2023届江苏省盐城市阜宁县东沟中学高三上学期第四次综合训练数学试题（解析版）

这是一份2023届江苏省盐城市阜宁县东沟中学高三上学期第四次综合训练数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届江苏省盐城市阜宁县东沟中学高三上学期第四次综合训练数学试题 一、单选题1．已知复数z满足，则|z|＝（    ）A．1 B． C．2 D．2【答案】C【分析】由已知得，根据复数的模的计算可得答案.【详解】解：由已知得，则，∴，故选：C．2．已知M，N均为R的子集，且，则（    ）A． B．M C．N D．R【答案】C【分析】利用补集、子集的定义可得，再利用交集的定义求解作答.【详解】M，N均为R的子集，且，如图，于是得， 所以.故选：C3．将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”；B表示事件“医生乙派往①村庄”；C表示事件“医生乙派往②村庄”，则（    ）A．事件A与B相互独立 B．事件A与C相互独立C． D．【答案】D【分析】由古典概率公式求出，再利用相互独立事件的定义判断A，B；用条件概率公式计算判断C，D作答.【详解】将甲、乙、丙、丁4名医生派往①，②，③三个村庄义诊的试验有个基本事件，它们等可能，事件A含有的基本事件数为，则，同理，事件AB含有的基本事件数为，则，事件AC含有的基本事件数为，则，对于A，，即事件A与B相互不独立，A不正确；对于B，，即事件A与C相互不独立，B不正确；对于C，，C不正确；对于D，，D正确.故选：D4．已知向量， 满足，，则的最小值为（    ）A．1 B． C． D．2【答案】D【分析】利用向量的数量积公式和余弦函数的有界性即可求解.【详解】∵，∴，其中为向量，的夹角，即，当时，有最小值，故选:．5．已知直线，，且，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由两直线垂直得到，再代入消元利用二次函数的性质求解.【详解】解：，则，∴，所以，二次函数的抛物线的对称轴为，当时，取最小值.故选：A．6．为庆祝神舟十三号飞船顺利返回，某校举行“特别能吃苦，特别能战斗，特别能攻关，特别能奉献”的航天精神演讲比赛，其冠军奖杯设计如下图，奖杯由一个半径为6cm的铜球和一个底座组成，底座由边长为36cm的正三角形铜片沿各边中点的连线向上折叠成直二面角而成，则冠军奖杯的高度为（    ）cm．A． B． C． D．【答案】C【分析】A，B，C在底面内的射影为M，N，P分别为对应棱的中点，可得，设△ABC外接圆圆心O，则由正弦定理可得半径r，利用勾股定理可得、从而端点答案.【详解】A，B，C在底面内的射影为M，N，P分别为对应棱的中点，∴，∴△ABC是边长为9的等边三角形，设△ABC外接圆圆心O，半径r，则，∴，，∴到平面DEF距离＝9，∴冠军奖杯的高度为，故选：C．7．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线E的两条渐近线分别交于M，N，若，且，则双曲线E的离心率为（    ）A． B．4 C． D．6【答案】B【分析】设，由将的坐标表示出来，再利用N在，M在上，求出点的坐标，由可求出离心率.【详解】设，已知、，∵，∴，∴N在，M在，∴，∴，即N，，，，∴，∴，故选：B．8．已知定义在R上的奇函数满足，已知当时，，若恰有六个不相等的零点，则实数m的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据已知求出，再分析出函数的周期性和对称性，作出函数的图象分析即得解.【详解】解：因为是定义在R上的奇函数，所以.所以当时，.因为，则关于对称，因为关于对称，有6个不相同的根，∴在有三个不同的根，表示过定点的直线系，.作出在上的图象,如图所示，时，，又,则；时，;时，显然不满足题意.∴m的取值范围.故选：D． 二、多选题9．为了解学生在网课期间的学习情况，某地教育部门对高三网课期间的教学效果进行了质量监测．已知该地甲、乙两校高三年级的学生人数分别为900、850，质量监测中甲、乙两校数学学科的考试成绩（考试成绩均为整数）分别服从正态分布（108，25）、（97，64），人数保留整数，则（    ）参考数：若，则，，.A．从甲校高三年级任选一名学生，他的数学成绩大于113的概率约为0.15865B．甲校数学成绩不超过103的人数少于140人C．乙校数学成绩的分布比甲校数学成绩的分布更分散D．乙校数学成绩低于113的比例比甲校数学成绩低于113的比例小【答案】AC【分析】根据正态分布的性质逐一判断即可得选项.【详解】解：对于A，因为甲校数学学科的考试成绩（考试成绩均为整数）分别服从正态分布（108，25），则，，故A正确．对于B，，，故B不正确．对于C，甲校的，乙校的，∴乙更分散，故C正确．对于D，因为甲校数学学科的考试成绩服从正态分布（108，25），所以，乙校数学学科的考试成绩服从正态分布，所以，故D不正确．故选：AC.10．设抛物线的焦点为F，准线为l，点M为C上一动点，为定点，则下列结论正确的有（    ）A．准线l的方程是 B．以线段MF为直径的圆与y轴相切C．的最小值为5 D．的最大值为2【答案】BC【分析】根据抛物线方程，求得准线方程，可判断A的正误；设，设MF的中点为D，求得D点坐标，分析即可判断B的正误；过M作准线的垂线，垂足为N ，根据抛物线定义，可得当E、M、N三点共线时，有最小值，计算即可判断C的正误；根据三角形的性质可得当E、F、M共线时，有最大值，计算即可判断D的正误，即可得答案【详解】对于A：由抛物线，可得焦点坐标为，准线方程为，故A错误对于B：设，设MF的中点为D，则，D坐标为，所以，即D点到点M、F和y轴距离相等，所以以线段MF为直径的圆与y轴相切，故B正确.对于C：过M作准线的垂线，垂足为N ，由抛物线定义得，所以，由图象可得，当E、M、N三点共线时，有最小值，即为，所以的最小值为5，故C正确； 对于D：根据三角形中，两边之差小于第三边可得，如图所示，当E、F、M共线时，有最大值，且为，所以的最大值为，故D错误；故选：BC11．已知函数在区间上可能（    ）A．单调递增 B．有零点 C．有最小值 D．有极大值【答案】AD【分析】由已知条件可得，，然后根据正弦型函数的基本性质逐项判断可得结论.【详解】因为且，则，，所以，函数在上不可能有零点，B错；当时，即当时，在上单调递增，A对；函数在上可能有极大值，但无最小值，C错D对.故选：AD.12．若正整数m．n只有1为公约数，则称m，n互质，对于正整数k，（k）是不大于k的正整数中与k互质的数的个数，函数（k）以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，．已知欧拉函数是积性函数，即如果m，n互质，那么，例如：，则（    ）A．B．数列是等比数列C．数列不是递增数列D．数列的前n项和小于【答案】ABD【分析】根据欧拉函数定义及运算性质，结合数列的性质与求和公式，依次判断各选项即可得出结果.【详解】，A对；∵2为质数，∴在不超过的正整数中，所有偶数的个数为，∴为等比数列，B对；∵与互质的数为共有个，∴又∵=，∴一定是单调增数列，C错；，的前n项和为，D对.故选：ABD． 三、填空题13．命题“，”的否定是__________．【答案】，．【分析】全称改存在，再否定结论即可【详解】命题“，”的否定是“，”故答案为：，【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题14．若＝3，则＝________．【答案】##0.6【分析】根据诱导公式二倍角公式及同角关系的齐次转化求解即可.【详解】故答案为：.15．若关于x的不等式有且只有2个正整数解，则实数a的取值范围为________．【答案】【分析】由题，不等式变形为，用导数法研究的单调性，则不等式有且只有2个正整数解等价于直线：与有两个交点分别在和，即可求出a的取值范围【详解】，直线：过定点，令，故在递增，递减，，则，，∴不等式有且只有2个正整数解等价于直线与有两个交点分别在和，故．故答案为： 四、双空题16．在的展开式中，所有项系数之和为________；展开式中系数最大项的系数为________．【答案】     1024     120【分析】利用赋值法计算可得所有项系数之和，确定每个二项式展开式的系数最大项的系数，即可计算作答.【详解】依题意，所有项系数和；展开式系数最大的项为，展开式系数最大的项为，所以系数最大项的系数为120.故答案为：1024；120 五、解答题17．已知数列的前项和为，，．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用即可求解；（2）利用错位相减法求数列前项和.【详解】（1）∵①∴时，②①－②得，∴，在①式中令，，，，∵，∴数列为单调递增数列，∴，∴，，∴{}为等差数列且首项为2，公差为2，∴，（2），∴①②①－②得,,,则.18．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成问题的解答．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，b＝1，c＝3，且___．(1)求A；(2)若点D在边BC上，且，求AD．注：如果选择多个方案进行解答，则按第一个方案解答计分【答案】(1)(2) 【分析】（1）若选①，由已知得，再运用正弦的和角公式有，从而由角的范围可求得答案；若选②，由正弦的二倍角公式得，从而由角的范围可求得答案；若选③，由余弦的二倍公式得，从而由角的范围可求得答案；（2）由已知和向量的线性运算得，再运算向量的数量积运算求得，从而可求得答案.【详解】（1）解：若选①，，∴，又，∴，因为 ，所以．若选②，，又，∴，因为 ，所以 ，所以，．若选③，，，又，∴，因为 ，所以；（2）解： 因为，∴，∴，∴．19．手机用户可以通过微信查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的比较或点赞．现从小华的朋友圈内随机选取了100人，记录了他们某一天的行走步数，并将数据整理如下表： 0~20002001~50005001~80008001~1000010001以上男58121213女10121369 若某人一天的行走步数超过8000则被评定为“积极型”，否则被评定为“懈怠型”．(1)根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有95%的把握认为“评定类型”与“性别”有关； 积极型懈怠型总计男   女   总计    附：0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828 ，其中；(2)在被评定为“积极型的对象中采用分层抽样的方法从样本中抽取8人，再从中随机抽取3人，求抽到女性“积极型”人数X的概率分布列和数学期望．【答案】(1)表格见解析，有95%的把握认为“评定类型”与“性别”有关．(2)分布列见解析， 【分析】（1）首先根据题意完成下面的列联表，再计算，即可得到答案.（2）利用超几何分布求解即可.【详解】（1）列联表如下： 积极型懈怠型总计男252550女153550总计4060100 ∴有95%的把握认为“评定类型”与“性别”有关．（2）100人中男生“积极型”有25人，女生“积极型”有15人抽取比例为5∶3，抽取男生5人，女生3人，X的所有可能取值为0，1，2，3，，∴X的分布列如下X0123P .20．如图，在正三棱柱中，，，为的中点，为侧棱上的点．(1)当为的中点时，求证：平面；(2)若平面与平面所成的锐二面角为，求的长度．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）取中点，连接，，为的中点，再根据条件证明四边形为平行四边形即可求解；（2）建立空间直角坐标系，设出的坐标，再利用二面角的空间向量法求解即可.【详解】（1）取中点，连接，，为的中点，所以，且，又因为为的中点，，且，所以，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面．（2）如图建立空间直角坐标系，所以，，设，，，设平面的一个法向量，所以，所以，所以，平面的一个法向量为，所以，整理得，所以，所以，即．21．已知椭圆）的左焦点为F，其离心率，过点F垂直于x轴的直线交椭圆于P，Q两点，．(1)求椭圆的方程；(2)若椭圆的下顶点为B，过点D（2，0）的直线l与椭圆相交于两个不同的点M，N，直线BM，BN的斜率分别为，求的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】小问1：由离心率和通径公式即可得到椭圆方程；小问2：联立直线与椭圆方程，得到，由韦达定理得到与的关系，对进行整理，最后由函数性质来确定范围.【详解】（1）由题可知，解得.所以椭圆的方程为：.（2）由题可知，直线的斜率存在，则设直线的方程为，，.由题可知，整理得，解得.由韦达定理可得，.由(1)知，点设椭圆上顶点为，，且，∴∴的取值范围为．【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的关系，并且结合函数性质求取值范围，注意要考虑直线斜率不存在的情况.22．已知函数f(x)＝2lnx－x，g(x)＝（a≤1）．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若函数h(x)＝f(x)＋g(x)，讨论h(x)的零点个数．【答案】(1)答案见解析(2)当时，h(x)无零点；当时，h(x)有唯一的零点 【分析】（1）求出，利用或可得答案；（2）求出，分、、、讨论，利用导数判断单调性和最值可得答案.【详解】（1），令，当时，单调递增；当时，单调递减.综上所述，当时，单调递增；当时，单调递减.（2），，①当时，令且当时，单调递增；当时，单调递减，此时，∴h(x)无零点，②当时，，令或，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增，此时当时，，当时，单调递增，注意到，，∴h(x)在上有唯一的零点.③当时，，∴h(x)在（0，＋∞）上单调递增，注意到，，∴h(x)在（2，6）上有唯一的零点，④当时，令或，当时，单调递增；当时，单调递减，当时，单调递增，∴当时，，当时，单调递增，注意到，，∴h(x)在上有唯一的零点，综上：当时，h(x)无零点；当时，h(x)有唯一的零点.【点睛】本题求零点问题关键是利用导数判断出在处有最小值并判断的正负，构造函数利用零点存在性定理说明存在零点个数，考查了学生分析问题、解决问题的能力.