重难点11 三角函数的图像与性质—2023年高考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）（原卷版）

重难点11  三角函数的图像与性质

1.三角函数定义域的求法

①以正切函数为例，应用正切函数y＝tan x的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域．

②求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式．

(2)简单三角不等式的解法

①利用三角函数线求解．

②利用三角函数的图象求解．

2.求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：

(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；

(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；

(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．

3.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种作法

[注意]　平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是ωx加减多少值．　

4.确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法

(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，

则A＝，b＝.

(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝.

(3)求φ，常用的方法有：

①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)；

②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：

“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ ＝＋2kπ(k∈Z)；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)．　

2023年高考仍将重点考查三角函数的图像与性质及三角函数变换，特别是这些知识点的组合考查是考查的热点，题型仍为选择题或填空题，难度可以为基础题或中档题，也可以是压轴题.

（建议用时：40分钟）

一、单选题

1．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

2．函数的最小正周期是(    )

A． B． C． D．

3．函数是（   ）

A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2

C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为

4．函数f（x）＝sinx﹣cosx（x∈[﹣π，0]）的单调递增区间是（　　）

A．[﹣π，﹣] B．[﹣，﹣] C．[﹣，0] D．[﹣，0]

5．将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

6．为得到函数的图象，只需将的图象（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

7．下列函数中，图象的一部分如图所示的是（    ）

A． B． C． D．

8．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

9．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（  ）

A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减

C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减

10．下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是（   ）

A．f(x)=│cos 2x│ B．f(x)=│sin 2x│

C．f(x)=cos│x│ D．f(x)= sin│x│

11．设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是（   ）

A．f(x)的一个周期为−2π B．f(x)的图像关于直线x=对称

C．f(x+π)的一个零点为x= D．f(x)在(,π)单调递减

12．已知，关于该函数有下列四个说法：

①的最小正周期为；

②在上单调递增；

③当时，的取值范围为；

④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．

以上四个说法中，正确的个数为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．

14．函数在区间上的最小值为__________．

15．已知函数的部分图像如图所示，则_______________.

16．关于函数f（x）=有如下四个命题：

①f（x）的图象关于y轴对称．

②f（x）的图象关于原点对称．

③f（x）的图象关于直线x=对称．

④f（x）的最小值为2．

其中所有真命题的序号是__________．

三、解答题

17．已知函数．

（1）求函数的最小正周期和严格增区间；

（2）函数图像可以由函数的图象经过怎样的变换得到？

18．设函数，其中.已知.

（1）求；

（2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.