为牛顿数列，设an＝log2，且a1＝1，则x2＝　 　；数列{an}的前n项和为Sn，则S2023＝　 　．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知函数f（x）＝2cos2x+2sinxcosx．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）将y＝f（x）的图象先向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）的对称轴．
18．（12分）已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且有a1＝b1＝1，a2＝b2+1，a4＝S3．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）令cn＝，求数列{cn}的前11项和T11．
19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2（acosB﹣bcosA）＝c．
（1）证明：tanA＝3tanB；
（2）若a2﹣b2＝bc，求B．
20．（12分）已知三次函数f（x）＝ax3+（2a﹣1）x2﹣2x﹣．
（1）当a＝3时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论y＝f（x）的单调性．
21．（12分）设正项数列{an}满足a1＝1，且n﹣（n+1）＝n2+n（n∈N*）．
（1）证明：数列{}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝，求证：数列{bn}的前n项和Sn＜．
22．（12分）已知函数f（x）＝alnx﹣x+．
（1）若∀x≥1，f（x）≤0恒成立，求a的取值范围；
（2）证明：对任意n∈N*，e＞n+1；
（3）讨论函数f（x）零点的个数．













2022-2023学年山东省淄博市张店区高三（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
1．【分析】化简集合B，再求A∩B即可．
【解答】解：∵B＝{x|x2﹣2x≤0，x∈Z}＝{0，1，2}，
又∵A＝{x|﹣1≤x≤1}，
∴A∩B＝{0，1}，
故选：A．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．【分析】根据三角形法则和平面向量共线定理解决．
【解答】解：若存在t∈R，使得＝（1﹣t）+t，则，
即，故A，B，C三点共线；
若A，B，C三点共线，则存在t∈R，使得，
即，于是＝（1﹣t）+t，
故“存在t∈R，使得＝（1﹣t）+t”是“A，B，C三点共线”的充要条件．
故选：C．
【点评】本题考查三点共线的等价条件，平面向量共线定理，属于基础题．
3．【分析】由题意和等比数列的性质即可求解．
【解答】解：由题意可得a3a10a17＝（a10）3＝8，
则a10＝2．
故选：B．
【点评】本题考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题．
4．【分析】由题意可得p＝＝9，利用S＝＝＝，结合正弦函数的性质，即可得出答案．
【解答】解：∵a＝3，b＝4，c＝5，d＝6，
∴p＝＝9，则S＝＝＝，
∴当sin2θ＝1，即θ＝时，S取得最大值且为＝6，
故选：D．
【点评】本题考查三角形中的几何计算，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
5．（5分）【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求得（5cosθ﹣4）（5cosθ+3）＝0，结合θ为第三象限角，可求cosθ，sinθ的值，进而利用二倍角公式化简所求即可计算得解．
【解答】解：因为sinθ﹣cosθ＝﹣，
所以sin2θ+cos2θ＝（cosθ﹣）2+cos2θ＝1，
整理可得（5cosθ﹣4）（5cosθ+3）＝0，
所以cosθ＝，或﹣，
又因为θ为第三象限角，
所以cosθ＝﹣，sinθ＝﹣，
则＝＝cosθ（cosθ﹣sinθ）＝﹣×＝﹣．
故选：B．
【点评】本题考查了三角函数恒等变换在三角函数化简求值中的应用，考查了方程思想和转化思想，属于基础题．
6．【分析】由f（0）＞0可排除C，求导可知f（x）的极值点是大于零的，故排除B，由f（x）＝0可知函数只有一个零点，可排除D．
【解答】解：函数f（x）＝﹣e3x+2e2x，
∵f（0）＝﹣1+2＝1＞0，∴排除C，
求导f'（x）＝﹣3e3x+4e2x，令f'（x）＝0得，4e2x＝3e3x，
解得x＝，
又∵，∴f（x）的极值点是大于零的，故排除B，
令f（x）＝0得，2e2x＝e3x，即2＝＝ex，解得x＝ln2＞0，
∴f（x）＝0有且只有一个根，且这个根大于0，故排除D，
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数图象的变换，考查了利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．
7．（5分）【分析】由题意画出图形，把问题转化为向量在向量上的投影求解．
【解答】解：如图，

分别设AB、AC的中点为E、F，
则＝•（）＝
＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查化归与转化思想，是中档题．
8．【分析】将两个根p，q分别看成y＝ex与y＝﹣x﹣e和y＝lnx与y＝﹣x﹣e的根，而y＝ex与y＝lnx互为反函数，图象关于y＝x对称，而y＝﹣x﹣e与y＝x垂直，故也关于y＝x对称，所以p，q两根对应的点也关于y＝x对称，由此求出p+q，再利用f（x）的单调性解决问题．
【解答】解：方程ex+x+e＝0和lnx+x+e＝0的根分别为p和q，
两个根p，q分别看成y＝ex与y＝﹣x﹣e和y＝lnx与y＝﹣x﹣e的根，
而y＝ex与y＝lnx互为反函数，图象关于y＝x对称，而y＝﹣x﹣e与y＝x垂直，故也关于y＝x对称，所以p，q两根对应的点也关于y＝x对称，
故，将②③代入①得p+q＝﹣e，
故函数f（x）＝ex+（p+q）x＝ex﹣ex，
f′（x）＝ex﹣e，易知0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）此时单调递减；
同理可知，x＞1时，f（x）单调递增，
故，排除D，
f（0）﹣f（）＝＞0，故f（0），故排除C，
又f″（x）＝ex，且＝，f﹣f″（1）＝，
易知﹣（）＝2e＜0（因为），故相对于f（1），
f（）减小到f（1）的幅度，不如f（1）增大到f（）的幅度大，故，
故B正确，A错误．
故选：B．
【点评】本题考查导数在比较大小问题中的应用，一般是构造函数，研究其单调性求解，属于难题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．【分析】由题意利用三角恒等变换化简所给的方程为sin（2x+）＝1，再利用正弦函数的图象特征，求得它的两个解，从而得出结论．
【解答】解：因为sin2x+cos2x＝2，
所以2sin（2x+）＝2，可得sin（2x+）＝1，
所以2x+＝2kπ+，k∈Z，解得x＝kπ+，k∈Z，
又因为x∈[0，2π]，
所以当k＝0时，x＝，k＝1时，x＝．
故选：AC．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象特征，属于基础题．
（多选）10．【分析】由等差数列性质推导出a2002＞0，a2003＜0，a2003＜﹣a2002，|a2003|＜|a2002|，由此能求出结果．
【解答】解：等差数列{an}，前n项和为Sn，a1＞0，＜﹣1，
∴a2002＞0，a2003＜0，a2003＜﹣a2002，∴|a2003|＜|a2002|，故A，C均正确；
∴Sn的最大值为S2022，故B错误；
S4044＝＜0，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查等差数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）11．【分析】根据基本不等式求最值判断ABD，利用二次函数求最值判断C，即可求解．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，2a+b＝1，
A，∵+＝（+）（2a+b）＝++3≥2+3，当且仅当＝，即a＝﹣1，b＝2﹣时等号成立，故A错误，
B，∵1＝2a+b≥2，∴ab≤，当且仅当2a＝b，即a＝，b＝时等号成立，故B正确，
C，∵a＞0∴，b＞0，2a+b＝1，∴0＜a＜，
∴a2+b2＝a2+（1﹣2a）2＝5a2﹣4a+1＝5（a﹣）2+≥，当且仅当a＝时等号成立，故C正确，
D，∵≥，∴+≤，当且仅当2a＝b，即a＝，b＝时等号成立，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，二次函数求最值，属于中档题．
（多选）12．【分析】对于A，利用三角恒等变换及特殊角的三角函数值即可得到；
对于B，利用余弦定理得到a2＝b2+c2﹣bc，将代入解得，从而得到b＝2c，由此得证；
对于C，利用三角形面积公式得到，从而得到，利用基本不等式易知当a＝b＝c时，等号成立，由此得证；
对于D，利用向量的线性运算及数量积运算得到，从而利用基本不等式“1”的妙用即可证得．
【解答】解：对于A，因为，所以，
则由正弦定理得，
则，
因为0＜C＜π，所以sinC＞0，
所以cosA＝sinA，
故，
又0＜A＜π，所以，故A错误；
对于B，因为A＝，
在三角形ABC中，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2﹣bc，
因为，即，代入上式得，
整理得，解得或（舍去），
则b＝2c，所以b2＝a2+c2，故B正确；
对于C，设AB，AC，BC边上的高分别是CE，BF，AD，
因为△ABC面积为1，
所以，则，
因为，当且仅当，即a＝b＝c时，等号成立，
此时，
所以，故C正确；
对于D，因为BD：DC＝2c：b，
所以，
又2＝（+）2，AD＝1，
所以，
整理得（b+2c）2＝7b2c2，故，
所以，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以，即2b+c的最小值为，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查了正余弦定理的应用，考查了解三角形中的综合问题，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．【分析】求出2﹣与的数量积和模长，利用数量积定义即可．
【解答】解：由题可得：2﹣＝（4，﹣3），
于是2﹣与夹角的余弦值为：，
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的数量积，属于基础题．
14．【分析】由已知结合一次函数及指数函数的单调性及分段函数的性质即可求解．
【解答】解：因为f（x）＝在R上单调递增，
所以，解得1＜a≤2．
故答案为：（1，2]．
【点评】本题主要考查分段函数的单调性的应用，属于基础题．
15．【分析】由f（x）和f（x﹣2）+1均是奇函数可推出f（x+4）＝f（x）+2，赋值可得f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝5，从而根据递推公式可知f（i）的值．
【解答】解：f（x）是定义域为R的奇函数，故有f（x）＝﹣f（﹣x），且f（0）＝0，
因为f（x﹣2）+1为奇函数，所以f（﹣x﹣2）+1＝﹣f（x﹣2）﹣1，
而f（﹣x﹣2）＝f[﹣（x+2）]＝﹣f（x+2），
所以f（x+2）＝f（x﹣2）+2，
用x+2替换x得：f（x+4）＝f（x）+2，
令x＝﹣1，则有f（3）＝f（﹣1）+2＝﹣f（1）+2，即f（1）+f（3）＝2；
令x＝﹣2，则f（2）＝f（﹣2）+2＝﹣f（2）+2，则2f（2）＝2，即f（2）＝1；
令x＝0，则有f（4）＝f（0）+2＝2；所以f（l）+f（2）+f（3）+f（4）＝5．
f（5）+f（6）+f（7）+f（8）＝f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+8＝13；
f（9）+f（10）+f（11）+f（12）＝f（5）+f（6）+f（7）+f（8）+8＝21；
f（13）+f（14）+f（15）+f（16）＝f（9）+f（10）+f（11）+f（12）+8＝29；
所以f（i）＝f（1）+f（2）+f3）+f（4）+…+f（16）＝5+13+21+29＝68．
故答案为：68．
【点评】本题考查函数奇偶性的应用，属于中档题．
16．【分析】求得f（x）的导数，推得an+1＝2an，由等比数列的定义和通项公式、求和公式，计算可得所求．
【解答】解：f（x）＝x2﹣5x+6的导数为f′（x）＝2x﹣5，
则xn+1＝xn﹣＝，
由an＝log2，可得an+1＝log2＝log2＝2log2＝2an，
则数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
所以a2＝2，即log2＝2，解得x2＝；
则S2023＝＝22023﹣1．
故答案为：；22023﹣1．
【点评】本题考查等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，以及构造法求数列的通项公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．【分析】（1）首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期；
（2）利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出函数g（x）的关系式，进一步求出函数的对称轴．
【解答】解：（1）函数f（x）＝2cos2x+2sinxcosx＝cos2x+＝，
故函数的最小正周期为．
（2）将y＝f（x）＝2sin（2x+）的图象先向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）＝2sin（4x﹣）的图象．
令，（k∈Z），整理得，（k∈Z）．
故函数g（x）的对称轴方程为：，（k∈Z）．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，函数的图象的平移变换和伸缩变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
18．【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式即可求解；
（2）T11＝c1+c2+…+c11＝a1+b2+a3+b4+…+b10+a11，利用等差数列和等比数列的求和公式即可求解．
【解答】解：（1）∵a2＝b2+1，a4＝S3，
∴1+d＝q+1，1+3d＝1+q+q2，
解得d＝q＝2，
∴an＝1+（n﹣1）•2＝2n﹣1，bn＝2n﹣1；
（2）∵cn＝，
∴T11＝c1+c2+…+c11
＝a1+b2+a3+b4+…+b10+a11
＝（a1+a3+a5+…+a11）+（b2+b4+…+b10）
＝（1+5+9+…+21）+（2+23+25+…+29）
＝+
＝748．
【点评】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式与求和公式，属于中档题．
19．【分析】（1）由正弦定理可将条件化为角的关系，再利用三角恒等变换即可；
（2）利用正弦定理和余弦定理将条件化为边的关系，求出三边之间的比例，再由余弦定理求cosB即可．
【解答】解：（1）证明：由2（acosB﹣bcosA）＝c及正弦定理得：
2（sinAcosB﹣sinBcosA）＝sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+sinBcosA，
即sinAcosB＝3sinBcosA，由于sinA＞0，sinB＞0，
若cosB＝0，则cosA＝0，与A、B是三角形内角矛盾，
故cosA≠0，cosB≠0，所以tanA＝3tanB；
（2）由（1）知sinAcosB＝3sinBcosA，由正弦定理得acosB＝3bcosA，
由余弦定理得：，即2（a2﹣b2）＝c2，
又a2﹣b2＝bc，则c2＝2bc，于是c＝2b，代入a2﹣b2＝bc得a＝，
由余弦定理可得：，
又B∈（0，π），则B＝．
【点评】本题考查正余弦定理，以及三角恒等变换，属于基础题．
20．【分析】（1）求导可得f′（x）＝3x2+5x﹣2，利用导数的几何意义，可得曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为f′（1）＝6，f（l）＝3，利用直线点斜式即可得解；
（2）求导可得f′（x）＝ax2+（2a﹣1）x﹣2＝（ax﹣l）（x+2），对参数a进行讨论即得解．
【解答】解：（1）当a＝3时，f（x）＝x3+x2﹣2x﹣．
所以f′（x）＝3x2+5x﹣2，
所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为f′（1）＝6，又f（1）＝1，
所以y＝6（x﹣1）+1，整理可得6x﹣y﹣5＝0，
故曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为6x﹣y﹣5＝0；
（2）f′（x）＝ax2+（2a﹣1）x﹣2＝（ax﹣l）（x+2），
若a＝0，由f（x）＝﹣（x+2）＝0可得x＝﹣2，
当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（﹣2，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，
当a＞0时，f′（x）＝（ax﹣1）（x+2）＝0，可得x＝或x＝﹣2，
所以f（x）在（﹣∞，﹣2），（，+∞） 为增函数，在（﹣2，）上为减函数，
当a＜0时，
若﹣＜a＜0，f（x）在（﹣∞，），（﹣2，+∞）为减函数，在（，﹣2）上为增函数，
若a＝﹣，f′（x）≤0，f（x）在R上为减函数，
若a＜﹣，f（x）在（﹣∞，﹣2），（，+∞）为减函数，在（﹣2，）上为增函数，
综上可得：
若a＝0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上为增函数，在（﹣2、+∞）上为减函数，
当a＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣2），（，+∞） 为增函数，在（﹣2，）上为减函数，
当a＜0时，
若﹣＜a＜0，f（x）在（﹣∞，），（﹣2，+∞）为减函数，在（，﹣2）上为增函数，
若a＝﹣，f（x）在R上为减函数，
若a＜﹣，f（x）在（﹣∞，﹣2），（，+∞）为减函数，在（﹣2，）上为增函数，
【点评】本题考查曲线上一点处的切线方程，含参分类讨论求函数的单调区间，导数的综合应用，属于中档题．
21．【分析】（1）直接利用构造数列的关系式和关系式的恒等变换求出数列的通项公式；
（2）利用放缩法和裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．
【解答】证明：（1）正项数列{an}满足a1＝1，且n﹣（n+1）＝n2+n（n∈N*），整理得（常数），
所以数列{}是以为首项，1为公差的等差数列；
所以，整理得an＝n．
（2）由（1）得：bn＝，当n＝1时，，
当n≥2时，＝＝，
所以，
故．
故数列{bn}的前n项和Sn＜．
【点评】本题考查的知识要点：构造数列的关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，放缩法的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
22．【分析】（1）f（x）＝alnx﹣x+，x∈[1，+∞），f′（x）＝，对a分类讨论，利用导数研究函数f（x）的单调性即可得出a的取值范围．
（2）对任意n∈N*，e＞n+1⇔ln（n+1）＜1+++…+﹣．由（1）可得：2lnx≤x﹣（当且仅当x＝1时取等号），x≥1．令x＝，则2[ln（n+1）﹣lnn]＜﹣＝+，分别令n＝1，2，3，…，n代入累加求和即可证明结论．
（3）f（x）＝alnx﹣x+，x∈（0，+∞），f′（x）＝﹣1﹣＝，对a分类讨论，利用导数研究函数f（x）的单调性与极值及其最值，结合函数的零点存在定理即可得出结论．
【解答】解：（1）f（x）＝alnx﹣x+，x∈[1，+∞），
f′（x）＝﹣1﹣＝，
分类讨论：
a≤2时，﹣x2+ax﹣1≤﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣1）2≤0，∴f′（x）≤0，
∴函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，
∴f（x）≤f（1）＝0，满足∀x≥1，f（x）≤0恒成立．
a＞2时，分子u（x）＝﹣x2+ax﹣1＝﹣+﹣1，
x∈[1，）时，u（x）单调递增，u（x）≥u（1）＝a﹣2＞0，
函数f（x）在x∈[1，）时，f（x）单调递增，
此时f（x）≥f（1）＝0，不满足题意，舍去．
综上可得：a的取值范围是（﹣∞，2]．
（2）证明：对任意n∈N*，e＞n+1⇔ln（n+1）＜1+++…+﹣．
由（1）可得：2lnx≤x﹣（当且仅当x＝1时取等号），x≥1．
令x＝，则2[ln（n+1）﹣lnn]＜﹣＝+，
分别令n＝1，2，3，…，n代入累加求和可得：
2ln（n+1）＜1+++…++++…++＝2（1+++…+）﹣1+＝2（1+++…+）﹣，
∴ln（n+1）＜1+++…+﹣．
（3）f（x）＝alnx﹣x+，x∈（0，+∞），
f′（x）＝﹣1﹣＝，
分类讨论：a≤2时，﹣x2+ax﹣1≤﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣1）2≤0，∴f′（x）≤0，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
而f（1）＝0，
因此，a≤2时，函数f（x）在（0，+∞）上只有一个零点1．
a＞2时，令分子u（x）＝﹣x2+ax﹣1＝0，
Δ＝a2﹣4＞0，方程有两个不等实数根x1，x2，
∵x1x2＝1，∴0＜x1＜1＜x2，
f′（x）＝﹣，
函数f（x）在（0，x1），（x2，+∞）上单调递减；在（x1，x2）上单调递增．
x→0时，f（x）→+∞；f（x）＝0，x→+∞时，f（x）→+∞．
因此函数f（x）在（0，+∞）上有3个零点．
综上可得：a≤2时，函数f（x）在（0，+∞）上只有一个零点1．
a＞2时，函数f（x）在（0，+∞）上有3个零点．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及其最值、分类讨论方法、等价转化方法、函数零点存在定理、不等式的证明，考查了推理能力与计算能力，属于难题．