2022届陕西省渭南市临渭区高三上第一次质量检测数学（文）试题（解析版）

2022届陕西省渭南市临渭区高三第一次质量检测数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先用列举法求出集合，再根据交集含义即可求解.

【详解】因为，可得，又因为，则

.

故选：D

2．已知复数，则的值为

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】试题分析：由得，所以，故选A.

【解析】共轭复数；复数的运算.

3．“ ”是“ ”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】解出不等式的解集，看它和的推出关系，即得答案.

【详解】“”的充要条件是“”，

由可得，

而当时不一定有，

所以“”是“”的充分不必要条件，

故选:A

4．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据题意并结合诱导公式可得出，再由二倍角的余弦公式，即可得出求出结果.

【详解】解：由题意可知，，

根据诱导公式可得：，

则．

故选：A.

5．西安市为了缓解交通压力，实行机动车限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末（周六和周日）不限行某公司有，，，，五辆车，每天至少有四辆车可以上路行驶.已知车周四限行，车昨天限行，从今天算起，，两车连续四天都能上路行驶，车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是

A．今天是周四 B．今天是周六 C．车周三限行 D．车周五限行

【答案】A

【分析】由题意首先考查选项A，利用推理的方法找到符合题意的选项之后即可排除其余的选项.

【详解】首先考查选项A：

若今天是周四，，，，，五辆车分别在周一，周三，周二，周五，周四，满足题意，

据此可排除B，C，D，故选A.

【点睛】本题主要考查推理案例的处理方法，特殊值法处理选择题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

6．已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据对数函数的单调性和正弦函数的单调性，运用中间数比较法进行求解即可.

【详解】，

，

，

因此.

故选：C.

7．如图，在长为6，宽为4的长方形内任取一点，使它到四个顶点的距离均不小于2的概率为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出长方形与四个扇形的面积，可求阴影部分面积，由测度比是面积比得答案

【详解】长方形面积为，

四个圆心角为直角半径为2的扇形的面积为，

所以阴影部分的面积为，

到四个顶点的距离均不小于2的概率为，

故选：A.

8．若变量满足约束条件，

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：作出表示的平面区域如图所示：

由图可知，直线过点时，取最大值.

【解析】线性规划.

9．若为奇函数，则的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先根据奇函数的性质求出，再利用导数求出函数的单调性，最后即可求解不等式.

【详解】因为为奇函数，则，解得.则

即.，而.则，可得，，即在定义域内单调递减.那么根据单调性可得，即.

故选：D

10．如图，在三棱锥中，，且，E，F分别是棱，的中点，则EF和AC所成的角等于

A．30° B．45° C．60° D．90°

【答案】B

【分析】取BC的中点G，连接FG、EG，则为EF与AC所成的角．解．

【详解】如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG．

，F分别是CD，AB的中点，

，，

且，．

为EF与AC所成的角．

又，．

又，，，

为等腰直角三角形，

，即EF与AC所成的角为45°．

故选：B．

【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，找角证角求角，主要是通过平移将空间角转化为平面角，再解三角形，属于基础题．

11．设，分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最大值为（    ）

A．9 B．1 C．2 D．0

【答案】A

【分析】根据在椭圆的外，数形结合解决即可.

【详解】由题知，椭圆，，分别是的左，右焦点，

所以，

所以，

因为在椭圆的外部，

所以

，

当且仅当三点共线时取等号，

故选：A

12．已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　 )

A．(－∞，0) B． C．(0,1) D．(0，＋∞)

【答案】B

【详解】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，

令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，

函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，

等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，

在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）

当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，

由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．

则实数a的取值范围是（0，）．

故选B．

二、填空题

13．已知点，，向量，若，则实数等于___________.

【答案】

【分析】计算，根据列方程，计算得到答案.

【详解】因为，，

则，

因为，则，.

故答案为：.

14．抛物线上的点到直线的最小距离为___________.

【答案】

【分析】设点，根据点到直线距离公式解决即可.

【详解】由题知，抛物线，直线，

设上的点，

所以到直线的距离为

，

当时，即时，，

故答案为：

15．在中，角所对的边分别为，若，，，则的面积为___________.

【答案】

【分析】利用正弦定理边角互化，结合余弦定理解得，再利用三角形面积公式求解即可.

【详解】由正弦定理边角互化可得①，

又由余弦定理可得②，

①②联立解得，

所以，又因为，所以，

所以，

故答案为：

16．我国古代《九章算术》中将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图与侧视图为全等的等腰梯形，两底的边长分别为1和3，高为4，则该刍童的表面积为___________.

【答案】

【分析】根据三视图与几何体的关系求出该几何体的斜高即可求表面积.

【详解】

由题可知正视图与侧视图的高为刍童几何体的高，

则侧面等腰梯形的高等于，

所以该几何体的表面积等于，

故答案为：.

三、解答题

17．2020年春，新型冠状病毒在我国湖北武汉爆发并迅速蔓延，病毒传染性强并严重危害人民生命安全，国家卫健委果断要求全体人民自我居家隔离，为支援新型冠状病毒疫情防控工作，各地医护人员纷纷逆行，才使得病毒蔓延得到了有效控制.某社区为保障居民的生活不受影响，由社区志愿者为其配送蔬菜、大米等生活用品，记者随机抽查了男、女居民各100名对志愿者所买生活用品满意度的评价，得到下面的2×2列联表．

（1）被调查的男性居民中有5个年轻人，其中有2名对志愿者所买生活用品特别满意，现在这5名年轻人中随机抽取3人，求至多有1人特别满意的概率．

（2）能否有99%的把握认为男、女居民对志愿者所买生活用品的评价有差异？

附：

【答案】（1）（2）有99%的把握认为男、女居民对志愿者所买生活用品的评价有差异

【解析】（1）设这5个年轻人为，其中特别满意的2人记为，列出所有的基本事件情况和满足3人中至多1人特别满意的情况即可

（2）算出即可

【详解】（1）设这5个年轻人为，其中特别满意的2人为

则任取3人的基本事件为：

，共10种

其中3人中至多1人特别满意的事件有：

，共7种

所以至多1人特别满意的概率为

（2）

则有99%的把握认为男、女居民对志愿者所买生活用品的评价有差异

【点睛】本题考查的是古典概型及独立性检验，属于基础题.

18．如图，平面，四边形为矩形，，，点是的中点，点在边上移动.

(1)求三棱锥的体积；

(2)证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）等体积法解决即可；（2）线面垂直的判定定理，性质定理相结合解决即可.

【详解】（1）平面，四边形为矩形，

，

.

（2）证明：平面，

，

又，且点是的中点，

，

又，，，

平面，

又平面，

，

由，，，

平面，

平面，

.

19．已知等差数列的前项和为，不等式的解集为.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由韦达定理，解出不等式中的系数，得，可求出公差和通项.

（2）把（1）中结论代入，得数列通项，用裂项相消求前项和.

【详解】（1）设等差数列的公差为，

关于的不等式的解集为.

和4是方程的两个根，由韦达定理有，

解得，所以，.

数列的通项公式为.

（2）由（1）可得，，

则.

数列的前项和

.

20．已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）证明：对任意的，不等式恒成立.

【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为（2）证明见解析

【解析】(1)求出函数的导数，利用导数的符号研究函数的单调性；(2)不等式恒成立等价于恒成立，利用导数分别分析函数、的单调性与最值，证明即可证明原不等式恒成立.

【详解】（1）因为，所以，

令，解得；令，解得.

故的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）要证，只需证.

由（1）可知.

令，则，

令，

所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，

则.

因为，所以，所以，

从而，则当时，.

故当时，恒成立，即对任意的，.

【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间与最值，利用导数证明不等式恒成立，属于中档题.

21．已知椭圆的离心率为，点与椭圆的左､右顶点可以构成等腰直角三角形.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由.

【答案】(1)

(2)是定值，理由见解析

【分析】（1）根据椭圆的离心率以及点左､右顶点可以构成等腰直角三角形，即可求得的值，从而得椭圆的标准方程；

（2）根据直线与椭圆相交，联立直线与椭圆得交点，的坐标关系，利用直线，的斜率之积等于，可得，分别求与原点到的距离，求的面积，即可判断其是否为定值.

【详解】（1）解：椭圆离心率为，即，

点与椭圆的左､右顶点可以构成等腰直角三角形，

，，，故椭圆的方程为.

（2）解：由直线与椭圆交于，两点，设，，则

联立得，

，则

，

.

，

.

原点到的距离，

为定值.

22．在直角坐标系中，圆的方程为．

（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；

（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）,与交于两点，，求的斜率．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【详解】试题分析：（Ⅰ）利用，化简即可求解；（Ⅱ）先将直线化成极坐标方程，将的极坐标方程代入的极坐标方程得，再利用根与系数的关系和弦长公式进行求解.

试题解析：（Ⅰ）化圆的一般方程可化为.由，可得圆的极坐标方程.

（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.

设，所对应的极径分别为，，将的极坐标方程代入的极坐标方程得.

于是，.

.

由得，.

所以的斜率为或.

23．已知函数.

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若关于的方程有实数解，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分三种情况讨论即可得出答案；

（2）求得，则有实数解，只需，即可得出答案.

【详解】（1）当时，

当时，，解得；

当时，，显然成立，此时；

当时，，解得.

综上，不等式的解集为.

（2），

又有实数解，

，

，解得或，

故的取值范围为.