2022-2023学年广东省广州市高三上学期11月调研测试数学word版含答案

  广州市2023届第一学期高三调研测试

数  学

本试卷共5页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

    1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔将考生号和座位号填涂在答题卡相应位置上。

    2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

    3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

    4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集，集合，，

则如右图中阴影部分表示的集合为

A．   B．  C．  D．

2．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所在的象限为

A．第一象限      B．第二象限      C．第三象限      D．第四象限

3．已知四边形是平行四边形，，若，则

A．    B．    C．    D．

4．为了得到的图象，需把的图象上所有的点

A．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位

B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位

C．向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

D．向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

5．科学家康斯坦丁·齐奥尔科夫斯基在1903年提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度v满足公式：，其中分别为火箭结构质量和推进剂的质量，是发动机的喷气速度．己知某实验用的单级火箭模型结构质量为a kg，若添加推进剂3a kg，火箭的最大速度为2.8 km/s，若添加推进剂5a kg，则火箭的最大速度约为（参考数据：)

A．4.7 km/s      B．4.2 km/s       C．3.6 km/s       D．3.1 km/s

6．函数在上大致的图象为

7．已知，，则

A．   B．   C．   D．

8．设，，，则的大小关系正确的是

A．   B．   C．   D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．下列选项正确的有

A．命题“”的否定是：“”

B．命题“”的否定是：“”

C．，是的充分不必要条件

D．是，的必要不充分条件

10．已知等比数列的前项和为，公比为，则下列选项正确的有

A．若，则   B．

C．数列是等比数列     D．对任意正整数

11．己知在上有且只有三个零点，则下列选项正确的有

A．在上存在使得

B．的取值范围为

C．在上单调递增   

D．在上有且只有一个极大值点

12．已知函数，的定义域均为R，为偶函数，且，，下列说法正确的有

A．函数的图象关于对称      B．函数的图象关于对称

C．函数是以4为周期的周期函数     D．函数是以6为周期的周期函数

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设为单位向量，且，则的夹角为            .

14．如右图，北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三

层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9

块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第

一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，己

知每层环数相同，且三层共有扇面形石板（不含天心石）3402块，

则中层有扇面形石板         块

15．方程有唯一的实数解，实数的取值范围为          .

16．已知只有20项的数列满足下列三个条件：①；

②；③．对所有满足上述条件的数列，共有个不同的值，则         .

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17． (10分)

己知等比数列的前项和为，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)记，证明：.

18．(12分)

已知函数，其中，若的图象在点处的切线方程为.

(1)求函数的解析式；

(2)求函数在区间上的最值．

19．(12分)

在中，角的对边分别为，已知.

(1)求角；

(2)若角的平分线与交于点，，，求线段的长．

20．（12分）

    如图，在三棱柱中，平面，为线段的中点，，，.

(1)证明：；

(2)若三棱锥的体积为，求平面

与平面夹角的余弦值．

21．（12分）

某家具制造公司，欲将如图所示的一块不规则的名贵木板裁制成一个矩形桌面板，已知，，且米，曲线段是以点为顶点且开口向上的抛物线的一段，如果要使矩形桌面板的相邻两边分别落在，上，且一个顶点落在曲线段上，问应如何精准设计才能使矩形桌面板的面积最大？并求出最大的面积．

22．(12分)

已知.

(1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；

(2)若函数有两个极值点，证明：.

广州市2023届第一学期高三调研测试

数学参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分．

7．【解析】由可得，

则，又，，所以.

又解得：，.

8．【解析】设，，则，

所以在上递减，所以，即；

令，当，，所以在上单调递增，所以，即；所以.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，漏选得2分，错选得0分，满分20分．

11．【解析】由题意可知的最小正周期，所以在上既可以取得最大值也可以取得最小值，A正确．

令，，

在上有且只有三个零点，即在区间有且只有三个零点

只需解得，B正确．

当时，，因为，所以

在上单调递增，即函数在上单调递增，C正确．

当时，，因为，所以

当时，在上单调递增，在上单调递减，

在上单调递增，在上单调递减，存在两个极大值点，

即函数在上存在两个极大值点，D错误．故选：ABC.

12．【解析】因为为偶函数，所以．在中，用替换，得，可得，函数的图像关于对称. A错误，

在中，用替换．得，

又，可得，

即函数的图象关于对称，B正确．

由，为偶函数，可得.

，所以，所以函数是以4为周期的周期函数，C正确，

在中，因为，所以，又，所以，又，所以，，所以，所以函数是以4为周期的周期函数，D错误．故选：BC.

三、填空题：本题共4小题，满分20分．

13． 14．1134；   15.或  16．4

16．【解析】设中有项取值1，有项取值-l，由条件②知，

再由条件③得，解得，又因为，故可取9，10，11，12有4个不同的值，有4个不同的值．

四、解答题：本题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．【解析】(1)因为，则当时，……………1分

当时，           ………………………2分

所以，即      ………………………3分

因为是等比数列，则公比为3，则      ………………………4分

所以，即   ………………………………………………………5分

所以数列的通项公式  ………………………………………6分

(2)由(1)得   ………………………………………………………7分

所以   ………………………………………8分

           ………………………………………………………………9分

因为， 所以， …………10分

18．【解析】(1)，将代入切线方程，得………1分    ……………2分

由题意可知，可得   ………………………………………3分

故                       …………………………………4分

(2)由(1)可得     ………………5分

由可得或，        …………………6分

又，，，     ……………………10分

所以在上的最大值为 ，最小值为         …………………12分

19．【解析】．(1)解法一：由余弦定理推论可得，，…………1分

即，整理得    …………………………2分         ……………………………3分

因为，所以        …………………………………4分

解法二：由正弦定理可得  …………………1分

因为

所以      ……………………………2分

因为，所以       ……………………………3分

因为，所以      ……………………………4分

(2)依题意可知：是角的平分线，， …………………5分

在中，由正弦定理可得

即，即       …………………………6分

在中，同理可得       …………………………7分

所以，由正弦定理可得      …………………………8分得，    ……………………………9分

      …………………………10分

在中，由余弦定理可得：

………………………11分

所以           …………………………………12分20．【解析】(1)证明：因为平面，平面，

所以，            …………………………1分

因为，，，

所以，所以，     …………………………2分

又因为，平面，平面，

所以平面，         …………………………3分

又平面，所以.       …………………………4分

(2)解法一：由(1)得，， …………………5分

因为平面，，

所以                                ………………………6分

以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，

，，

，，

 …………………7分

设平画的一个法向量为，

则，令，则，……………9分

设平面的一个法向量为，

，令，则， ……………10分

则，……………………11分

设平面与平面夹角为，，

所以平面与平面夹角的余弦值为   ………………………………l2分

(2)解法二：由(1)得，，  ……………………5分

因为平面，，

所以          ……………………………6分

过点作，垂足为，再过点作，垂足为，连接，

由(1)知平面，而平面，则，

因为，，所以平面，则，

又因为，，所以平面，则，

故就是二面角的平面角，      ………………………8分

在中，，

在中，，

于是，

，

于是，

在中，，即，，………10分

在中，，……11分

所以平面与平面夹角的余弦值为  ……………………………12分

21．【解析】以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系如图…………………1分

依题意可设抛物线方程为，且，

所以，即

故曲线段的方程为……………3分

设是曲线段上的任意一点，

则在矩形中，，  …………………………5分

所以桌面板面积……6分

因为   …………………………………7分

令，且，得：       ………………………………8分

当时，单调递增：      ………………………………9分

当时，，单调递减；    ………………………………l0分

所以当时，有最大值，此时，…………11分

答：把桌面板设计成长为米，宽为米的矩形时，矩形桌面板的面积最大，最大面积为平方米．                                                                                                                                  ………………………12分

22．【解析】(1)在区间上恒成立    ………………………1分

则在区间上恒成立，即  ……………………2分

则，经检验，当时，不是常函数，所以  …………………3分

(2)由题意，，定义域为

因为有两个极值点，所以即有两不等正实数根，

所以，即，    ………………………………5分

…………6分

要证，即证

构造函数，，则，……………7分

令，在上恒成立，

所以在上单调递增       ………………………………8分

又，.

由函数零点存在性定理可得，，使得，

即，即；       ………………………………9分

所以当时，，则单调递减；

当时，，则单调递增；

，

             ………………………………10分

又在上单调递减，

所以   ………………………………11分

所以，即，

故      …………………………………12分