2021-2022学年河北省魏县高一上学期11月联考数学试题(解析版)
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一、单选题
1.已知全集,,则集合( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】利用集合补集的性质直接求解即可
【详解】由于,,所以,
故选A
2.命题“”的否定是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】根据特称命题的否定是全称命题,可直接得出结果.
【详解】命题“”的否定是“”.
故选C
【点睛】本题主要考查特称命题的否定,只需改写量词与结论即可,属于基础题型.
3.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】直接利用负数不能开偶次方根和分母不能为零求解.
【详解】因为,
所以且,
所以函数的定义域为,
故选:C
【点睛】本题主要考查函数定义域的求法,属于基础题.
4.已知幂函数的图象经过点,则下列命题正确的是( )
A.是偶函数 B.在定义域上是单调递增函数
C.的值域为 D.在定义域内有最大值
【答案】B
【解析】先求出幂函数的解析式,再利用幂函数的性质即可判断.
【详解】设,则,解得,
,
的定义域为,故A错误;可得在定义域上是单调递增函数,故B正确;值域为,故C错误;故在定义域内没有最大值,故D错误.
故选:B.
5.已知是定义在上的偶函数,且在是增函数,设,,,则a,b,c的大小关系是
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性化简,再根据单调性比较出三者的大小关系.
【详解】由于是偶函数,故.由于在是增函数,所以,即.
故选D.
【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性、单调性比较大小,属于基础题.
6.已知函数在上是增函数,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】由题意可知函数在区间上为增函数,函数在区间上为增函数,且有,由此可得出关于实数的不等式组,进而可求得实数的取值范围.
【详解】由于函数在上是增函数,
则函数在区间上为增函数,
函数在区间上为增函数,且有,
所以,,解得.
故选:D.
【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数,要注意分析每支函数的单调性,同时也还需注意分界点处函数值的大小关系,考查计算能力,属于中等题.
7.已知函数,且,那么等于( )
A.12 B.2 C.18 D.10
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性的性质求出的值即可.
【详解】解:令,
则是奇函数,
,
故,,
故,
故选:A.
8.记实数、、、中的最大数为,最小数为,若,则函数的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】由题意首先绘制出函数的图象,然后结合函数图象联立方程,即可求得函数的最大值.
【详解】在同一个平面相交坐标系中绘制函数,,的图象如下图所示,
结合题中的定义可知函数的图象为图中的实线部分所示,
联立直线方程,可得.
即函数的最大值为.
故选:B.
【点睛】关键点点睛:本题考查函数最大值的求解,解题的关键在于理解的意义,利用数形结合思想进行求解.
二、多选题
9.下列命题为真命题的是( )
A.函数的最小值为2
B.“”是“”的充要条件
C.,
D.函数既是偶函数又在区间上是增函数
【答案】BC
【分析】对四个命题依次判定,A选项可研究函数的最小值,确定其是假命题,B选项直接用充要条件的定义进行证明即可判断,C选项可根据特称命题的真假判断方法进行判断,D选项从偶函数的角度判断真假.
【详解】解:对于A选项,由于,故,
所以函数的最小值为2错误,
A不是真命题;
对于B选项,时,显然成立,即可推出成立,
由,可得出,解得,
故”是“”的充要条件,
B是真命题;
对于C选项,当时,,故,,是真命题;
对于D选项,由于,故函数不是偶函数,D不是真命题.
综上BC是真命题.
故选:BC.
10.下列说法错误的是( )
A.在直角坐标平面内,第一、三象限的点的集合为
B.方程的解集为
C.集合与是相等的
D.若,则
【答案】BCD
【解析】根据集合的定义依次判断选项即可得到答案.
【详解】对选项A,因为或,
所以集合表示直角坐标平面内第一、三象限的点的集合,故A正确;
对选项B,方程的解集为,故B错误;
对选项C,集合表示直线上的点,
集合表示函数的定义域,
故集合与不相等,故C错误;
对选项D,,所以,
故D错误.
故选:BCD
【点睛】本题主要考查集合的定义与表示,属于简单题.
11.已知命题:,,则命题成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中的( )
A. B.
C. D.
【答案】AD
【分析】根据一元二次方程根的判别式,结合充分不必要条件与集合的关系进行求解即可.
【详解】若命题:,成立,则,解得,
故命题成立的充分不必要条件是属于的真子集,因此选项AD符合要求,故AD正确.
故选:AD.
12.下列说法正确的序号是( )
A.偶函数的定义域为,则
B.一次函数满足,则函数的解析式为
C.奇函数在上单调递增,且最大值为8,最小值为,则
D.若集合中至多有一个元素,则
【答案】AC
【分析】对A,由偶函数定义域对称解出参数即可;
对B,设,则可得,建立方程组求解即可;
对C,由单调性得,,由奇偶性得,,即可求解;
对D,分别讨论、解的个数即可
【详解】对A,偶函数的定义域为,,解得,A对;
对B,设一次函数,则,
∵,,解得或,函数的解析式为或,B错;
对C,奇函数在上单调递增,且最大值为8,最小值为,
,,,,,C对;
对D,集合中至多有一个元素,方程至多有一个解,
当时,方程只有一个解,符合题意;
当时,由方程至多有一个解,可得,解得,
或,D错.
故选:AC
三、填空题
13.计算:__.
【答案】
【分析】利用有理数指数幂的运算性质求值.
【详解】原式,
故答案为:.
14.若正数,满足:,则的最小值为__________.
【答案】9
【分析】化简,再利用基本不等式求解.
【详解】解:由题得.
当且仅当时取等.
所以的最小值为9.
故答案为:9
15.若定义在上的奇函数在上是严格增函数,且,则使得成立的的取值范围是_________.
【答案】
【分析】由函数的奇偶性和零点,分别求出和的解集,再分别讨论当和时的解集即可求出结果.
【详解】解:因为为奇函数,且有,则在上是也严格递增,且,所以的解集为:;的解集为:,则当时,的解为,当时,的解为
故成立的的取值范围是.
故答案为:
【点睛】思路点睛:类似求或求的解集的问题,往往是根据函数的奇偶性和单调性先求出或的解,再结合的范围进行求解.
16.已知函数,则 ,的最小值是 .
【答案】
【详解】试题分析:如图根据所给函数解析式结合其单调性作出其图像如图所示,易知.
【解析】分段函数的图像与性质
四、解答题
17.已知集合,全集为R.
(1)若,求;
(2)若,求的取值范围.
【答案】(1),;(2).
【详解】解:(1)∵, ,
或
∴,;
(2) ∵,
∴,
∴.
18.已知函数的图象经过点(1,1),.
(1)求函数的解析式;
(2)判断函数在(0,+)上的单调性并用定义证明;
【答案】(1).(2)见解析.
【分析】(1)根据条件列方程组,解得a,b,即得解析式,(2)根据单调性定义先作差,再因式分解,根据各因子符号确定差的符号,最后根据定义确定单调性.
【详解】(1)由 f(x)的图象过A、B,则,解得.
∴.
(2)证明:设任意x1,x2∈,且x1<x2.
∴
.
由x1,x2∈,得x1x2>0,x1x2+2>0.
由x1<x2,得.
∴,即.
∴函数在上为减函数.
【点睛】本题考查函数单调性定义,考查基本分析论证能力.
19.已知函数.
(1)解关于x的不等式;
(2)若,恒成立,求实数x的取值范围.
【答案】(1)当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为;(2)或.
【分析】(1)将不等式左边因式分解,将分成三种情况分类讨论,结合一元二次不等式的解法,求得不等式的解集.
(2)变换主参变量,将“,恒成立”转化为一次函数在区间上恒大于零,列不等式组来求解得的取值范围.
【详解】(1)不等式等价于
,
当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为.
(2),
设,
要使在上恒成立,
只需,
即
解得或,
所以x的取值范围为或.
【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法,考查不等式恒成立问题的求解策略,考查分类讨论的数学思想方法,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.
20.已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求、的值;
(2)求不等式的解集.
【答案】(1),;(2).
【分析】(1)由奇函数的性质可得,分析可得的值,又由可得出关于的等式,由此可解得实数的值;
(2)由(1)的结论,分析可得在上是增函数且为奇函数,进而可以将不等式转化为,结合函数的单调性即可得,解可得答案.
【详解】(1)由题意知函数为定义在上的奇函数,
则有,解可得,
因为函数为奇函数,则,
而,所以,,
整理可得对任意的恒成立,所以,解得.
所以,,;
(2)由(1)的结论,,
由在上是增函数且为奇函数,
由可得,
则有,解可得.
所以,不等式的解集为.
【点睛】方法点睛:利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式,要设法将隐性划归为显性的不等式来求解,方法是:
(1)把不等式转化为;
(2)判断函数的单调性,再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉,得到具体的不等式(组),但要注意函数奇偶性的区别.
21.某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召,因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现:某珍稀水果树的单株产量W(单位:千克)与施用肥料(单位:千克)满足如下关系:肥料成本投入为元,其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克,且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为(单位:元).
(1)求的函数关系式;
(2)当施用肥料为多少千克时,该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?
【答案】(1)
(2)当施用肥料为4千克时,该水果树的单株利润最大,最大利润为480元
【分析】(1)利用,即可求解;
(2)对进行化简,得到,然后,分类讨论和时,的取值,进而得到答案.
【详解】(1)根据题意,,化简得,
(2)由(1)得
当时,
当时,
当且仅当时,即时等号成立.
因为,所以当时,.
故当施用肥料为4千克时,该水果树的单株利润最大,最大利润为480元.
22.已知函数,其中a为常数
若,写出函数的单调递增区间不需写过程;
判断函数的奇偶性,并给出理由;
若对任意实数x,不等式恒成立,求实数a的取值范围.
【答案】(1)递增区间为:(2)为非奇非偶函数,详见解析(3)或
【分析】(1)利用,直接写出函数的递增区间.
(2)当时,判断函数的奇偶性,当时,通过特殊值,说明为非奇非偶函数;
(3)设,,,通过对于当时,当时,求解,对于,当时,当时,求解,推出,由,解得,得到实数a的取值范围即可.
【详解】(1)由题意,当,函数,
可得函数的图象,如图所示,
结合图象,可函数的单调递增区间为.
(2)当时,函数,
则,所以函数为偶函数;
当时,可得,,
则,所以函数为非奇非偶函数;
(3)对任意实数x,不等式恒成立,只需使得恒成立,
设,,,
对于,
当时,;当时,
对于,
当时,,当时,
当时,,
所以,由,解得满足;
当时,,
由,解得或,不满足;
当时,,
所以,由,解得,满足题意.
所以实数a的取值范围是:或.
【点睛】本题考查了函数与方程的应用,函数的奇偶性的判定,以及函数的最值的求法等知识的综合应用,其中解答中把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题,利用二次函数的性质求解是解答的关键,着重考查了分类讨论思想的应用,属于中档试题.
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