2022-2023学年江西省部分重点高中高三上学期12月质量检测理科数学试题（word版）

江西省部分重点高中2022-2023学年高三上学期12月质量检测

理科数学

考生注意：

1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4．本试卷主要命题范围：集合与常用逻辑用语、函数、导数、三角函数、解三角形、平面向量、复数、数列、不等式、立体几何。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集，集合，则（    ）

A．         B．         C．           D．

2．已知复数z满足，则在复平面上所对应的点位于（    ）

A．第一象限            B．第二象限        C．第三象限           D．第四象限

3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A．           B．            C．           D．

4．对于实数a，b，c，给出下列命题：

①若，，则，；        ②若，则；

③若，则；                    ④若，则．

其中正确命题的个数是（    ）

A．1            B．2           C．3             D．4

5．设，，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围为（    ）

A．             B．             C．                D．

6．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中t为时间（单位：min），为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度．假设在室内温度为的情况下，一杯饮料由降低到需要，则此饮料从降低到需要（    ）

A．               B．            C．             D．

7．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的最大值为（    ）

A．             B．               C．1              D．

8．如图，在等腰梯形中，，，，若E，F分别是边BC，AB上的点，且，，则（    ）

A．            B．           C．             D．5

9．如图，在正四棱锥中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：①；②；③平面SBD；④平面SAC，其中恒成立的为（    ）

A．①③            B．③④          C．①②             D．②③④

10．已知是等比数列，为其前n项和，给出以下命题：

①是等比数列；②是等比数列；③，，，…是等比数列；④是等比数列，⑤若，则．其中正确命题的个数为（    ）

A．5                 B．4               C．3              D．2

11．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则m的最大值是（    ）

A．                B．               C．             D．

12．如图，在长方体中，，，，点M是棱AD的中点，点N在棱上，且满足，P是侧面四边形内一动点（含边界），若平面，则线段长度的取值范围是（    ）

A．          B．            C．           D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若x，y满足约束条件，且目标函数可以在点处取到最大值，则k的取值范围是_________．

14．已知，则_________．

15．在四棱锥中，平面，，，，，二面角的大小为．若四面体的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_________．

16．斐波那契数列，又称黄金数列，指的是1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，在现代物理、准晶体结构等领域都有直接应用．对斐波那契数列，其递推公式为：，．已知为斐波那契数列的前n项和，若，则_________．（结果用p表示）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）

在中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，且BC边上的中线长为，．

（1）求角A的大小；

（2）求的面积．

18．（本小题满分12分）

如图，在正方体中，点O是底面ABCD的中心，E是线段上的一点．

（1）若E为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；

（2）是否存在点E使得平面平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

19．（本小题满分12分）

2022年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，生产x（百辆），需另投入成本万元，且由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．

（1）求出2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润＝销售额－成本）

（2）2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．

20．（本小题满分12分）

如图，在三棱柱中，四边形是矩形，，平面平面．

（1）证明：；

（2）若，，，求二面角的余弦值．

21．（本小题满分12分）

已知数列的前n项和为，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）在数列中，，其前n项和为，证明：．

22．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）若在上恒成立，求实数a的最大值；

（2）若，求证：．

高三理科数学参考答案、提示及评分细则

1．C

2．D  

3．B

4．B 

5．C

6．B

7．A 

8．C 

9．A 

10．D 

1l．D 

12．A 

13． 

14． 

15．  

16． 

17．解：（1）由正弦定理得，

所以．                   1分

因为，

所以，

即，

即，

整理得．                             3分

因为，所以，所以，即，

所以．                                       4分

因为，所以，即．                   5分

（2）设BC的中点为D，根据向量的平行四边形法则可知，           6分

所以，即，            7分

因为，，所以，解得或（舍去）．             8分

所以．                                                    10分

18．解：不妨设正方体的棱长为2，以DA，DC，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．                        1分

（1）因为点E是的中点，所以点E的坐标为．

所以，，．

设是平面CDE的法向量，则

即

取，则，，所以平面的一个法向量为．              3分

所以．                  5分

所以直线与平面所成角的正弦值为．                                        6分

（2）假设存在点E使得平面平面，设．

显然，．

设是平面的法向量，则，即

取，则，，所以平面的一个法向量为．                     7分

因为，所以点E的坐标为．                            8分

所以，．                                      9分

设是平面CDE的法向量，则即

取，则，，所以平面CDE的一个法向量为．                10分

因为平面平面，所以，即，，解得．              11分

所以的值为2．故存在点E，使得平面平面，且此时．                12分

19．解：（1）当时，

；                             3分

当时，

．

∴                                         5分

（2）当时，，

∴当时，；                                          8分

当时，，

当且仅当，即时，．                      10分

∴当，即2022年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为5800万元．      12分

20．（1）证明：∵在三棱柱中，，，

∴．                                                                         1分

又∵，，AB，平面，

∴平面．                                                                 2分

设与相交于点E，与相交于点F，连接EF，

∵四边形与均是平行四边形，

∴，平面，

∴，，

∴是平面与平面所成其中一个二面角的平面角．                            4分

又平面平面，

∴，                                                                         5分

∴四边形是菱形，从而．                                                  6分

（2）解：由（1）及题设可知四边形是菱形，，

∴．                                                                        7分

以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

∴，，，，

∴，．                                             9分

设平面的法向量，

∴即

令，可得．                                                     10分

又由（1）可知平面，

∴可取平面的法向量为，                                      11分

∴．由图可知二面角的平面角为锐角，所以它的余弦值为．12分

21．（1）解：当时，，，

两式相减得，                                                 2分

整理得，即，又，

，                          4分

则，当时，，所以．                                    5分

证明，

则                                   8分

．                                                             9分

又，

所以数列单调递增，当时，最小值为，又因为，     11分

所以．                                                                     12分

22．（1）解：当时，因为当时，显然成立，故此时实数a的最大值是0；   1分

当时，在上恒成立，即在上恒成立，              2分

令，则，

①当时，令，解得，令，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以；               4分

②当时，，

综上，函数的最大值为．                                                     5分

所以，又，解得．                                 6分

综上所述，实数a的最大值是．                                                     7分

（2）证明：若，要证，即证．                8分

令．

当时，显然有，                           9分

令，则在上恒成立，所以在上单调递增，

所以；                                               10分

当时，显然有，    11分

令，则，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以．所以，所以，即．

所以当时，．                                                    12分