2023届浙江省绍兴市越州中学高三上学期10月学习质量检测数学试题（解析版）

这是一份2023届浙江省绍兴市越州中学高三上学期10月学习质量检测数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届浙江省绍兴市越州中学高三上学期10月学习质量检测数学试题 一、单选题1．设全集，集合M满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先写出集合,然后逐项验证即可【详解】由题知,对比选项知，正确,错误故选: 2．已知，，(i为虚数单位)，则（    ）A． B．1 C． D．3【答案】C【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数的值.【详解】，利用复数相等的充分必要条件可得：.故选：C.3．已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】两边平方后可得，再由夹角公式求解即可.【详解】∵，平方得，∵，，∴，设，的夹角为，其中，可得，所以.故选：C.4．已知锐角满足，则（    ）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】根据已知条件，利用二倍角公式转化为关于的三角函数的方程，化简，然后利用同角三角函数关系求得的值.【详解】∵，∴，即，又∵为锐角，∴，∴，即，∴.故选：A5．为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设三门德育校本课程，现有甲、乙、丙、丁四位同学参加校本课程的学习，每位同学仅报一门课程，每门课程至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（    ）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】B【分析】根据部分平均分组的方法计算即可.【详解】将四位同学分为三组，有种情况；再对三组进行排序，有种方法；则不同的报名方法共有种.故选：B.6．如图，已知正四面体ABCD的棱长为1，过点B作截面分别交侧棱AC，AD于E，F两点，且四面体ABEF的体积为四面体ABCD体积的，则EF的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知可得的面积，由三角形面积公式和余弦定理，使用基本不等式可得.【详解】由题知，所以，记，则，即.则，当且仅当，即时，取等号.所以a的最小值为故选：D7．设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据抽象函数的性质逐项判断即可.【详解】因为为奇函数，所以，所以函数图象关于点对称，因为是偶函数，所以，即，所以函数图象关于直线对称，所以，所以，所以函数周期为4，所以，，无法确定其值，故A正确；BCD无法确定.故选：A8．记表示不超过实数的最大整数，如，，，设，则（    ）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，分类依次写出数列的前项相等，第到第项相等，第到第项相等 ，第到第项相等，相加即可得到答案.【详解】因为，且，，，，所以，，，，所以，，，， 所以.故选：D. 二、多选题9．已知正方体，则（    ）A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面ABCD所成的角为【答案】ABD【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图，连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角，因为四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，A正确；连接，因为平面，平面，则，因为，，所以平面，又平面，所以，故B正确；连接，设，连接，因为平面，平面，则，因为，，所以平面，所以为直线与平面所成的角，设正方体棱长为，则，，，所以，直线与平面所成的角为，故C错误；因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，故D正确.故选：ABD 10．已知且，则（    ）．A． B．C． D．【答案】BC【分析】由异号，利用不等式性质以及基本不等式即可判断各选项的正误；【详解】对于A，因为即异号，当时，，故A错误；对于B，因为，所以异号，所以，所以，故成立，故B正确；对于C，，又，故C正确；对于D，取，则，此时，故D错误.故选：BC.11．下列命题正确的是（    ）．A．设事件A与B相互独立，且，，则B．设随机变量，则C．在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，当样本相关系数越接近0时，样本数据的线性相关程度越强D．在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好【答案】AD【分析】对于A，根据相互独立事件和条件概率的概率计算公式即可判断；对于B，根据正态分布曲线的对称性即可判断；对于C，根据相关系数的含义即可判断；对于D，根据残差平方和的含义即可判断.【详解】对于A，若事件A与B相互独立，且，，可得，则，故A正确；对于B，因为随机变量，所以，根据正态分布曲线的对称性，可得，故B错误；对于C，在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，根据相关系数的含义，可知当样本相关系数越接近0时，样本数据的线性相关程度越弱；当样本相关系数越接近1时，样本数据的线性相关程度越强，故C错误；对于D，在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，根据残差的含义，可知残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好，故D正确.故选：AD12．已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别于圆切于点.则下列说法正确的是（    ）A．四边形的面积最小值为B．最短时，弦长为C．最短时，弦直线方程为D．直线过定点【答案】ABD【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，根据切线长与圆心到定点距离和半径之间关系，即切线长可知当时，最小，可确定四边形面积最小值，同时利用面积桥可求得，由此可知AB正确；设，可知方程为：，由可求得点坐标，由此可得方程，知C正确；将代入方程，根据直线过定点的求法可知D正确.【详解】由圆的方程知：圆心，半径，对于AB，四边形的面积，则当最短时，四边形的面积最小，点到直线的距离，，此时，A正确；又，此时，B正确；对于C，设，，，则过作圆的切线，切线方程为：；过作圆的切线，切线方程为：，又为两切线交点，，则两点坐标满足方程：，即方程为：；当最小时，，直线方程为：，由得：，即，方程为：，即，C错误；对于D，由C知：方程为：；又，即，方程可整理为：，由得：，过定点，D正确.故选：ABD.【点睛】结论点睛：过圆上一点作圆的切线，则切线方程为：；过圆外一点作圆的两条切线，切点弦所在直线方程为：. 三、填空题13．的展开式中的系数为______（用数字作答）.【答案】【分析】利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中和的系数，即可得的展开式中的系数.【详解】由于展开式的通项公式为，当时，的系数为;当时，的系数为；的展开式中含的系数为.故答案为：.14．写出一个最小正周期为2的奇函数________．【答案】【解析】根据奇函数性质可考虑正弦型函数，，再利用周期计算，选择一个作答即可.【详解】由最小正周期为2，可考虑三角函数中的正弦型函数，，满足，即是奇函数；根据最小正周期，可得.故函数可以是中任一个，可取.故答案为：.15．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________．【答案】【分析】分别求得上下底面所在平面截球所得圆的半径，找到球心，求得半径，再由球的表面积公式可得结果．【详解】 由题意设三棱台为，如图，上底面所在平面截球所得圆的半径是，为上底面截面圆的圆心下底面所在平面截球所得圆的半径是，为下底面截面圆的圆心由正三棱台的性质可知，其外接球的球心在直线上，当在线段上时，轴截面中由几何知识可得，无解；当在的延长线上时，可得，解得，因此球的表面积是．故答案为：16．设B是椭圆C：(a>b>0)的上项点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围_______【答案】【分析】利用距离公式将表示，配方后，分和两种情况讨论即得.【详解】设，则，因为，当即时，，所以，化简得：，显然该不等式不成立，当，即时，，恒成立，由，得，所以综上，离心率的范围为.故答案为： 四、解答题17．已知等差数列的公差，，且，，成等比数列，数列满足．（1）求的通项公式；（2）求的前项和．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由等比数列的性质及等差数列的通项公式可得，即可得，再由等差数列的通项公式即可得解；（2）由题意，结合并项求和法、等差数列的前n项和公式即可得解.【详解】（1）因为等差数列满足，且，，成等比数列，所以 ，因为，所以， 所以；（2）由（1）得，所以．【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，考查了并项求和法求数列前n项和的应用，属于中档题.18．在中，角，，的对边分别为，，．已知(1)求；(2)若，的面积为，求，．【答案】(1)(2) 【分析】（1）已知，由正弦定理和辅助角公式可得，解得 .（2）由余弦定理和三角形面积公式，可解求，.【详解】（1）中，已知，由正弦定理可得，∵，∴ ，△ABC中，，∴ ，∴ （2）a=2，△ABC的面积为 ∴ ，解得bc=4. 由余弦定理可得： 化为.联立 ，解得∴.19．已知函数．(1)求函数在处的切线方程；(2)求函数在上的最大值与最小值．【答案】(1)(2)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据导函数在的值，可求出切线斜率，根据点斜式写出切线方程.（2）根据导函数，确定单调区间，进而可得最值.【详解】（1）由得,又,所以函数在处的切线方程为:,即（2）由,令解得令解得,所以在上单调递减,在上单调递增.所以当时,最小,且最小值为,,,故最大值为20．如图，在正四棱柱中，，，分别为棱，的中点，为棱上的动点.(1)求证：，，，四点共面；(2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在， 【分析】（1）连接，，取的中点为M，连接，ME，根据E为的中点， F为的中点，分别得到，，从而有，再由平面的基本性质证明； （2）以D为坐标原点，DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，假设存在满足题意的点G，设，分别求得平面BEF的一个法向量和平面GEF的一个法向量，根据平面平面BEF，由求解.【详解】（1）证明：如图所示：连接，，取的中点为M，连接，ME，因为E为的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为F为的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，所以，所以B，E，，F四点共面；（2）以D为坐标原点，DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，假设存在满足题意的点G，设，由已知，，，则，，，设平面BEF的一个法向量为，则，即，取，则；设平面GEF的一个法向量为，则，即，取，则；因为平面平面BEF，所以，所以，所以.所以存在满足题意的点G，使得平面平面BEF，DG的长度为.21．2022年电商即将开展“欢度春节”促销活动，某电商为了尽快占领市场，对某地区年龄在10到70岁的人群“是否网上购物”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用网上购物的人数如下所示：（年龄单位：岁）年龄段[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70]频率0.10.320.280.220.050.03使用网上购物人数828241221 (1)若以40岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“网上购物”与年龄有关？ 年龄低于40岁年龄不低于40岁总计使用网上购物人数   不使用网上购物人数   总计    (2)若从年龄在[50，60），[60，70]的样本中各随机选取2人进行座谈，记选中的4人中“使用网上购物”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.参考公式和数据：K2=，其中n=a＋b＋c＋d.P（K2≥k0）0.0250.0100.0050.001k03.8416.6357.87910.828  【答案】(1)表格见解析，可以在犯错的概率不超过0.001的前提下认为“网上购物”与年龄有关(2)分布列见解析， 【分析】（1）由已知条件和统计表中的数据填写列联表，然后根据公式K2=计算K2，再由临界值表得到结论，（2）由题意可知，X的所有可能的取值为0，1，2，3，再计算出相应的概率，从而可得分布列和期望【详解】（1）由统计表可得，年龄低于40岁的人数为70，不低于40岁的人数为30，可得列联表如下. 年龄低于40岁年龄不低于40岁总计使用网上购物人数601575不使用网上购物人数101525总计7030100 于是有K2的观测值K2=≈14.286>10.828，故可以在犯错的概率不超过0.001的前提下认为“网上购物”与年龄有关.（2）由题意可知，X的所有可能的取值为0，1，2，3，相应的概率为P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=P（X=3）=，于是X的分布列为X0123P 所以E（X）=.22．已知椭圆的短轴长为2，离心率为，点A是椭圆的左顶点，点E坐标为，经过点E的直线l交椭圆于M，N两点，直线l斜率存在且不为0．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线AM，AN分别交直线于点P，Q，线段PQ的中点为G，设直线l与直线EG的斜率分别为k，，求证：为定值．【答案】(1)(2)证明过程见解析. 【分析】（1）根据离心率及求出椭圆C的方程；（2）设出直线l方程，联立椭圆方程，利用韦达定理求出两根之和，两根之积，表达出点P，Q的坐标，从而得到中点G的坐标，直线EG的斜率，，证明出结论.【详解】（1）由题意得：，，由，解得：，，故椭圆C的方程为：；（2）设直线l：，联立椭圆方程：得：，设，，则，，直线AM：，令得：，故，同理可求得：，则，则，故，证毕.