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高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第一章 三角函数3 弧度制3.2 弧度与角度的换算试讲课ppt课件
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这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第一章 三角函数3 弧度制3.2 弧度与角度的换算试讲课ppt课件，共29页。PPT课件主要包含了课标阐释，思维脉络，激趣诱思，知识点拨，弧度与角度的换算，探究一，探究二，探究三，探究四，当堂检测等内容，欢迎下载使用。
1.理解弧度的意义,掌握1弧度的角的定义.(数学抽象)2.能进行角度和弧度的换算,熟记特殊角的弧度数.(数学运算)3.掌握弧度制下扇形的弧长和面积公式,会利用弧度解决某些简单的实际问题.(数学建模)4.通过学习,要理解角度制与弧度制都是度量角的方法,二者是辩证统一的.(逻辑推理)
测量一位同学的身高,可以用米、分米、厘米为单位进行度量;买一个西瓜,要称其重量,常用的单位有千克、克.在物理学和日常生活中,一个量常常需要用不同的方法进行度量,不同的度量方法可以满足我们不同的需要.现实生活中有许多计量单位,如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位,度量重量可以用千克、克、吨等不同的单位,度量角的大小可以用哪些单位呢?
一、弧度在单位圆中,把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角.其单位用符号rad表示,读作弧度.名师点析1.1弧度的角与1度的角所指含义不同,大小更不同.2.无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角,角的大小与“半径”大小无关.3.用“度”作为单位度量角时,“度”(即“°”)不能省略,而用“弧度”作为单位度量角时,“弧度”二字或“rad”通常省略不写.
微判断判断(正确的打“√”,错误的打“×”).(1)大圆中1弧度的角比小圆中1弧度的角大.( )(2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等.( )(3)“度”和“弧度”是度量角的两种不同的度量单位.( )答案(1)× (2)× (3)√
二、弧度制在单位圆中,每一段弧的长度就是它所对圆心角的弧度数.这种以弧度作为单位来度量角的方法,称作弧度制.名师点析1.当圆心角一定时,它所对的弧长与半径的比值是唯一一个确定的值,与所取圆的半径大小无关.2.一般地,弧度与实数一一对应,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.
微思考在同一个表达式中,能不能角度制和弧度制同时出现?提示角度制和弧度制是表示角的两种不同的度量方法,两者有着本质的不同,因此在同一个表达式中两种度量方法不能混用.
名师点析一些特殊角的度数与弧度数的对应值表
微思考1周角是多少度?是多少弧度?提示360°,2π.微思考2半圆所对的圆心角是多少度?是多少弧度?提示180°,π.微练习
四、弧度制下的三个公式
名师点析扇形的弧长及面积公式的记忆
微练习已知扇形的半径r=30,圆心角 ,则该扇形的弧长等于 ,面积等于 ,周长等于 . 答案5π 75π 60+5π
弧度制的概念例1下列说法错误的是( )A.弧度角与实数之间建立了一一对应的关系C.根据弧度的定义,180°一定等于π弧度D.无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径的大小有关解析无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径大小无关,而是与弧长和半径的比值有关,故D项错误.答案D
反思感悟 弧度制与角度制的异同1.用角度制和弧度制度量零角时,单位不同,但数值相同(都是0);用角度制和弧度制度量任一非零角时,单位不同,数值也不同.2.以弧度为单位表示角的大小时,“弧度”二字或“rad”通常省略不写,但以度为单位表示角的大小时,“度”或“°”不能省略.
变式训练1下列叙述中正确的是( )A.1弧度是1度的圆心角所对的弧B.1弧度是长度为半径的弧C.1弧度是1度的弧与1度的角之和D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小,它是角的一种度量单位解析弧度是度量角的大小的一种单位,1弧度是长度等于半径的圆弧所对圆心角的大小.故选D.答案D
弧度与角度的换算例2(1)把112°30'化成弧度;(3)将-1 485°化成弧度.
反思感悟 弧度制与角度制换算的关键与方法(1)关键:抓住互化公式π rad=180°.(3)角度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度.
变式训练2下列各角中,与240°角终边相同的角为( )
用弧度制表示角及其范围例3如图所示,用弧度制表示顶点在原点、始边与x轴的非负半轴重合、终边落在阴影部分内的角的集合.
反思感悟 用弧度制表示象限角、轴线角、终边相同的角的方法1.用弧度制表示象限角的集合如下:2.用弧度制表示轴线角的集合如下:终边落在x轴上的角为{α|α=kπ,k∈Z);3.用弧度制表示终边相同的角的集合为{β|β=α+2kπ,k∈Z}.
变式训练3终边在坐标轴上角的集合是 ,终边在直线y=-x上角的集合是 .
与扇形弧长、面积有关的问题例4(1)已知扇形的周长为8 cm,圆心角为2,求该扇形的面积;(2)已知扇形的周长为10 cm,面积等于4 cm2,求其圆心角的弧度数.解(1)设扇形的半径为r cm,弧长为l cm,由圆心角为2 rad,依据弧长公式可得l=2r,从而扇形的周长为l+2r=4r=8,解得r=2,则l=4.故扇形的面积
反思感悟 弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)扇形的弧长公式和面积公式涉及四个量,即面积S,弧长l,圆心角α,半径r,已知其中的三个量一定能求得第四个量(通过方程求得),已知其中的两个量能求得剩余的两个量(通过方程组求得).(2)在研究有关扇形的相关量的最值时,往往转化为二次函数的最值问题.(3)注意扇形圆心角弧度数的取值范围是(0,2π),实际问题中注意根据这一范围进行取舍.
变式训练4已知扇形的周长是30 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?解设扇形的圆心角为α(0<α<2π),半径为r cm,面积为S cm2,弧长为l cm,则l+2r=30,故l=30-2r,
1.1 920°化为弧度是( )
3.若扇形的半径为1,圆心角为3弧度,则扇形的面积为 .
1.理解弧度的意义,掌握1弧度的角的定义.(数学抽象)2.能进行角度和弧度的换算,熟记特殊角的弧度数.(数学运算)3.掌握弧度制下扇形的弧长和面积公式,会利用弧度解决某些简单的实际问题.(数学建模)4.通过学习,要理解角度制与弧度制都是度量角的方法,二者是辩证统一的.(逻辑推理)
测量一位同学的身高,可以用米、分米、厘米为单位进行度量;买一个西瓜,要称其重量,常用的单位有千克、克.在物理学和日常生活中,一个量常常需要用不同的方法进行度量,不同的度量方法可以满足我们不同的需要.现实生活中有许多计量单位,如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位,度量重量可以用千克、克、吨等不同的单位,度量角的大小可以用哪些单位呢?
一、弧度在单位圆中,把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角.其单位用符号rad表示,读作弧度.名师点析1.1弧度的角与1度的角所指含义不同,大小更不同.2.无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角,角的大小与“半径”大小无关.3.用“度”作为单位度量角时,“度”(即“°”)不能省略,而用“弧度”作为单位度量角时,“弧度”二字或“rad”通常省略不写.
微判断判断(正确的打“√”,错误的打“×”).(1)大圆中1弧度的角比小圆中1弧度的角大.( )(2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等.( )(3)“度”和“弧度”是度量角的两种不同的度量单位.( )答案(1)× (2)× (3)√
二、弧度制在单位圆中,每一段弧的长度就是它所对圆心角的弧度数.这种以弧度作为单位来度量角的方法,称作弧度制.名师点析1.当圆心角一定时,它所对的弧长与半径的比值是唯一一个确定的值,与所取圆的半径大小无关.2.一般地,弧度与实数一一对应,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.
微思考在同一个表达式中,能不能角度制和弧度制同时出现?提示角度制和弧度制是表示角的两种不同的度量方法,两者有着本质的不同,因此在同一个表达式中两种度量方法不能混用.
名师点析一些特殊角的度数与弧度数的对应值表
微思考1周角是多少度?是多少弧度?提示360°,2π.微思考2半圆所对的圆心角是多少度?是多少弧度?提示180°,π.微练习
四、弧度制下的三个公式
名师点析扇形的弧长及面积公式的记忆
微练习已知扇形的半径r=30,圆心角 ,则该扇形的弧长等于 ,面积等于 ,周长等于 . 答案5π 75π 60+5π
弧度制的概念例1下列说法错误的是( )A.弧度角与实数之间建立了一一对应的关系C.根据弧度的定义,180°一定等于π弧度D.无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径的大小有关解析无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径大小无关,而是与弧长和半径的比值有关,故D项错误.答案D
反思感悟 弧度制与角度制的异同1.用角度制和弧度制度量零角时,单位不同,但数值相同(都是0);用角度制和弧度制度量任一非零角时,单位不同,数值也不同.2.以弧度为单位表示角的大小时,“弧度”二字或“rad”通常省略不写,但以度为单位表示角的大小时,“度”或“°”不能省略.
变式训练1下列叙述中正确的是( )A.1弧度是1度的圆心角所对的弧B.1弧度是长度为半径的弧C.1弧度是1度的弧与1度的角之和D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小,它是角的一种度量单位解析弧度是度量角的大小的一种单位,1弧度是长度等于半径的圆弧所对圆心角的大小.故选D.答案D
弧度与角度的换算例2(1)把112°30'化成弧度;(3)将-1 485°化成弧度.
反思感悟 弧度制与角度制换算的关键与方法(1)关键:抓住互化公式π rad=180°.(3)角度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度.
变式训练2下列各角中,与240°角终边相同的角为( )
用弧度制表示角及其范围例3如图所示,用弧度制表示顶点在原点、始边与x轴的非负半轴重合、终边落在阴影部分内的角的集合.
反思感悟 用弧度制表示象限角、轴线角、终边相同的角的方法1.用弧度制表示象限角的集合如下:2.用弧度制表示轴线角的集合如下:终边落在x轴上的角为{α|α=kπ,k∈Z);3.用弧度制表示终边相同的角的集合为{β|β=α+2kπ,k∈Z}.
变式训练3终边在坐标轴上角的集合是 ,终边在直线y=-x上角的集合是 .
与扇形弧长、面积有关的问题例4(1)已知扇形的周长为8 cm,圆心角为2,求该扇形的面积;(2)已知扇形的周长为10 cm,面积等于4 cm2,求其圆心角的弧度数.解(1)设扇形的半径为r cm,弧长为l cm,由圆心角为2 rad,依据弧长公式可得l=2r,从而扇形的周长为l+2r=4r=8,解得r=2,则l=4.故扇形的面积
反思感悟 弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)扇形的弧长公式和面积公式涉及四个量,即面积S,弧长l,圆心角α,半径r,已知其中的三个量一定能求得第四个量(通过方程求得),已知其中的两个量能求得剩余的两个量(通过方程组求得).(2)在研究有关扇形的相关量的最值时,往往转化为二次函数的最值问题.(3)注意扇形圆心角弧度数的取值范围是(0,2π),实际问题中注意根据这一范围进行取舍.
变式训练4已知扇形的周长是30 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?解设扇形的圆心角为α(0<α<2π),半径为r cm,面积为S cm2,弧长为l cm,则l+2r=30,故l=30-2r,
1.1 920°化为弧度是( )
3.若扇形的半径为1,圆心角为3弧度,则扇形的面积为 .
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