2022-2023学年河南省豫东名校上期高二12月质量检测数学（文）试题（解析版）

豫东名校2022--2023学年上期高二12月质量检测数学（文）试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. “”是“直线与直线”平行的(   )

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

2. 在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线AB与CD的位置关系是(   )

A.垂直 B.平行 C.异面 D.相交但不垂直

3. 已知向量，且，则（ 　）

A．-1              B．2             C．-2         D．1

4. 如图，在正四棱柱中，，，动点P，Q分别在线段，AC上，则线段PQ长度的最小值是(   )

A. B. C. D.

5. 如图，在棱长为a的正方体中，P为的中点，Q为上任意一点，E，F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点Q到平面PEF的距离(   )

A.等于 B.和EF的长度有关

C.等于 D.和点Q的位置有关

6. 已知点，若点C是圆上的动点，则面积的最小值为(   )

A.3 B.2 C. D.

7. 点M，N是圆上的不同两点，且点M，N关于直线对称，则该圆的半径等于(   )

A. B. C.3 D.9

8. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是(   )

A.  B.

C.  D.

9. 已知椭圆的左焦点为F，过F作倾斜角为的直线与椭圆C交于A，B两点，M为线段AB的中点，若(O为坐标原点)，则椭圆C的离心率是(   )

A. B. C. D.

10. 已知双曲线的一个焦点为，则双曲线C的一条渐近线方程为(   )

A. B. C. D.

11. 已知，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，O为坐标原点，若，则面积的最小值为(   )

A.6 B.8 C.10 D.12

12. 若方程表示椭圆，则k的取值范围为(   )

A. B. C. D.

二､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13. 若直线与直线互相垂直，则实数m的值为__________.
14. 在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，，则AB与PC的夹角的余弦值为______.
15. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是________.
16. 已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则___________.

三､解答题（本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）

17.（10分）如图，正方体的棱长为a.

（1）求和的夹角；

（2）求证：.

18.（12分）已知的三个顶点、、.

（1）求边所在直线的方程；

（2）边上中线的方程为，且，求点的坐标.

19.（12分）如图，圆内有一点为过点且倾斜角为的弦.

（1）当时，求AB的长；

（2）是否存在弦AB被点平分？若存在,写出直线AB的方程；若不存在，请说明理由.

20.（12分）图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m.水下降1 m后，水面宽多少？(精确到0.1 m)

21.（12分）设双曲线的半焦距为c，直线l过，两点，且原点到直线l的距离为，求双曲线的离心率.

22.（12分）设椭圆的焦点为,且该椭圆过点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若椭圆上的点满足,求的值.

参考答案

1、答案：A

解析：当时，，即，解得或4.

当时，直线的方程为，直线的方程为，此时；

当时，直线的方程为，直线的方程为，此时.

因为，因此，“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.

故选：A.

2、答案：B

解析：因为，，，，所以，，可得，所以，即直线与的位置关系是平行，故选B.

3、答案：D

解析：

4、答案：C

解析：建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，设点P的坐标为，，点Q的坐标为，，

，当且仅当，时，线段PQ的长度取得最小值.

5、答案：A

解析：取的中点G，连接PG，CG，DP，则，所以点Q到平面PEF的距离即点Q到平面PGCD的距离，与EF的长度无关，B错.又平面PGCD，所以点到平面PGCD的距离即点Q到平面PGCD的距离，即点Q到平面PEF的距离，与点Q的位置无关，D错.

如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，

设是平面PGCD的法向量，则由得

令，则，，所以是平面PGCD的一个法向量.

设点Q到平面PEF的距离为d，则，A对，C错.

故选：A.

6、答案：D

解析：点，，

圆化为，

圆心，半径是.

直线AB的方程为，

圆心到直线AB的距离为.

直线AB和圆相离，点C到直线AB距离的最小值是.

面积的最小值为.

故选：D.

7、答案：C

解析：的圆心坐标，

因为点M，N在圆上，且点M，N关于直线对称，

所以直线经过圆心，所以，解得，

所以圆的方程为：，

即，

所以圆的半径为3.

故选C.

8、答案：A

解析：直线恒过定点，曲线表示以点为圆心，半径为1，且位于直线右侧的半圆(包括点，).如图，作出半圆C，

当直线l经过点时，l与曲线C有两个不同的交点，此时，直线记为；

当l与半圆相切时，由，得，切线记为.

由图形可知当时，l与曲线C有两个不同的交点，

故选：A.

9、答案：B

解析：设，，，由题意得，，两式相减，得

因为M为线段AB的中点，且直线AB的倾斜角为，所以.

设，则，过M作轴，垂足为，

则，，

由题易知M位于第二象限，所以，M的坐标代入AB的方程可得：，得，所以，

所以.

故选：B.

10、答案：B

解析：双曲线的一个焦点为，所以，因为，所以，所以双曲线的渐近线方程为：.故选：B.

11、答案：B

解析：设直线AB的方程为，点，，直线AB与x轴的交点为，将代入，可得，

根据根与系数的关系得，.

，，又，，令，则，解得或，点A，B位于x轴的两侧，，故.

故直线AB所过的定点坐标是，

故的面积，

当时，直线AB垂直于x轴，的面积取得最小值，为8，故选B.

12、答案：D

解析：因为方程表示椭圆，

所以，

解得：且.

故k的取值范围为：.

故选：D.

13、答案：3

解析：因为直线与直线互相垂直，所以，解得：

故答案为：3

14、答案：

解析：，又，，.

故答案为：

15、答案：

解析：抛物线的焦点是，，，，

.所以双曲线的渐近线方程为.

故答案为：.

16、答案：6

解析：如图，过M、N分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为、，设抛物线的准线与x轴的交点为，则，.因为M为FN的中点，所以，由抛物线的定义知，从而.

17、

（1）答案：60°

解析：设，，.

由于正方体的棱长为a，

，且，，.

，，

.

又，，

.

又，，

与的夹角为60°.

（2）答案：见解析

解析：证明：由(1)知，，

，，.

18、答案：（1）；

（2）点A坐标为或.

解析：（1）由、得BC边所在直线方程为，即.

（2），A到BC边所在直线的距离为，

由于A在直线上，

故，即，

解得或.

19、

（1）答案：

解析：当时，直线AB的斜率.

直线AB的方程为，

即.①

把①代入，得，即，

解此方程得.

所以.

（2）答案：见解析

解析：存在弦AB被点平分.

当弦AB被点平分时，.

直线的斜率为，所以直线AB的斜率为.

所以直线AB的方程为，

即.

20、答案：4.9 m

解析：在抛物线形拱桥上，以拱顶为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系，如答图所示.

设该拋物线的方程为.

拱顶离水面2 m，水面宽4 m，点在拋物线上，

，解得，

拋物线的方程为.

当水面下降1 m时，，代入，得，

即.故这时水面宽为4.9 m.

21、答案：直线l过点，，
直线l的方程为，即.
原点到直线l的距离为,
,即,
两边平方并化简得,，
,两边同时除以，得,
即.
解得或.
,,,
,.

22、答案：(1) (2)

解析：(1)由题意得,,且,

解得,所以椭圆的标准方程为.

(2)因为点满足,所以,

即,①

又点在椭圆上,所以,②

联立①②,得,所以.