2021-2022学年湖北省武汉市高一上学期期末模拟（二）数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年湖北省武汉市高一上学期期末模拟（二）数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖北省武汉市高一上学期期末模拟（二）数学试题 一、单选题1．已知，则（    ）A． B． C． D．2【答案】C【分析】根据已知条件求得，化简求得正确答案.【详解】依题意，，，，，，.故选：C2．已知集合，则集合的真子集的个数为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先化简集合，得到集合的元素个数，继而可以得到真子集的个数【详解】解：集合，所以集合中的元素个数为9，故其真子集的个数为个，故选:3．若函数的定义域为，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．或【答案】A【分析】依题意恒成立，分和两种情况讨论，当时，即可求出参数的取值范围；【详解】解：因为函数的定义域为，所以恒成立，当时显然恒成立，当，则，解得，综上可得；故选：A4．已知正数，满足，则下列说法不正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】先根据对数定义把指数化为对数，再根据对数运算结合基本不等式逐个运算判断.【详解】设，则∴对A：，A正确；对B：由题意可得：，同理可得：∵∴，则，B错误；对C：∵∴，C正确；对D：∴，D正确；故选：B.5．关于的不等式的解集为，则的最大值是（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可得是方程的两个根，利用根与系数的关系，可得，再求出，代入中化简后利用基本不等式可求得结果.【详解】因为关于的不等式的解集为，所以是方程的两个根，且，所以，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值是，故选：C6．若定义在实数集R上的偶函数满足，，对任意的恒成立，则（    ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】根据题干条件得到为周期函数，最小正周期为4，进而得到，利用是偶函数得到，进而得到，结合，得到.【详解】，则，所以，即，为周期函数，最小正周期为4，则，令得：，即，又因为为偶函数，所以，故，即，因为，所以.故选：D7．已知函数，则使不等式成立的x的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】判断的奇偶性与单调性，由题意列不等式后求解【详解】由得定义域为，，故为偶函数，而，在上单调递增，故在上单调递增，则可化为，得解得故选：D8．函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减．记满足条件的所有的值的和为，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由一条对称轴和一个对称中心可以得到或，由在上单调递减可以得到，算出的大致范围，验证即可.【详解】由题意知：或∴或∴或∵在上单调递减，∴∴①当时，取知此时，当时，满足在上单调递减，∴符合取时，，此时，当时，满足在上单调递减，∴符合当时，，舍去，当时，也舍去②当时，取知此时，当时，，此时在上单调递增，舍去当时，，舍去，当时，也舍去综上：或2，.故选：A.【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，难度较大，易错点在于已知一条对称轴和一个对称中心要分两种情况分析. 二、多选题9．，关于x的不等式恒成立的一个必要不充分条件是（    ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】先求出，关于x的不等式恒成立的充要条件，再根据必要不充分条件的定义可求出答案.【详解】当对于，关于x的不等式恒成立，则，得，对于A，是充要条件，所以A错误，对于B，因为当时，一定成立，所以是关于x的不等式恒成立的一个必要不充分条件，所以B正确，对于C，因为当时，成立，所以是关于x的不等式恒成立的一个充分不必要条件，所以C错误，对于D，因为当时，一定成立，所以是关于x的不等式恒成立的一个必要不充分条件，所以D正确，故选：BD.10．已知关于x的不等式的解集为，且，若，是方程的两个不等实根，则（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】由题意可以判断A错误；根据图像的平移变换，可得变换前后对称轴不变，即，变形后可判断B正确；根据,亦可判断C正确，通过举反例，即可判断D错误.【详解】解：由题意得,故A错误，因为将二次函数的图像上的所有点向上平移1个单位长度，得到二次函数的图像，所以,即，B正确，如图，又，所以，C正确，当时，，，所以，D错误.故选：BC.11．函数在区间上的大致图象可能为（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据函数图象的对称性可得函数的奇偶性，从而确定参数的值，再判断即可.【详解】解：对于A，B中函数图象关于原点对称，则对应的为奇函数，令，则为偶函数，即，即，所以，解得，当时，，符合A项，当时，，符合B项.对于C，D中函数图象关于y轴对称，则对应的为偶函数，令，则为奇函数，即，即，所以，此时，当时，，故D正确，故C错误；故选：ABD.12．已知函数的最小值为0，e是自然对数的底数，则（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】AD【分析】由已知得当时，，对于AC，当时，为上的减函数，则，代入解不等式得解；对于BD，当时，由对勾函数在上单调递减，在上单调递增，判断的单调性，求出最小值即可判断.【详解】由函数的最小值为0，当时，，即，故当时，的值域为的子集，即对于AC，当时，为上的减函数，又，则，即，故A正确，C错误；当时，对勾函数在上单调递减，在上单调递增，对于B，当时，对勾函数在上单调递增，则函数在上单调递减，由A知，，故B错误；对于D，当时，对勾函数在上单调递减，则函数在上单调递增，又，则，即，故D正确；故选：AD【点睛】思路点睛：本题考查已知函数的最值求参数，解题时需先求出由函数在时的值域为，进而将问题转化为当时，函数的值域为的子集，即，分类讨论研究函数的单调性求出最值，考查学生的分析转化能力，属于难题. 三、填空题13．已知函数为定义在上的奇函数，则的值为________．【答案】【分析】根据奇函数的定义及性质计算可得.【详解】解：因为函数为定义在上的奇函数，则有，解得，又由函数为奇函数，则有，则，所以恒成立，即，所以；故答案为：14．已知函数，，对于存在，存在，使得，则实数的取值范围是__________．【答案】【分析】设函数的值域为，的值域为，若存在，存在，使得，则，再利用集合的计算可得参数范围.【详解】设函数的值域为，的值域为，则，，若存在，存在，使得，则，当时，或，解得或，所以当时，，故答案为：.15．已知，，则的最大值为________.【答案】【分析】依题意利用和差角公式将其变形为，整理可得，再利用基本不等式计算可得.【详解】解：，，，，，，即，，即，所以，当且，即，等号成立，取得最大值．故答案为：16．已知，在时，的最小值为，当关于的方程有有两个不等实根时，的取值范围是__________.【答案】【分析】换元，求出二次函数在上的最小值的表达式，然后作出函数与函数的图象，利用数形结合思想可求出实数的取值范围.【详解】当时，令，则为二次函数在上的最小值，该二次函数图象开口向上，对称轴为直线.①当时，函数在区间上单调递增，此时，；②当时，二次函数在处取得最小值，即；③当时，二次函数在区间上单调递减，此时，.综上所述，.由得，则函数与函数的图象有两个交点，令，作出函数与函数的图象如下图所示：如图所示，当时，即当时，函数与函数的图象有两个交点，此时，关于的方程有有两个不等实根.因此，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查二次函数在定区间上最值的求解，同时也考查了利用方程根的个数求参数的取值范围，考查分类讨论思想与数形结合思想的应用，综合性较强，属于难题. 四、解答题17．已知函数的定义域为.（1）求实数的取值集合；（2）设为非空集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由题意可知，在上恒成立，在对参数进行分类讨论，根据二次函数的性质，即可求出结果；（2）由命题的关系与集合间的包含关系得：是的必要不充分条件，所以，由此列出关系式，即可求出结果.【详解】（1）可知，在上恒成立，当时，，成立；当时，，解得；综上所述，.  所以集合（2）因为，是的必要不充分条件.   所以，故,解得所以，实数的取值范围是.18．设（，且）（1）若，且满足，求x的取值范围；（2）若，是否存在实数a使得在区间上是增函数？如果存在，说明a可以取哪些值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）利用指数函数的单调性解不等式，继而得出答案；（2）当时, 在区间上是增函数，即在区间为增函数；当时，在区间上是增函数，即在区间为减函数，再利用二次函数的单调性与对称轴的大小，分别列出不等式组解出即可．【详解】（1），即，解得x的取值范围是；（2）①当时，在区间上是增函数，即在区间为增函数， 图象开口向上,对称轴为，，解得，故；②当时，在区间上是增函数，即在区间为减函数，，解得；故或．19．已知函数，，且将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象.（1）若函数是奇函数，求的值；（2）若，当时函数取得最大值，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用三角函数恒等变换公式将的表达式化简得到利用图象平移变换法则得到＇利用奇函数的条件求得φ的值；（2）根据正弦函数的最大值性质求得，，得到，根据，利用同角三角函数关系，倍角公式，两角和差公式计算即得.【详解】解：（1）由题得，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则，若函数是奇函数，则.因为，所以，从而，解得；（2）由题知，则，，从而，，因此，因为，且，所以，因此，，所以，所以.【点睛】本题考查三角函数的恒等变形，三角函数的图象与性质，属中档题，关键是熟练掌握三角函数的恒等变形公式，掌握图象的平移变换法则，掌握三角函数的奇偶性和最值.20．已知函数，，．（1）若恒成立，求实数的取值范围；（2）是否存在这样的实数（其中），使得，都有不等式恒成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，．【解析】（1）利用绝对值三角不等式求得的最小值，进而根据不等式恒成立的意义得到关于的含绝对值的不等式，求解即得；（2）根据和的范围化简得到含有参数的关于的一元二次不等式，利用二次函数的图象和性质，并根据不等式恒成立的意义得到关于实数的有关不等式（组），求解即得.【详解】解：（1）∵，∴，当且仅当时，取等号．∴原不等式等价于，解得或．故的取值范围是．（2）∵，∴，∵，∴，，∴原不等式恒成立在上恒成立，令，得，且，得，又，得．故实数的取值范围是．【点睛】本题考查不等式恒成立求参数取值范围问题，涉及利用绝对值三角不等式求最值和利用二次函数的性质和图象求解一元二次不等式恒成立问题，属中档题,21．某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔（单位：分钟）满足，．经测算，该路无人驾驶公交车载客量与发车时间间隔满足：，其中．（1）求，并说明的实际意义；（2）若该路公交车每分钟的净收益（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．【答案】（1），发车时间间隔为分钟时，载客量为；（2）当发车时间间隔为分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为元．【解析】（1）将代入函数的解析式，可计算出，结合题意说明的实际意义；（2）求出函数的解析式，分别求出该函数在区间和上的最大值，比较大小后可得出结论.【详解】（1），实际意义为：发车时间间隔为分钟时，载客量为；（2），当时，，任取，则，，所以，，，，所以，函数在区间上单调递增，同理可证该函数在区间上单调递减，所以，当时，取得最大值；当时，，该函数在区间上单调递减，则当时，取得最大值．综上，当发车时间间隔为分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为元．【点睛】本题考查分段函数模型的应用，考查分段函数最值的计算与实际应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.22．已知函数，且.(1)，求；(2)设函数，其中常数.①当，时，函数在上的最大值为2，求实数的值；②若函数的一个单调减区间内有一个零点，且其图像过点，记函数的最小正周期为，试求取最大值时函数的解析式.【答案】(1)；(2)①；②. 【分析】（1）应用和角余弦、二倍角正余弦及辅助角公式可得，结合已知条件即可求；（2）由（1）有，①将已知条件代入，利用诱导公式、二倍角余弦公式可得，结合已知及正弦型函数性质求得，再由二次函数性质及其最大值求.②由题设得，、，，再令得，进而由周期最大及确定、，即可得的解析式.【详解】（1）由，所以，则或，，则或，，又，故.（2），①，则，又，所以，又，即，令，所以在上的最大值为2，其开口向下且对称轴为，当时，不合要求；当时，，可得；当时，，得不合要求；综上，.②，则，，一个单调减区间内有一个零点，则，，所以，令，则，又且，要使取最大值即取最小值，当时，此时且，，则，不合题设；当时，此时且，，则，满足题设；所以.【点睛】关键点点睛：第二问，小问1应用诱导公式、二倍角余弦公式将问题转化为由含正弦型函数的二次函数的最值求参数问题，小问2根据所过的点、区间零点列方程及不等式，结合周期公式及求最小值，进而确定解析式.